دانلود مقاله تابع

بخشی از مقاله

تابع

قسمتي از نمودار يک تابع. هر عدد x در عبارت f(x) = x3 - x قرار مي‌گيرد.
در رياضيات، يک تابع رابطه‌اي است که هر متغير دريافتي خود را فقط به يک خروجي نسبت مي‌دهد. علامت استاندارد خروجي يک تابع f به همراه ورودي آن، x مي‌باشد يعني . به مجموعه ورودي‌هايي که يک تابع مي‌تواند داشته باشد دامنه و به مجموعه خروجي‌هايي که تابع مي‌دهد برد مي‌گويند.
براي مثال عبارت f(x) = x2 نشان دهنده يک تابع است، که در آن f مقدار x را دريافت مي‌کند و x2 را مي‌دهد. در اين صورت براي ورودي 3 مقدار 9 به دست مي‌آيد. براي مثال، براي يک مقدار تعريف شده در تابع f مي‌توانيم بنويسيم، f(4) = 16.
معمولاً در تمارين رياضي براي معرفي کردن يک تابع از کلمه f استفاده مي‌کنيم و در پاراگراف بعد تعريف تابع يعني f(x) = 2x+1 را مي‌نويسم و سپس f(4) = 9. وقتي که نامي براي تابع نياز نباشد اغلب از عبارت y=x2 استفاده مي‌شود.

وقتي که يک تابع را تعريف مي‌کنيم، مي‌توانيم خودمان نامي به آن بدهيم، براي مثال:
.
يکي از خواص تابع اين است که براي هر مقدار بايد يک جواب وجود داشته باشد، براي مثال عبارت:

يک تابع نمي‌باشد، زيرا ممکن است براي يک مقدار دو جواب وجود داشته باشد. جذر عدد 9 برابر 3 است و در اين رابطه اعداد +3 و -3 به دست مي‌آيند. براي ساختن يک تابع ريشه دوم، بايد فقط يک جواب براي آن وجود داشته باشد، يعني:
,
که براي هر متغير غيرمنفي يک جواب غيرمنفي وجود دارد.
در يک تابع لزومي ندارد که حتماً بر روي عدد علمياتي انجام گيرد. يک مثال که نشان مي‌دهد که عملياتي بر روي عدد انجام نمي‌شود، تابعي است که پايتخت يک کشور را معين مي‌کند. مثلاً Capital(France) = Paris.

حال کمي دقيق‌تر مي‌شويم اما هنوز از مثال‌هاي خودماني استفاده مي‌کنيم. A و B دو مجموعه هستند. يک تابع از A به B با به هم پيوستن مقادير منحصر به فرد درون A معين مي‌شود و مجموعه B به دست مي‌آيد. به مجموعه A دامنه تابع مي‌گويند؛ مجموعه B هم تمام مقاديري را که تابع مي‌تواند داشته باشد شامل مي‌شود.
در بيشتر زمينه‌هاي رياضي، اصطلاحات تبديل و نگاشت معمولاً با تابع هم معني پنداشته مي‌شوند. در هر حال ممکن است که در بعضي زمينه‌هاي خصوصيات ديگري داشته باشند. براي مثال در هندسه، يک نگاشت گاهي اوقات يک تابع پيوسته تعريف مي‌شود.
تعاريف رياضي يک تابع
يک تابع f يک رابطه دوتايي است، به طوري که براي هر x يک و فقط يک y وجود داشته باشد تا x را به y رابطه دهد. مقدار تعريف شده و منحصر به فرد y با عبارت (f(x نشان داده مي‌شود.

به دليل اينکه دو تعريف براي رابطه دوتايي استفاده مي‌شود، ما هم از دوتعريف براي تابع استفاده مي‌کنيم.
تعريف اول
تعريف ساده رابطه دوتايي عبارتست از: «يک رابطه دوتايي يک زوج مرتب مي‌باشد». در اين تعريف اگر رابطه دوتايي دلالت بر «کوچکتر از» داشته باشد آن گاه شامل زوج مرتب‌هايي مانند (2, 5) است، چون 2 از 5 کوچکتر است.

يک تابع مجموعه‌اي از زوج مرتب‌ها است به طوري که اگر (a,b) و (a,c) عضوي از اين مجموعه باشند آن گاه b با c برابر باشد. در اين صورن تابع مجذور شامل زوج (3, 9) است. رابطه جذر يک تابع نمي‌باشد زيرا اين رابطه شامل زوج‌هاي (9, 3) و (9, -3) است و در اين صورت 3 با -3 برابر نيست.
دامنه تابع مجموعه مقادير x يعني مختص‌هاي اول زوج‌هاي رابطه مورد نظر است. اگر x در دامنه تابع نباشد آن گاه (f(x هم تعريف نشده‌است.
برد تابع مجموعه مقادير y يعني مختص‌هاي دوم زوج‌هاي رابطه مورد نظر است.

تعريف دوم
بعضي از نويسندگان نياز به تعريفي دارند که فقط از زوج‌هاي مرتب استفاده نکند بلکه از دامنه و برد در تعريف استفاده شود. اين گونه نويسندگان به جاي تعريف زوج مرتب از سه‌تايي مرتب (X,Y,G) استفاده مي‌کنند، که در آن X و Y مجموعه هستند (که به آنها دامنه و برد رابطه مي‌گوييم) و G هم زيرمجموعه‌اي از حاصل‌ضرب دکارتي X و Y است

(که به آن گراف رابطه مي‌گويند). در اين صورت تابع رابطه دوتايي است که در آن مقادير X فقط يک بار در اولين مختص مقادير G اتفاق مي‌افتد. در اين تعريف تابع داراي برد منحصر به فرد است؛ اين خاصيت در تعريف نخست وجود نداشت.
شکل تعريف تابع بستگي به مبحث مورد نظر دارد، براي مثال تعريف يک تابع پوشا بدون مشخص کردن برد آن امکان‌ناپذير است.

پيشينه تابع
«تابع»، به عنوان تعريفي در رياضيات، توسط گاتفريد لايبنيز در سال 1694، با هدف توصيف يک کميت در رابطه با يک منحني به وجود آمد، مانند شيب يک نمودار در يک نقطه خاص. امروزه به توابعي که توسط لايبنيز تعريف شدند، توابع مشتق‌پذير مي‌گوييم، اغلب افراد اين توابع در هنگام آموختن رياضي با اين گونه توابع برمي خورند. در اين گونه توابع افراد مي‌توانند در مورد حد و مشتق صحبت کنند. چنين توابعي پايه حسابان را مي‌سازند.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اويلر در قرن هجدهم، براي توصيف يک عبارت يا فرمول شامل متغيرهاي گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x3.
در طي قرن نوزدهم، رياضي‌دانان شروع به فرموله کردن تمام شاخه‌هاي رياضي کردند. ويرسترس بيشتر خواهان به وجود آمدن حسابان در علم حساب بود تا در هندسه، يعني بيشتر طرفدار تعريف اويلر بود.

در ابتدا، ايده تابع ترجيحاً محدود شد. براي ژوزف فوريه مدعي بود که تمام توابع از سري فوريه پيروي مي‌کنند در حالي که امروزه هيچ رياضي‌داني اين مطلب را قبول ندارد. با گسترش تعريف توابع، رياضي‌دانان توانستند به مطالعه «عجايب» در رياضي بپردازند از جمله اين که يک تابع پيوسته در هيچ مکان گسستني نيست. اين توابع در ابتدا بيان نظريه‌هايي از روي کنجکاوي فرض مي‌شد و آنها از اين توابع براي خود يک «غول» ساخته بودند و اين امر تا قرن بيستم ادامه داشت.
تا انتهاي قرن نوزدهم رياضي‌دانان سعي کردند که مباحث رياضي را با استفاده از نظريه مجموعه فرموله کنند و آنها در هر موضوع رياضي به دنبال تعريفي بودند که از مجموعه استفاده کند. ديريکله و لوباچوسکي هر يک به طور مستقل و تصادفاً هم زمان تعريف «رسمي» از تابع دادند.
در اين تعريف، يک تابع حالت خاصي از يک رابطه است که در آن براي هر مقدار اوليه يک مقدار ثانويه منحصر به فرد وجود دارد.
تعريف تابع در علم رايانه، به عنوان حالت خاصي از يک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوري رايانه مطالعه مي‌شود.

توابع در ساير علوم
توابع مورد استفاده در اکثر علوم کمي مي‌باشند، براي مثال در فيزيک، هنگامي که مي‌خواهيم رابطه بين چند متغير را بيان کنيم، مخصوصاً در زماني که مقدار يک متغير کاملاً وابسته به متغير ديگر است. براي مثال وقتي که مي‌خواهيم نشان دهيم که تغيير دماي آب چه تاثيري بر روي چگالي آن مي‌گذارد.
توابع را همچنين مورد استفاده در علم رايانه براي مدل‌سازي ساختمان داده‌ها و تاثيرات الگوريتم مي‌بينيم. اين کلمه در رويه‌ها و زيرروال‌ها بسيار ديده مي‌شود.

اصطلاحات توابع
به يک مقدار ورودي مشخص در يک تابع، آرگومان تابع مي‌گويند. براي هر آرگومان x، مقدار منحصر به فرد y در مجموعه اعداد برد تابع وجود دارد که با آن مطابقت مي‌کند، و به آن مقدار در x يا تصوير x تحت f مي‌گويند. تصوير x مي‌تواند با (f(x و يا y نشان داده شود.
گراف تابع f مجموعه تمام زوج مرتب‌هاي ((x, f(x) به ازاي تمام xهاي درون دامنه X است. اگر X و Y زيرمجموعه‌هايي از R (اعداد حقيقي) باشند، در اين صورت اين تعريف مانند شهود «گراف» به عنوان يک تصوير يا نمودار تابع به همراه زوج مرتب‌هاي نقاط در محور مختصات است.

مفهوم تصوير را مي‌توان اتصال مجموعه‌اي از نقاط تصوير به هم دانست. اگر A زيرمجموعه‌اي دامنه باشد، آن گاه (f(A هم زيرمجموعه‌اي از برد است که شامل تمام تصويرهاي‌هاي مقادير A مي‌شود. در اين صورت مي‌گوييم که (f(A تصوير A تحت f است.
به ياد داشته باشيد که برد f همان تصوير (f(X در مقادير دامنه‌است و برد f زيرمجموعه‌اي از مجموعه تمام مقادير ممکن براي f است.

وارون (يا معکوس) مجموعه B که مجموعه مقاير ممکن براي Y تحت تابع f است زيرمجموعه‌اي از دامنه X است که به اين صورت تعريف مي‌شود:
f −1(B) = {x in X | f(x) is in B}