بخشی از مقاله
-1 مقدمه
سازه‌هاي فضايي را مي‌توان به عنوان برگي بر گرفته از طبيعت دانست، فرم‌هاي طبيعي از صلبيت فوق العاده اي برخوردارند واز حداقل مصالح براي حداكثر استفاده سازه اي بهره مي‌گيرند ]1[ سبكي و نصب سريع، چند منظوره بودن، تنوع در شكل و طرح عدم نياز به نيروي زياد در مراحل نص
ب و برچيدن، سهولت حمل ونقل، قابليت استفاده در ابعاد ودهانه‌هاي مختلف و ... از جمله عواملي مي‌باشند كه استفاده روز افزون اين نوع سازه‌ها را در دنياي علم و فن آوري توجيه پذير مي‌سازند ]2[ توسعه قابل توجه سازه‌هاي فضا كار مرهون تلاش و فعاليت مهندسان نخبه دنيا در اواخر قرن نوزدهم مي‌باشد. ]3[
گر چه در ابتدا هدف از بكار گيري سازه‌هاي فضا كار بعنوان سازه‌هايي موقت بود ولي در عم
ل از آنها به عنوان سازه‌هايي دائمي‌استفاده شد و به انواع مختلف و با مصالح متفاوت در كشورهاي گوناگون طراحي و اجرا گرديد.
احتياج به سازه‌هاي متحرك كه به طور ساده و سريع نصب گردد و قابل حمل و نصب مجدد در مكانهاي مورد نياز باشد باعث پيدايش سازه‌هاي فضا كار باز شونده و جمع شونده شد كه با رشد روز افزون استفاده از اين نوع سازه‌ها بخصوص در كشورهاي صنعتي توجه پژوهشگران و صنعت گران به اين سازه‌ها افزايش يافت. ]6[ در كشور ما هر سال زلزله‌هاي مخرب و سيل‌هاي وايرانگر عده اي از هموطنانمان را بي خانمان مي‌كند، زلزله زدگان و سيل زدگان نياز مبرم به سر پناه دارند در اين ميان استفاده از اين سازه‌ها مي‌تواند كمك موثري در حفظ جان و مال اين عزيزان داشته باشد، به غير از اين كاربردهاي فراوان اين نوع از سازه‌هاي فضايي تلاش روز افزون پژوهشگران و صنعت گران اين مرز و بوم را مي‌طلبد و اميد آنست كه آن چه در اين سمينار ارائه مي‌گردد، ذره اي هر چند كوچك در راه رشد و اعتلاي كشور عزيزمان باشد.
1-2 تعريف سازه‌هاي فضايي باز شونده و جمع شونده
يك سازه باز و جمع شونده تشكيل شده است از قطعات پيش ساخته يا المان‌هايي كه مي‌توانند باز و بسته شوند و در حالت‌هاي از پيش تعيين شده قرار بگريند ضمن اين كه توانايي تحمل بار را نيز دارند. ]4[
1-3 موارد كاربرد سازه‌هاي فضايي باز شونده و جمع شونده
براي اين كه كاربردهاي مختلف اين نوع سازه‌ها را بررسي كنيم ابتدا بايد موارد نياز و همچنين مزاياي آنها در مقايسه با انواع سازه‌ها مورد مطالعه قرار بگيرد و سپس كاربردهاي مختلف آنها ذكر شود.
1-3-1 موارد نياز به سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده
سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده زير مجموعه اي از آن دسته از سازه‌ها هستند كه به سرعت و سهولت قابل نصب بوده و مي‌توان آنها را به راحتي براي استفاده مجدد جمع آوري كرد نياز به چنين سازه‌هايي از زمان‌هاي قديم وجود داشته است ]10[. يعني از هنگام
ي‌كه قبايل چادر نشين براي يافتن مرتع و چراگاههاي بهتر از جايي به جايي ديگر نقل مكان مي‌كردند سازه‌هاي كوچك وسبك و متراكم شده اي مانند سياه چادرها، خيمه سرخ پوستان و چادر كروي عشاير چنين نيازي را بر آورده مي‌كردند، اكثر اين سازه‌ها با وصل كردن ميله‌هاي راست ساده در روي زمين به يكديگر نصب شده و با پارچه‌ها ي سخت پوشيده مي‌شوند. باز كردن و نصب آنها براي ابعاد متوسط هر چند .وقت زيادي نمي‌گرفت اما به هر حال وقت گير بود، مخصوصا در شرايط نامساعد آب وهوايي مشكل آفرين مي‌نمود]12[
1-3-2 مزاياي سازه‌هاي فضايي باز شونده و جمع شونده.
مي‌توان بر اساس نحوه ساخت و استفاه مزاياي زير را براي ا
ين نوع سازه‌ها ذكر كرد
1- پيش ساخته بودن
2- سبك وكم حجم بودن
3- سهولت حمل ونقل
4- نصب سريع و آسان
5- عدم نياز به نيروي متخصص و تجهيزات كم براي نصب و برچيدن سازه
6- قابليت جمع آوري و انتقال و نصب مجدد
7- نوع در شكل و طراحي
8- قابليت استفاده در ابعاد وانداره‌هاي مختلف
9- چند منظوره بودن
1-3-3 موارد استفاده
برخي از كاربردهاي مورد انتظار براي اين نوع سازه‌ها عبارتند از:
1- سرپناههاي اضطراري
2- پل‌هاي اضطراري
3- ساختمان‌ها در نقاط پرت و دور دست
4- گنبدها و يا چليك‌هاي كروي و سهموي ثابت و متحرك
5- پوشش‌هاي محافظتي موقت
6- جرثقيل‌ها، پله‌ها، برج‌ها، و دكل‌هاي باز و جمع شونده
7- داربست‌ها، قالب بنديها، اسكلت بندي يا آمارتور بندي براي سازه‌هاي دائمي
8- سر پناه به عنوان سايبان يا محافظ در برابر بارندگي
9- آنتن‌هاي بشقابي
شكل 1-2-1 نمونه اي از آنتن هاي بشقابي [5]
10- اردوگاههاي سبك وزن و سازه‌هاي تفريحي
11- ديوارهاي جدا كننده يا سازه اي
12- درب‌ها و دريچه‌هاي ورود و خروج
13- گلخانه‌ها و ساير كاربردهاي كشاورزي
14- بازو‌ها و اندامهاي سيار
15- وسايل اسباب بازي
16- ابزارها و وسايل مكانيكي و صنعتي
17- صنايع هوا فضا
1-4 مكانيزم‌هاي مختلف در سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده
به طور كلي مي‌توان سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده را از لحاظ مكانيزم و طرح اوليه به چند دسته تقسيم كرد كه در زير به آنها اشاره مي‌كنيم.
1-4-1 مكانيزم‌هاي چتري
ايده و طرح اين دسته از سازه‌ها بر اساس عملكرد چتر
ساده باران مي‌باشد و شامل يك پايه ثابت و يا متحرك بوده كه گرد آ گرد آن گروهي از ميله‌ها وجود داشته و بوسيله لغزاندن يك گره در امتداد پايه به سمت بالاي آن باز مي‌شود البته سازه‌هاي چتري ديگري نيز وجود دارند كه با استفاده از مكانيزم‌هاي ديگر مانند مكانيزم المان قيچي سان (SLE) ساخته مي‌شوند كه به آنها مكانيزم چتري نمي‌گويند ]2[
شكل 1-4-1 يكنوع مكانيزم چتري ]2[
1-4-2 مكانيزم المانهاي تا شونده مفصلي (زانويي)
اين مكانيزم شامل ميله‌هايي است كه وقتي مكانيزم باز مي‌شود مفصل‌هايي كه دو ميله را به هم متصل كرده اند طوري قفل مي‌شوند كه دو ميله مانند قطعه پيوسته منفرد عمل كند ]6[
شكل 1-4-2 مكانيزم الماني هاي تا شونده مفصلي]2[
1-4-3 مكانيزم المانهاي قيچي سان
اصول كار اين مكانيزم بر اساس عملكرد پانتو گراف مي‌باشد، براي استفاده سازه اي از اين مكانيزم بايد آن را محدود نمود تا قابليت باربري پيدا كنند و پايدار شود. ]2[ ]13[
شكل 1-4-3 مكانيزم المانهاي قيچي سان ]2[
1-4-4 مكانيزم كشويي
در اين مكانيزم اجزاي سازه در حالت جمع شده بوسيله كشوهايي در يكديگر فرو مي‌روند و هنگام باز كردن المان‌ها يكي پس از ديگري و يا باهم از داخل يكديگر خارج مي‌شوند. ]2[
1-4-5 سازه‌هاي باد شده با هوا
اين نوع سازه‌ها به دو شكل مي‌توانند ساخته شوند در نوع اول بوسيله يك دمنده هوا، با فشار داخلي خيلي كم كه براي افراد داخل سازه قابل توجه نمي‌باشد سازه در محل خود نگهداشته مي‌شود نوع دوم سازه‌هاي هوايي باد شده هستند كه داراي دو يا چند جدار مي‌باشند ]3[
1-4-6 مكانيزم سازه‌هاي تا شونده صفحه اي
در اين مكانيزم صفحات صلب در لبه‌هاي انتهايي خود با مفصل‌هايي به يكديگر متصل شده اند و ابعاد و زواياي آنها طوري انتخاب مي‌شوند كه قابل جمع شدن در يك بسته و باز شدن بصورت مورد نظر باشند. ]7[
1-5 بافتار مختلف در سازه‌هايي باز شونده و جمع شونده
يك المان قيچي سان از دو ميله مستقيم الخط كه در نقطه‌هاي مياني (اين نقطه لزوما وسط ميله‌ها نخواهده بود) به يكديگر مفصل شده اند تشكيل شده است كه اين ميله‌ها در نقاط انتهاي مي‌توانند در جهات مختلف به صورت مفصلي به المانهاي قيچي سان ديگر متصل شوند بدين ترتيب مي‌توان واحدهاي جمع شونده و باز شونده كوچكي را ساخت كه هر يك اين واحدها مي‌توانند به تنهايي باز شده و يا جمع شوند. ]2[
شكل 1-6-1 باز و بسته شدن واحدهاي كوچك ]2[
بسته به نحوه اتصال واحدهاي اوليه به يكديگر مي‌توان سازه‌هايي با كاربردها وشكل‌هاي متفاوت ايجاد كرد كه در قسمت‌هاي بعد به معرفي و شرح آن مي‌پردازيم.
1-5-1 سازه‌هاي خطي
سازه‌هاي خطي (در اين جا به سازه‌هاي خطي مي‌گوييم كه دو بعد آنها نسبت به بعد سوم آن خيلي كوچكتر است) را ممكن است با اتصال طرح‌ها و واحدهايي در يك امتداد بدست آورد، براي ساخت سازه‌هايي سخت تر مي‌توانيم از المان‌هايي استفاده كنيم كه يك اتصال مياني دارند، با واحدهاي تابيده شده نيز مي‌توانيم قطعات انحناء مياني بسازيم ]6[
شكل 1-6-2 چند نوع سازه خطي باز شو متشكل از واحدهاي بهم پيوسته ]6[
1-5-2 شبكه‌هاي تخت
اين شبكه‌ها از سلولهاي منظم ساخته شده اند و مي‌توانند بصورت سقف، پل يا چتري‌هاي سخت شده به وسيله كابل يا پارچه مورد استفاده قرار گيرند ]6[
1-5-3 شبكه‌هاي بلوري
اگر از واحدهايي كج شده استفاه كنيم مي‌توانيم سازه‌هايي
مانند آنچه در شكل نشان داده شده است را ايجاد كنيم در اين واحدهاي كج شده خطوط محيطي المانهاي قيچي سان در راستاي كج شده محيط يك متوازي الاضلاع مي‌باشند ]6[.
شكل 1-6-3 شبكه هاي بلوري ]6[
مي‌توان يك شبكه دو طرفه را طوري بر روي يك استوانه رسم كرد كه خطوط شبكه در امتدادهاي طول و عرضي استوانه قرار گيرند چنانچه اضلاع اين شبكه را با المانهاي قيچي سان عوض كنيم و طرح فاصله محدوديت‌هاي تعريف شده پيشين را ارضا كند آنگاه به يك ساز چليكي باز شونده و جمع شونده با كاربردهاي فراوان دست خواهيم يافت ] 14[.
شكل 1-6-4 چليك استوانه اي ]14[
1-5-5 چليك استوانه اي با نقش سه طرفه
چنانچه شكبه اي مثلثي را بر روي يك سطح استوانه اي رسم كنيم و المانهاي قيچي سان را جايگزين اضلاع آن نماييم به يك چليك تا شو و باز شو با نقش مثلثي دست مي‌يابيم ]كتاب[.
1-5-6 گنبدهاي كروي با نقش دو طرفه
اگر شبكه مربعي شكل را در داخل يك سطح كروي تصوير كنيم والمان‌هاي قيچي سان را جايگزين خطوط تصوير شده نماييم مي‌توانيم سازه‌هاي باز شونده گنبدي ايجاد كنيم ]14[
شكل 1-6-5 گنبد كروي ]14[
1-5-7 گنبدهاي كروي با نقش سه طرفه
به چندين طريق مي‌توان يك شبكه 3 طرفه را بر روي يك سطح كروي رسم كرد. اساس كار عبارتست از تصوير كردن شبكه اي كه در صفحه استوايي كره واقع است، بر روي سطح كره. كانون اين تصوير سازي نيز بر روي محور قطبي كره قرار داشته و بسته به شكل و موقعيت شبكه سازه‌هايي متفاوت بوجود مي‌آيند. ]14[
1-5-8 گنبدهاي كروي با المانهاي قيچي سان 3 لولايي
اين نوع سازه‌ها كه داراي 3 ميله متصل شده در گره مياني هستند عمدتا بوسيله مورد مطالعه قرار گرفته اند. وي مهندسي اسپانيايي بود كه در سال 1961 موفق به ساخت اولين مورد از چنين سازه‌هايي شد، سازه او نسبتا بزرگ بود و از المانهاي فلزي ساخته شده بود، ال
مان‌هاي اين سازه در حالت باز شونده و جمع شونده عاري از تنش‌هاي داخلي بودند (به استثنائي بار مرده) و با اين كه از المانهاي 3 واحدي توليد شده اند به خاطر اين كه الم
ان‌ها دو درجه آزادي اضافي دارند نياز به اعضاي مهاري يا مكانيزم‌هايي براي قفل كردن سازه در حالت باز شده دارند و در حين باز شدن نيز تنشن داخلي در اعضاي سازه ايجاد نمي‌شود Pinero در سال 1965 براي اين سازه‌ها به يك ثبت اختراع در ايالات متحده است يافت ]6[ ]3[.
1-5-9 گنبدهاي كروي ژئودزيك
پيدايش گنبد ژئودزيك و تكامل آن نقش موثري در كارهاي پيشگامانه داشته است از آنجا كه اين گنبد، بزرگترين چند وجهي افلاطوني است و نسبت به بقيه گنبدها به
كره نزديكتر است مي‌توان از آن براي به حداقل رساندن اختلاف طول المان‌ها در گبندها استف
اده كرد، گنبدهاي باز شو در اين موارد بوسيله تعويض هر ضلع چند وجهي
وقطرهاي آن با المانهاي قيچي سان كه شرايط سازگاري را ارضا مي‌كنند بدست مي‌آيند ]14 [.
طرحهاي ارائه شده درقسمت‌هاي قبل امكان ايجاد تعداد زيادي از سازه‌ها را فراهم مي‌آورند انواع ديگري از طرح‌ها را نيز مي‌توان ذكر كرد از جمله سازه‌هاي ساخته شده با المانهاي قيچي سان چهار لولايي و شش لولايي كه در گره مياني آنها بجاي دو ميله به ترتيب چهار و شش م
يله به يكديگر متصل شده اند.
1-6 طرح گره‌ها و اتصالات و روش‌هاي باز و بسته كردن سازه
يكي از مباحث مهم در طراحي سازه‌هاي فضايي مساله طراحي اتصالات و گره‌ها مي‌باشد در سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده نيز طرح گره‌ها از قسمت‌هاي مهم طراحي سازه محسوب مي‌شود و نوع اتصالات انتخابي مي‌تواند اثر زيادي در عملكرد سازه و قابليت‌ها و محدوديت‌هاي آن داشته باشد
مسئله ديگر در طرح سازه‌هاي باز و جمع شونده روش‌هاي مورد استفاده براي باز و بسته كردن سازه است براي اين كار مي‌توان از روش‌هاي مختلفي كه بعضا بر حسب محدوديت‌ها و شرايط خاص در نحوه استفاده از سازه انتخاب مي‌شوند استفاده كرد از جمله اين روش‌ها مي‌توان استفاده از جك‌هاي هيدروليكي يا دستي، استفاده از موتورهاي الكتريكي، استفاده از كابل و استفاده از وزن سازه و …ر ا نام برد ] 15[.
1-7 تاريخچه سازه‌هاي فضا كار باز و جمع شونده
احتياج به سازه‌هاي متحركت كه به طور ساده و سريع نصب گردد و قابل حمل باشد و نصب و برچيدن آن آسان باشد باعث پيدايش سازه‌هاي فضا كار جمع شونده و باز شونده شده و است و مهندس در سال 1961 اولين سازه فضا كار تاشو از جمله گنبد تا شو دهانه 90 متر را طراحي و اجرا كرد بعد از آن طراحان ديگر مانند زيگلر و اسكريك با ايده‌هاي متفاوت و براي اهداف مختلف اين سازه‌ها را طرحي و اجرا كرد ه اند بخصوص در دهه‌هاي اخير تعداد زيادي استاديوم و فضاهاي ورزشي با توجه به نياز روز افزون در سراسر دنيا ساخته شده اند كه ميزبانان شايس
ته اي براي مسابقات جهاني و المپيك نيز نيز بوده اند. ]6[.
1-8 نمونه‌هايي از سازه‌هاي جمع شونده و باز شونده از سراسر دنيا
1) (Japan) Ball dome
سقف اين سازه از دو لايه مجزا از خر پاهاي فلزي خميده و دو پوشش غشايي به طول 37 متر تشكيل شده است، براي جابجايي سقف ابتدا لايه داخلي به اندازه 90 درجه چرخش پيدا مي‌كند كه در اين حالت حدود 40% از پوشش سقف كنار رفته و در صورت عدم نياز تمام سقف برداشته نمي‌شود. حركت سقف در اين حالت بوسيله ريل‌هاي خميده اي كه در امتداد محيط سقف مي‌باشند امكان پذير مي‌گردد براي گشايش كامل سقف، سقف اصلي در امتداد ريل‌هاي جداگانه جابجا مي‌گردد براي سهولت جابجايي بين دو لايه سقف mm250 فاصله در نظر گرفته شده است و حد فاصل آن دو بوسيله تيوپ‌هاي خاصي پوشيده است]6[.
شكل 1-8-1 ball dome ]6[
2) (Japan) fukuoko Dome
طول سقف m 222 مي‌باشد كه بوسيله 3 لايه پوششي پوشانيده شده است كه از خر پاهاي فلزي مقاوم در برابر بارهاي وارده تشكيل يافته است. ]6[
3) (uk) The Millennium stadium
ظرفيت اين ورزشگاه 72500 نفر مي‌باشد كه بوسيله 2 سقف صلب پوشانيده شده است طول و عرض اين سقف به ترتيب m120 متر m 80 مي‌باشد كه از خر پاهاي خاصي و پوشش آلومينيوم روي آن تشكيل شده است. سيستم مكانيكي اين سقف متشكل از مكانيزم كابل و موتورهاي داراي جعبه دنده فيكس شده بر روي سازه است. ]6[
4) Alegre vista (spain)
سقف اين سازه داراي شعاع m50 مي‌باشد كه بوسيله بالشتك‌هاي سبكي پوشانيده شده است از اين سازه براي گاو بازي استفاده مي‌شود. ]6[
5)(canada) olympic stadiu in Montreal
باز شو اين سازه كه در كشور كانادا واقع است 2 m 20000 مي‌باشد كه در نوع خود جالب توجه است. ]3[
6) (Tononto) ontair ]3[
7) (USA) Bank one (98) ]3[
8) (USA) Safeco field (99) ]3[
شكل 1-8-2 safeco field
9) (USA) Minute Maid (00) ]3[
10) (USA) Miller park (01) ]3[
11) (USA) Reliant (02) ]3[
شكل 1-8-3 reliant
2-1 طراحي هندسي سازه هاي فضايي بازشونده وجمع شونده
در اين قسمت اصول كلي و روابط هندسي و رياضي براي طراحي سازه‌هاي فضايي باز شونده و جمع شونده مورد بررسي قرار مي‌گيرد اين اصول و روابط مرهون تلاش دانشمندان بسياري همچون گنتس وكونتوپلو مي باشد، سپس به فرموله كردن آنها براي طراحي سيستماتيك انواع سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده تخت و مسطح خواهيم پرداخت.
2-1-1 اصول كلي و روابط هندسي
كار خود را با يك مجموعه ساده متشكل از دو المان قيچي سان نشان داده شده در شكل (2-1-1) شروع مي‌كنيم.
شكل (2-1-1) يك مكانيزم سازه بازشو متشكل از دو المان قيچي سان ]6[
شرط لازم براي امكانپذيري هندسي باز شوندگي و جمع شوندگي اين واحد ارضا شرط سازگاري هندسي زير است.
بنابراين چنانچه واحد شماره 1 را به همان صورت نشان داده شده ثابت نگه داريم، مفصل مياني واحد شماره 2 يعني نقطه p2 براي ارضا شرط سازگاري مي‌تواند در محل‌هاي مختلفي قرار گيرد و تنها شرط هندسي اين است كه بايد مجموع فواصل گره p2 تا نقاط R و S با مقدار ثابت L1+L/ 1 برابر باشد، همانطور كه مي‌دانيم مكان هندسي نقاطي كه مجموع فواصل آنها تا دو نقطه ثابت، مقداري مشخص باشد يك بيضي است كه آن دو نقطه ثابت كانون‌هاي اين بيضي هستند، بنابراين چنانچه در شكل a)2-1-2) نشان داده شده است نقطه p2 مي‌تواند هر نقطه اي از نقاط محيط بيضي به كانون‌هاي R و S باشد. ]8[
شكل (2-1-2 a،b) نمايش صوري شرايط سازگاري هندسي در المانهاي قيچي سان]8[
شكل 2-1-2b يك بيضي با پارامترهاي مربوطه را نشان مي‌دهد، براي طراحي
هندسي سازه‌هاي باز شونده و جمع شونده در شكل‌هاي دلخواه و مورد نظر مي‌توان مانند شكل (2-1-3) از اصول گفته شده در مورد بيضي استفاده نمود و با المانهاي قيچي سان، شكل مورد نظر در حالت باز شده را ايجاد كرد. ]8[. از اين مساله مي‌توان در حالت 3 بع
دي نيز استفاده كرد وبجاي بيضي از بيضيگون استفاده نمود. ]9[،]8[
شكل (2-1-3) يك مجموعه بازشونده وجمع شونده با شكل فرضي دلخواه]8[
2-1-2 طراحي هندسي در شبكه‌هاي فضايي تخت مشكل از واحدهاي چند ضلعي منتظم
براي ساخت شبكه‌هاي فضايي تخت باز شونده و جمع شونده مي‌توان از بهم پيوستن واحدهاي چند ضلعي منتظم استفاده كرده و به طرحهايي با نقشهاي متنوع و زيبا دست يافت. در اينگونه شبكه‌ها از نقش‌هايي مي‌توان استفاده نموده كه در آن يك يا چند نوع چند ضلعي منتظم با اضلاع برابر بكار رفته باشند همچنين وجود اضلاع قطري در اين چند ضلع‌هاي منتظم مي‌تواند سبب ايجاد خود ايستايي در حالت باز شده وهمچنين افزايش سختي و مقاومت و پايداري سازه شود بنابراين اقطار چند ضلعي‌هاي مزبور نيز در طراحي اين سازه‌ها در نظر گرفته مي‌شوند حال چنانچه نقش‌هايي با خصوصيات فوق الذكر داشته باشيم مي‌توان المانهاي قيچي سان را جايگزين اضلاع و اقطار چند ضلعي‌هاي مزبور كرده و به شبكه‌هاي فضايي باز شونده و جمع شونده دست يافت، اگر بخواهيم فقط از يك نوع چند ضلعي متنظم با اعضاي قطري آنها استفاده كنيم فقط سه طرح قابل ايجاد خواهد بود كه هر يك متشكل از واحدهاي مثلث شكل يا مربع شكل و يا شش ضلعي خواهندبود. ]8[
حال به فرموله كردن طراحي هندسي اين واحدها با احتساب ابعاد
توپي‌ها در گره‌هاي مفصلي انتهايي ميله‌ها مي‌پردازيم. چنانچه يك n ضلعي متنظم با المانهاي قيچي سان در اضلاع محيطي و قطري آن داشته باشيم و شعاع توپي گره‌هاي انتهايي المان R باشد مانند شكل (2-1-3) يك ضلع محيطي و يك قطر آن را در نظر مي‌گيريم. ]8[
شكل 2-1-3 مشخصات هندسي واحدهاي چند ضعلي تخت باز شونده و جمع شونده]8[
براي المانهاي محيطي مي‌توان با انتخاب مقادير D و h1 ساير ابعاد را بصورت زير بدست آورد.
پارامترx را به صورت زير تعريف مي‌كنيم.
شرط سازگاري هندسي براي جمع شوندگي عبارتست از: c+d=2e
فرض شده است كه توپي گره‌ها در حالت جمع شده بر ميله‌ها عمود باشد و در حالت باز شده ساده با يكديگر موازي هستند.
با تركيب روابط بالا
از قانون سينوسها در مثلث داريم
براي زاويه مي‌دانيم كه
برابري تصاوير قائم بصورت رابطه زير بيان مي‌شود:
مي‌توان از تصاوير افقي به رابطه زير رسيد.
از رابطه فوق بدست مي‌آيد
مي‌دانيم
رابطه(***)
حال مي‌توانيم مراحل طراحي هندسي واحدهاي چند ضعلي منتظم تخت را به صورت زير فرموله كنيم.
1- ابتدا مقادير x،h1، D،R،n را انتخاب مي‌كنيم.
2- مقدار را از رابطه (*) محاسبه مي‌كنيم.
3- اندازه e را از رابطه (**) بدست مي‌آوريم.
4- زاويه را از رابطه (***) محاسبه مي‌كنيم.
ساير مجهولات شامل L،a، ، ،c،d از روابط ذكر شده بدست مي‌آيند.
b را از رابطه زير بدست مي‌آوريم
L=(b+d).sin +2R b=
h: را از رابطه زير بدست مي‌آوريم:
ارتفاع كل واحد h=(b+d).cos
h2: را از رابطه زير بدست مي‌آوريم:
ارتفاع وسط واحد h2=b.
همانطور كه مشاهده شده در عمليات فوق پارامترهاي n و Rو D و h و X را به طور دلخواه انتخاب كرده و سپس ساير مجهولات را بدست مي‌آوريم. ]8[
حال با استفاده از خصوصيات بيضي به طرح هندسي اين سازه مي‌پردازيم.
مي‌توان به جاي x اندازه زاويه را به طور دلخواه انتخاب كرده و سپس ساير مجهولات را محاسبه نمود براي اين كار شكل (2-1-4) را در نظر مي‌گيريم.
