دانلود مقاله زندگینامه پی یردو فرما

بخشی از مقاله

پي يردو فرما
زندگي

پير فرما (Pierre de Fermat) در سال 1601 در نزديکي مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند يک تاجر چرم بود و تحصيلات اوليه خود را در منزل گذراند. سپس براي احراز پست قضاوت به تحصيل حقوق پرداخت و بعد ها بعنوان مشاور در پارلمان محلي شهر تولوز (Toulouse) انتخاب شد.
او باوجود علاقه بسياري که به رياضيات داشت هرگز بصورت رسمي و حرفه اي به اين علم نپرداخت اما با اين حال بسياري او را بزرگترين رياضي دان قرن هفدهم مي دانند. او در سن 64 سالگي در شهر کاستر (Caster) در گذشت.

قضيه ها
فرما براي تفريح به رياضيات مي پرداخت و امروزه بسياري از اکتشافت او بعنوان مهمترين قضايا در رياضيات مطرح مي باشند. زمينه هاي مورد علاقه او در رياضيات بيشتر شامل نظريه اعداد، استفاده از هندسه تحليلي در مقادير بينهايت کوچک يا بزرگ و فعاليت در زمينه احتمالات بود.کارش در مورد مماسها الهام بخش نيوتن در طرح حساب ديفرانسيل و انتگرال شد.اصل مينيمم سازي فرما در اپتيک ،نتايج عميقي در سراسر فيزيک بعد از او داشت.بالاتر از تمام اينها فرما به خاطر کارهايش در نظريه اعداد،در يادها مانده است.

از جمله قضاياي زيباي او که به قضيه کوچک فرما معرف شده است مي توان به اين مورد اشاره کرد. اگر p يک عدد اول باشد و a يک عدد طبيعي در آنصورت بر p قابل قسمت خواهد بود.

اثبات اين قضيه از طريق استقراي رياضي بسيار ساده است. اين قضيه حالت عمومي تر دو قضيه ديگر در رياضيات هست يکي قضيه اي منسوب به اويلر (Euler) و ديگري قضيه اي معروف به همنهشتي چيني (Chinese Hypothesis).
از ديگر قضايايي که او در طول زندگي خود ارائه کرد مي توان به موارد زيادي اشاره کرد از جمله : "اگر a و b و c اعداد صحيح باشند و باشد در آنصورت ab نمي تواند مربع يک عدد صحيح باشد." اولين بار براي اين قضيه لاگرانژ (Lagrange) راه حلي استادانه ارائه کرد.

شايد جنجالي ترين قضيه اي که حتي خود فرما براي آن توضيح يا اثباتي ارائه نکرده است قضيه آخر او باشد که اينگونه است:

معادله در دامنه اعداد صحيح براي مقادير بزگتر از 2 پاسخ ندارد.
اين معادله ساده و فريبنده سالهاي سال براي رياضيدانان دردسر بزرگي بوده است چرا که فرما در حاشيه يکي از يادداشت هاي خود نوشته بود : "من براي اين قضيه اثبات بسيار حيرت آوري (Marvelous) دارم." اما متاسفانه هرگز در ميان نوشته هاي او اثبات اين قضيه پيدا نشد و تاريخ همواره در شک و شبهه مانده است که آيا او اين قضيه را اثبات کرده است يا خير.

با وجود آنکه اين قضيه تاکنون مورد علاقه بسياري از رياضي دانان بوده و بسياري هم به ظاهر براي آن راه حل ارائه کرده اند اما بنظر مي رسد هيچکدام از آنها استدلالهاي کاملي نبوده و در نهايت اين قضيه بنظر اثبات نشدني مي آيد.

انتگرال
در حساب ديفرانسيل و انتگرال ، از انتگرال يک تابع براي عموميت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم يک تابع استفاده مي شود. فرايند پيدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گيري گويند.البته تعاريف متعددي براي انتگرال گيري وجود دارد ولي در هر حال جواب مشابه اي از اين تعاريف بدست مي آيد. انتگرال يک تابع مثبت پيوسته در بازه (a,b) در واقع پيدا کردن مساحت بين خطوط x=0 , x=10 و خم منفي F است .

پس انتگرال F بين a و b در واقع مساحت زير نمودار است. اولين بار لايب نيتس نماد استانداري براي انتگرال معرفي کرد و به عنوان مثال انتگرال f بين a و b رابه صورت نشان مي دهند علامت ،انتگرال گيري از تابع f را نشان مي دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهاي بازه هستند و f تابعي انتگرال پذير است و dx نمادي براي متغير انتگرال گيري است.

انتگرال يک تابع مساحت زير نمودار آن تابع است.

از لحاظ تاريخي dx يک کميت بي نهايت کوچک را نشان مي دهد. هر چند در تئوريهاي جديد، انتگرال گيري بر پايه متفاوتي پايه گذاري شده است به عنوان مثال تابع f را بين x=0 تا x=10 در نظر بگيريد ،مساحت زير نمودار در واقع مساحت مستطيل خواهدبود که بين x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است يعني داراي طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعي داراي انتگرال باشد به آن انتگرال پذير گويند و تابعي که از انتگرال گيري از يک تابع حاصل مي شود تابع اوليه گويند . اگر انتگرال گيري از تابع در يک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معين گويند که نتيجه آن يک عدد است ولي اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعين گويند.

محاسبه انتگرال
اکثر روش هاي اساسي حل انتگرال بر پايه قضيه اساسي حساب ديفرانسيل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داريم:
1.f تابعي در بازه (a,b) در نظر مي گيريم .
2.پاد مشتق f را پيدا مي کنيم که تابعي است مانند f که و داريم:
3.قضيه اساسي حساب ديفرانسيل و انتگرال را در نظر مي گيريم:

بنابراين مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.
به اين نکته توجه کنيد که انتگرال واقعاً پاد مشتق نيست (يک عدد است) اما قضيه اساسي به ما اجازه مي دهد تا از پاد مشتق براي محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنيم .

معمولاً پيدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده اي نيست و نياز به استفاده از تکنيکهاي انتگرالگيري دارد اين تکنيکها عبارتند از :
• انتگرال گيري بوسيله تغيير متغير
• انتگرال گيري جزء به جزء
• انتگرال گيري با تغيير متغير مثلثاتي
• انتگرال گيري بوسيله تجزيه کسرها
روش هايي ديگر نيز وجود دارد که براي محاسبه انتگرالهاي معين به کار مي رود همچنين مي توان بعضي از انتگرال ها با ترفند هايي حل کرد براي مثال مي توانيد به انتگرال گاوسي مراجعه کنيد .

محاسبه سطح زير نمودار بوسيله مستطيل هايي زير نمودار
هر چه قدرعرض مستطيل ها کوچک ميشوندمقدار دقيق تري
از مقدار انتگرال بدست ميآيد.

تقريب انتگرالهاي معين
انتگرال هايي معين ممکن است با استفاده از روش هاي انتگرال گيري عددي ،تخمين زده شوند.يکي از عمومي ترين روش ها ،روش مستطيلي ناميده مي شود در اين روش ناحيه زير نمودار تابع به يک سري مستطيل تبديل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقريبي انتگرال است.
از ديگر روش هايي معروف براي تخمين مقدار انتگرال رو سيمپسون و روش ذوزنقه اي است. اگر چه روش هاي عددي مقدار دقيق انتگرال را به ما نمي دهند ولي در بعضي از مواقع که انتگرال تابعي قابل حل نيست يا حل آن مشکل است کمک زيادي به ما مي کند .

تعريف هاي انتگرال
از مهم ترين تعاريف در انتگرال مي توان از انتگرال ريمان و انتگرال لبسکي(lebesgue) است. انتگرال ريمان بوسيله برنهارد ريمان در سال 1854 ارئه شد که تعريف دقيقي را از انتگرال ارائه مي داد تعريف ديگر را هنري لبسکي ارائه داد که طبق اين تعريف شرايط تعويض پذيري حد و انتگرال با شرط مساوي ماندن عبارت، ارائه مي کرد.

از ديگر تعاريف ارائه شده در زمينه انتگرال ميتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعريف زير از مهمترين تعاريف انتگرال ميباشند:
• انتگرال ريمان
• انتگرال لبسکي
• انتگرال riemann-stieltjes

در رياضيات، مفهوم حد، براي بيان رفتار يک تابع مورد استفاده قرار مي گيرد و به بررسي اين رفتار در نقاط روي صفحه و يا در بي نهايت مي پردازد. حد در حساب ديفرانسيل و انتگرال و نيز در آناليز رياضي براي تعريف مشتق و نيز مفهوم پيوستگي مورد استفاده قرار مي گيرد.

حد تابع در يک نقطه

اگر يک تابع و يک عدد حقيقي باشد و داشته باشيم: آن گاه اين فرمول را چنين ميخوانيم << حد تابع f وقتي که x به سمت مي رود برابر L است>> توجه کنيد که اين عبارت حتي اگر
باشد نيز مي تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعريف نشده است.حالي مثالي را ذکر مي کنيم:تابع زير را در نظر ميگيريم

حال متغير x را به عدد2 نزديک مي کنيم و خواهيم ديد که مقدار تابع به 0.4 نزديک مي شود. در اين مورد مشاهده مي شود که در اين صورت گزينه تابع در نقطه X=C داراي پيوستگي است. اما هميشه اين مورد برقرار نيست.

منحني زرد رنگ در همه جا پيوسته بوده و داراي حد است ولي سه شکل ديگر نمايانگر انواع ناپيوستگي يک نمودار در يک نقطه است

تعريف مجرد حد:
فرض کنيد f تابعي باشد روي يک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنيد L يک عدد حقيقي باشد در اين صورت را به صورت زير تعريف ميکنيم:
به ازاي هر وجود دارد يک که براي هر x دلخواه اگر آنگاه نتيجه بگيريم:

حد توابع در بي نهايت
حد يک تابع فقط در نزديکي اعداد متناهي تعريف نمي شود بلکه ممکن است متغير توابع وقتي که بي نهايت نزديک مي شود داراي حد باشند.
به عنوان مثال در تابع خواهيم داشت:
• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998
مشاهده ميشود که هر چه قدر x بزرگتر ميشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزديکتر ميشود .در واقع داريم:

حد يک دنباله
حد يک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگيريد. مشاهده مي کنيم که اين دنباله به عدد 1.8 نزديک مي شود.
به طور کلي فرض مي کنيم يک دنباله از اعداد حقيقي باشد. مي گوييم حد اين دنباله برابر L است و مي نويسيم: اگر و تنها اگر براي هر يک عدد طبيعي مانند m باشد که براي هر n>m داشته باشيم
بايد توجه کرد که ما مي توانيم مقدار . را به عنوان فاصله بين و L در نظر بگيريم به چنين دنباله هايي که حد آنها به يک عدد متناهي ميل مي کند همگرا گويند و گرنه به آن واگرا گويند.

تابع
در رياضيات، تابع رابطه اي است که رابطه بين اعضاي يک مجموعه را با اعضايي از مجموعه اي ديگر (شايد يک عضو از مجموعه) را بيان مي کند. نظريه درباره تابع يک پايه اساسي براي خيلي از شاخه هاي رياضي به حساب مي آيد.
مفاهيم تابع، نگاشت و تبديل معمولاً مفاهيم مشابه اي هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بين اعضاي تابع وارد عمل مي شوند

.
تعريف:
تابع يک قاعده اي است که وروديهايي را مي گيرد و خروجيهايي را به ما پس مي دهد. مثالهايي را ذکر مي کنيم.
• هر شخص داراي هشت رنگ مورد علاقه دارند (قرمز، نارنجي، زرد، سبز، آبي، بنفش، نيلي، صورتي) رنگ مورد علاقه يک تابع انساني است. براي مثال علي رنگ قرمز را دوست دارد. در حالي که کيارش رنگ بنفش را دوست دارد.در اينجا، ورودي يک مشخص است ولي خروجي يکي از هشت رنگ است. بايد به نکته توجه کرد که چند شخص مي توانند يک رنگ را انتخاب کنند.

• يک سنگ از طبقات مختلف يک ساختمان رها مي شود. اين سنگ در 2 ثانيه، 2 طبقه را پائين مي رود و در 4 ثانيه، 8 طبقه را پايين مي رود. در اينجا، طبقات به عنوان ورودي و تعداد ثانيه ها به عنوان خروجي به حساب مي آيند.
قاعده تعريف يک تابع مي تواند به وسيله يک فرمول، رابطه و يا يک جدول ساده که وروديها و خروجيها را در برابر هم قرار مي دهد، باشد.
در توابع، وروديها به عنوان متغير تابع و خروجيها به عنوان ارزش تابع شناخته مي شوند.

يک نمونه از توابع، توابعي است که رابطه متغير تابع با ارزش تابع به صورت يک فرمول بيان مي شود. و ارزش تابع از جايگزين متغير در فرمول بدست مي آيد.
به عنوان مثال تابع

بيان مي کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددي مانند x

تعريف روي مجموعه ها
يک تابع رابطه‌اي منحصر به فرد است که يک عضو از مجموعه اي را با اعضاي مجموعه‌اي ديگر مرتبط ميکند.