دانلود مقاله سیستمهای کنترل

word قابل ویرایش
154 صفحه
19700 تومان
197,000 ریال – خرید و دانلود

سیستمهای کنترل

۱-۱ مقدمه:
کنترل خودکار پیشرفت علوم مهندسی نقشی حیاتی داشته است. کنترل خودکار علاوه بر نقش بسیار مهمی که در سیستمهای فضا پیما، هدایت موشک، روباتها و سیستمهای مشابه داشته است. بخش مهم ناگسستنی از فرآیندهای صنعتی امروزی است. کنترل خودکار در کنترل عددی ماشینهای ابزار، طراحی هواپیماهای بی سر نشین و طراحی اتومبیل وکامیون کاملاً ضروری است. در فرایند صنعتی متنوعی چون کنترل فشار، دما، رطوبت، چسبندگی و جریان نیز کنترل نقشی اساسی دارد.

چون پیشرفت نظریه کنترل خودکار و کاربردهای آن عامل دستیابی به کارایی بهینه سیستمهای دینامیکی، ازدیاد بازده، و تسهیل کارهای تکراری دستی است، مهندسین و دانشمندان باید درک خوبی در این زمینه کسب کنند.

مرور تاریخی: اولین کار برجسته در زمینه کنترل خودکار، ناظم گریز از مرکز جیمز وات، برای کنترل سرعت ماشینهای بخار در قرن هیجدهم است. دیگر کارهای برجسته در مراحل اولیه بسط نظریه کنترل توسط مینوسکی، هازن، نایکوییست ودیگران انجام شده است. در ۱۹۲۲ مینورسکی بر روی کنترل خودکار کشتیها کارکرد و نشان داد که چگونه می توان پایداری را با توجه به معادلات دیفرانسیل توصیف کننده سیستم تعیین کرد. در ۱۹۳۲، نایکوییست روش نسبتاً ساده ای برای تعیین پایداری سیستمهای حلقه بسته، براساس پاسخ حلقه باز به ورودیهای سینوسی، ارائه کرد. در سال ۱۹۳۴ هازن، که اصطلاح سرو مکانیسم برای سیستمهای کنترل وضعیت از ابداعات اوست. طراحی که سیستم سرومکانیسم رله ای را مورد بحث قرار داد، که می توانست ورودی متغیری را به خوبی دنبال کند.

در دهه ۱۹۴۰ روشهای پاسخ فرکانسی (خصوصاً روش نمودار بوده که توسط بوده ابداع شد) امکان طراحی سیستمهای کنترل حلقه بسته ای خطی یی را فراهم کرد که شاخصهای عملکرد را براورده می کردند. طی سالهای آخر دهه ۱۹۴۰ تا سالهای اول دهه ۱۹۵۰، ایوانز روش مکان هندسی ریشه ها را به طور کامل مورد بررسی قرار داد.

روشهای پاسخ فرکانسی و مکان هندسی ریشه ها اساس نظریه کلاسیک کنترل هستند. اینها به سیستمهای منجر می شوند که پایدارند و مجموعه ای از خواسته ای کم و بیش دلخواه عملکرد را برآورده می کنند. این سیستمها در حالت کلی قابل قبول اند، ولی به هیچ مفهومی بهینه نیستند. از اواخر دهه ۱۹۵۰ به بعد، تاکید از طراحی سیستمی که کار قابل قبولی دارد، به طراحی سیستمی بهینه معطوف گشته است.

چون دستگاههای چند ورودی، چند خروجی امروزی روز به روز پیچیده تر می شوند، توصیف یک سیستم کنترل امروزی باتعداد معادله انجام می شود. نظریه کلاسیک کنترل که تنها به سیستمهای یک ورودی- یک خروجی اختصاص دارد، برای تحلیل این سیستمهای چند ورودی- چند خروجی توانایی کافی ندارد. از اواسط دهه ۱۹۶۰، به خاطر در دسترس بودن کامپیوترهای دیجیتال، تحلیل سیستمهای پیچیده در حوزه زمان امکان پذیر شده است. به همین خاطر نظریه جدید کنترل بر اساس تحلیل و طراحی در حوزه زمان، با استفاده از متغیرهای حالت پاگرفته است تا بتواند از عهده تحلیل دستگاههای پیچیده امروزی برآید و سیستم کنترلی تحویل دهد که خواسته های مربوط به وزن، هزینه، و دقت را، که امروزه با وسواس بیشتر و تولرانس کمتر تعیین می شوند، برآورده کند.

طی سالهای ۱۹۴۰ تا ۱۹۸۰ تحقیقات گسترده ای در مورد کنترل بهینه سیستمهای قطعی و اتفاقی، کنترل وفقی و یادگیرنده سیستمهای پیچیده صورت گرفت. از ۱۹۸۰ تاکنون تحقیقات نظری کنترل حول مباحثی چون کنترل مقاوم، کنترل , و موضوعات مرتبط با آنها دورمی زده است.
اکنون کامپیوترهای دیجیتال به خاطر ارزانی و کوچکی در سیستمهای کنترل بسیار به کار برده می شوند. نظریه جدید کنترل اخیراً در کاربردهای غیر مهندسی، چون سیستمهای زیستی، دارویی، اقتصادی و جامعه شناسی به کار برده شده است.
تعاریف. قبل از شروع بحث راجع به سیستمهای کنترل باید برخی اصطلاحات را تعریف کنیم.
متغیر کنترل شده و متغیر تاثیرگذار. متغیر کنترل شده، کمیت یا شرطی است که اندازه گیری و کنترل می شود متغیر تاثیرگذار کمیت یا شرطی است که تغییر داده می شود تا بر متغیر تحت کنترل تاثیر بگذارد. معمولاً متغیر تحت کنترل خروجی سیستم است. منظور از کنترل اندازه گیری متغیر تحت کنترل و اعمال کاربرد متغیر تأثیرگذار برای رساندن متغیر تحت کنترل به مقدار مطلوب است.
در مطالعه مهندسی کنترل برای توصیف سیستمهای نیازمند تعریف اصطلاحات دیگری نیز هستیم.
دستگاه. دستگاه می تواند بخشی از یک وسیله، مثلاً مجموعه ای از اجزاء ماشین که یک کار انجام می دهند، باشد. در این کتاب هر جسم فیزیکی تحت کنترل (مثلاً یک وسیله مکانیکی، کوره گرمایش، راکتور شیمیایی، یا سفینه) دستگاه نامیده می شود.
فرایند. فرایند عملی طبیعی و تدریجی یا یک رشته تغیر تدریجی است که به صورتی تقریباً معین یکی پس از دیگری انجام شده به هدفی مشخص می انجامد، همچنین عملی مصنوعی که از یک رشته جنبشها و کارهای کنترل شده برای سوق به هدفی مشخص صورت می گیرد. در این کتاب هر کاری را که باید کنترل شود فرآیند می نامیم.
فرایندهای شیمیایی، اقتصادی، و زیستی مثالهایی از این فرایندها هستند.
سیستم. سیستم ترکیبی از اجزاست که باهم و برای انجام عملی مشخص کار می کنند. سیستم تنها سیستم فیزیکی نیست. مفهوم سیستم را میتوان به پدیده های پویای انتزاعی، مثلاً پدیده های اقتصادی، نیز تعمیم داد. بنابراین کلمه سیستم می تواند تمام سیستمهای فیزیکی، زیستی، اقتصادی، و غیره را شامل شود.
اغتشاش. اغتشاش سیگنالی است که در جهت تغییر شدید یک سیستم عمل می کند. اگر اغتشاش در داخل سیستم تولید شود آن را داخلی می نامیم، اغتشاش خارجی در خارج سیستم تولید می شود و یک ورودی سیستم است.
کنترل با فیدبک. منظور از کنترل با فیدبک عملی است که می کوشد اختلاف بین خروجی سیستم ورودی مرجع را به رغم وجود اغتشاش می نیم کند، و این کوشش بر اساس این اختلاف صورت می گیرد. در اینجا تنها اغتشاشای پیش بینی نشده مورد نظر است، زیرا اغتشاشهای معلوم را همیشه می توان در داخل سیستم جبران کرد.

۱-۲ نمونه های از سیستمهای کنترل
در این بخش نمونه هایی از سیستمهای کنترل رامعرفی می کنیم.
سیستم کنترل سرعت. اصول اساسی ناظم سرعت وات برای یک ماشین در شکل ۱-۱ نشان داده شده است. مقدار سوختنی که به ماشین می رسد براساس تفاضل سرعت مطلوب و سرعت واقعی ماشین تنظیم می شود. رشته عملیات کنترلی را می توان به صورت زیر بیان کرد:

سیستم کنترل سرعت
ناظم سرعت طوری تنظیم شده است که در سرعت مطلوب روغن تحت فشار به هیچ طرف سیلندر قدرت وارد نمی شود. اگر سرعت موتور را در اثر اغتشاش از این حد مطوب کمتر شود، کاهش نیروی گریز از مرکز ناظم سرعت باعث کاهش شیر کنترل به سمت پایین می شود. این حرکت باعث افزایش ورودی سوخت شده، سرعت افزایش می یابد تا به حد مطلوب برسد. اگر سرعت موتور بیش از حد مطلوب شود، افزایش نیروی گریز از مرکز باعث بالارفتن شیر کنترل شده، سوخت کمتری به ماشین می رسد.

کاهش سوخت باعث کاهش سرعت ماشین و رسیدن آن به حد مطلوب می شود.
در این سیستم کنترل سرعت، دستگاه (سیستم تحت کنترل) ماشین و متغیر تحت کنترل سرعت آن است. تفاضل بین سرعت مطلوب و سرعت واقعی سینگنال خطاست. سیگنال کنترل (مقدار سوخت) که به دستگاه (ماشین) اعمال می شود، سیگنال کاراندازا است، ورودی خارجی که باعث تغییر تحت کنترل می شود، اغتشاش است.بعنوان مثال تغییر غیر منتظره بار ماشین یک اغتشاش است.

سیستم کنترل دما. شکل ۱-۲ نمودار کنترل درجه حرارت یک کوره الکتریکی را نشان می دهد درجه حرارت داخل کوره الکتریکی توسط دماسنج، که وسیله ای آنالوگ است سنجیده می شود. مبدل A/D سیگنال آنالوگ دما رابه یک سیگنال دیجیتال دما تبدیل می کند. این سیگنال از طریق یک مدار واسطه به کنترل کننده داده می شود. دمای دیجیتالی با دمای برنامه ریزی شده در ورودی مقایسه می شود، ودر صورت وجود اختلاف (خطا) سیگنالی از طریق کنترل کننده به کوره، باز هم از طریق یک مدار واسطه تقویت کننده وارد می شود و رله دما را به حد مطلوب

می رساند.

سیستم کنترل درجه حرارت
سیستمهای اداری. سیستم اداری ممکن است از گروههای بسیاری تشکیل شده باشد. هر وظیه محول شده به یک گروه عنصری پویا از این سیستم است. در چنین سیستمی باید فیدبک به صورت گزارشگری از کارهای محول شده به کار می رود تا سیستم به طور مناسبی عمل کند. تداخل بی گروههای اری باید می نیمم شود تا تاخیرهای زمانی نامطوب در سیستم کم شود. هر چه تداخلها کمتر شود کار روانتر صورت می گیرد.

سیستم اداری یک سیستم حلقه بسته است. طراحی خوب، مدیریت کنترلی لازم را کاهش می دهد. اغتشاشهای این سیستم کمبود کارمند یا وسایل،وقفه در ارتباطات، اشتباههای انسانی و غیره است.
ایجاد یک سیستم برآورد خوب براساس آماری کاری لازمه مدیریت خ وب است. (این حقیقتی شناخته شده است که پیش افتادن کار عملکرد چنین سیستمی را بهبود می بخشد.)
برای استفاده از نظریه کنترل برای بهبود عملکرد چنین سیستمی باید مشخصات دینامیکی گروههای کاری را با معادلات نسبتاً ساده ای توصیف کنیم.
گرچه تعیین نمایش ریاضی گروههای کاری مسئله مشکلی است، ولی کاربرد روشهای بهینه سازی در مورد سیستمهای اداری بهبود قابل ملاحظه ای در عملکرد آنها ایجاد می کند.

نمودار بلوکی یک سازمان مهندسی
برای رسم نمودار بلوکی می توان فعالیتهای کارکردی را به صورت جعبه، و اطلاعات یا محصولات خروجی هر فعالیت را به صورت خطوط سیگنال نشان داد. شکل ۱-۴ یک نمودار بلوکی ممکن را نشان می دهد.
۱-۳ کنترل حلقه بسته و کنترل حلقه باز

سیستمهای کنترل فیدبک دار سیستمی که برای ایجاد ارتباط مطلوب بین خروجی و ورودی مرجع، از مقایسه آنها و تفاضلشان استفاده می کند سیستم کنترل فیدبک دار نامیده می شود. سیستم کنترل دمای اتاق نمونه از چنین سیستمی است. ترموستات با اندازه گیری دمای اتاق و مقایسه آن با یک درجه حرارت مرجع (دمای مطلوب) وسیله گرمایش یا سرمایش را به کار می اندازد یا آن را قطع می کند تا دمای اتاق به رغم درجه حرارت بیرون مقدار مطلوبی داشته باشد.
سیستمهای فیدبک دار تنها مهندسی منحصر نیست، بلکه در زمینه های غیر مهندسی مختلفی نیز یافت می شود برای مثال بدن انسان یک سیستم کنترل فیدبک دار بسیار پیشرفته دارد هم دمای بدن و هم فشار خون توسط فیدبکهای زیستی ثابت نگهداشته می شوند. در واقع فیدبک نقش حیاتی دارد وبدن انسان را به اغشاشهای خارجی نسبتاً غیر حساس

می کند، تا او بتواند در شرایط متغیر محیطی کار خود را انجام دهد.
سیستمهای کنترل حلقه بسته. سیستمهای کنترل فیدبک دار را غالباًَ سیستمهای کنترل حلقه بسته می نامند. در عمل سیستمهای کنترل حلقه بسته سیستمهای کنترل فیدبک دار به یک معنی به کار می روند. در سیستم کنترل حلقه بسته سیگنال کارانداز خطا، که تفاضل سیگنال ورودی و سیگنال فیدبک شده است. برای کاهش خطا و آوردن خروجی به مقدار مطلوب به کنترل داده می شود و سیگنال فیدبک شده می تواند خود خروجی یا تابعی از خروجی و مشتق و انتگرال آن باشد. منظور از کنترل حلقه بسته استفاده از عمل فیدبک برای کاهش خطای سیستم است.

سیستمهای کنترل حلقه باز. سیستمهایی که در آنها خروجی بر عملی کنترلی تاثیر ندارد سیستمهای کنترل حلقه باز نامیده می شوند. به عبارت دیگر خروجی سیستم کنترل حلقه باز نه اندازه گیری می شود، و نه برای مقایسه با ورودی فیدبک می شود. یک مثال نوعی ماشین لباسشویی است. خیس کردن، شستن و آبکشی براساس یک زمانبندی از قبل معلوم انجام می شود. ماشین سیگنال خروجی را، که تمیزی لباسهاست، اندازه گیری نمی کند.

در سیستمهای حلقه باز خروجی با ورودی مرجع مقایسه نمی شود. پس به ازای هر ورودی مرجع یک شرایط کاری ثابت وجود دارد، بنابراین دقت سیستم به تنظیم آن بستگی دارد. اگر اغتشاش وجود داشته باشد، سیستم کنترل حلقه باز نمی تواند وظیفه مطلوب را انجام دهد. سیستم کنترل حلقه باز را در عمل تنها موقعی می توان به کار برد که رابطه ورودی و خروجی معلوم بوده، اغتشاش خارجی و داخلی وجود نداشته باشد. واضح است که چنین سیستمی یک سیستم فیدبک دار نیست. هر سیستم کنترلی که براساس زمانبندی کار می کند حلقه بازست. چراغهای راهنمایی که بر اساس زمانبندی کار می کنند. نمونه دیگری ازکنترل حلقه باز هستند.

مقایسه سیستمهای کنترل حلقه بسته و حلقه باز. یکی از مزایای سیستمهای کنترل فیدبک دار این است که فیدبک پاسخ سیستم را نسبت به اغتشاش خارجی و تغییر پارامترهای سیستم تقریباً بی اثر می کند. بنابراین می توان با استفاده از اجزاء ارزان و نه چندان دقیق دستگاه را به خوبی کنترل کرد، کاری که در سیستمهای حلقه باز ناممکن است.

از دیدگاه پایداری، ساختمان سیستمهای کنترل حلقه باز ساده رت است، زیرا در این سیستمها مشکل ناپایداری وجود ندارد. ولی در سیستمهای کنترل حلقه بسته پایداری یک مشکل اساسی است، این مشکل باعث می شود سیستم با دامنه ای ثابت یا متغیر نوسان کند.
باید تاکید کرد که اگر در سیستمی ورودی از قبل معلوم است و اغشاش وجود ندارد بهترست کنترل به صورت حلقه باز انجام شود. سیستم کنترل حلقه بسته تنها هنگامی برتری خود را نشان می دهد که اغتشاشهای پیش بینی نشده و /یا تغییرات غیرقابل پیش بینی اجزای سیستم وجود داشته باشد. توجه کنید که توانایی توانی خروجی تا حدی هزینه، وزن و اندازه سیستم کنترل را تعیین می کند. تعداد اجزای سیستم کنترل حلقه بسته از تعداد اجزای سیستم کنترل حلقه باز بیشترست. بنابراین سیستم کنترل حلقه بسته معمولاً گرانترست و توان بیشتری

می خواهد برای کاهش توان لازم سیستم، می توان در صورت امکان از کنترل حلقه باز استفاده کرد. معمولاً ترکیب کنترلهای حلقه باز و بسته ارزانترست و عملکرد مطلوب برای کل سیستم را در پی دارد.
۲-۱ مقدمه

روش تبدیل لاپلاس یک روش عملیاتی است که کاربرد ان در حل معادلات دیفرانسیل خطی مزایای زیادی دارد. با استفاده از تبدیل لاپلاس می توا بسیاری از توابع معمولی، مثل توابع سینوسی، سینوسی میرا و نمایی را به توابعی جبری از متغیر مختلط s تبدیل کرد. در صفحه مختلط می توان عملیات مشتقجگیری و انتگرالگیری را به عملیات جبری تبدیل کرد. به این ترتیب معادله دیفرانسیل خطی به یک معادله جبری از متغیر مختلط s تبدیل می شود. اگر این معادله جبری را حل کرده، متغیر وابسته را برحسب s به دست می آوریم. می توانیم حل معادلظ دیفرانسیل (عکس تبدیل لاپلاس متغیر وابسته) را با استفاده از جدول تبدیل لاپلاس، یا با روش بسط به کسرهای جزیی به دست آوریم.

روش بسط به کسرهای تبدیل لاپلاس را در بخشهای ۲-۵ و ۲-۶ معرفی خواهیم کرد.
یکی از مزایای روش تبدیل لاپلوس این است که امکان کاربرد روشهای ترسیمی برای پیش بینی عملکرد سیستم، بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم، را میسر می داند مزیت دیگر این روش این است که هنگام حل معادله دیفرانسیل، مولفه های گذرا وحالت ماندگار جواب، یکجا بهدست می آید.

نمای کلی فصل. در بخش ۲-۱ مطالب مقدماتی بیان شده است. در بخش ۲-۲ متغیرها و توابع مختلط به اختصار مرور شده اند. در بخش ۲-۳ تبدیل لاپلاس توابع زمانی پرکاربرد در مهندسی کنترل به دست امده اند. بخش ۲-۴ شامل قضایای مفید تبدیل لاپلاس است. و بخش ۲-۵ به عکس تبدیل لاپلاس اختصاص دارد. با استفاده از تجزیه (s)/A(s)B به کسرهای جزیی معرفی می شود، (s)A و (s)B چند جمله ایهایی از s هستند. در بخش ۲-۶ روشهای محاسباتی MATLAB براییافتن بسط (s)A/ (s)B به کسرهای جزیی، و یافتن صفرها و قطبهای (s)A/ (s)B مورد بحث قرار گرفته است. سرانجام در بخش ۲-۷ به حل معادلات دیفرانسیل خطی مستقل از زمان به کمک تبدیل لاپلاس پرداخته شده است.

۲-۲ مرور متغیرها و توابع مختلط
قبل از معرفی تبدیل لاپلاس متغیرها و توابع مختلط را مرور می کنیم. قضیه اویلر را نیز بررسی می کنیم، این قضیه توابع سینوسی را به توابع نمایی مرتبط می کند.
متغیر مختلط. عدد مختلط یک بخش حقیقی دارد و یک بخش موهومی، که هر دو ثابت اند. اگر بخش حقیقی و / یا بخش موهومی متغیر باشد، کمیت مختلط را متغیر مختلط می نامند. در تبدیل لاپلاس نماد s را به عنوان متغیر مختلط به کار می بریم، یعنی

که بخش حقیقی و بخش موهومی آن است.
تابع مختلط. تابع مختلط (s)G، که تابعی از s است، یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی دارد.

که در آن و کمیات حقیقی اند. اندازه برابر و زاویه آن، برابر است. زاویه در جهت ساعتگرد نسبت به بخش مثبت محور حقیقی اندازه گرفته می شود. مزدوج مخلتط (s)G عبارت است از .
توابع مختلطی که معمولاً در تحلیل سیستمهای مطرح می شوند تابعی تک مقداری از s هستند و برای هر s خاصی به نحوی یکتا تعیین
می شوند.
تابع مختلط را در یک ناحیه تحلیلی می نامند، اگر و تمام مشتقهایش در آن ناحیه وجود داشته باشند، مشتق تابع تحلیلی عبارت است از

چون می تواند از بینهایت مسیر متفاوت به صفر میل کند. می توان ثابت کرد(در اینجا اثبات را بیان نمی کنیم) که اگر مشتق روی دو مسیر خاص، یعنی برابر باشند، مشتق روی هر مسیر دلخواه یکتا ست و بنابراین مشتق وجود دارد.
برای مسیر خاص (یعنی مسیر واقع بر محور حقیقی).

برای مسیر خاص (یعنی روی محور موهومی)

اگر این دو مشتق برابر باشند

آنگاه مشتق به نحوی یکتا تعیین می شود این دو شرط را شرایط کوشی- ریمان می نامند. اگر این دو شرط ارضا شوند تابع G(s) تحلیلی است.
به عنوان مثال تابع G(s) زیر را در نظر بگیرید.
پس
که در آن
می توان دید که بجز در s=1 (یعنی ) G(s) شرایط کوشی- ریمان را براورده می کند:

پس در تمام صفحه s بجز تحلیلی است. مشتق در تمام صفحه بجز در s=1 برابر است با

نقاطی از صفحه s که در آنها تابع G(s) تحلیلی است نقاط عادی نامیده می شود. نقاطی از صفحه s که در آنها تابع G(s) یا مشتقهای آن به بینهایت میل می کند قطب نامیده می شود. نقاطی که در آنها تابع G(s) برابر صفر است، صفرهای تابع نام دارند.

در s=-p مقداری محدود و غیر صفر داشته باشد، s=-p قطب مرتبه n نامیده می شود. به ازای n=1، قطب را قطب ساده می نامند. به ازای ، قطب را مرتبه دوم، مرتبه سوم، … می نامند.
برای مثال تابع مختلط زیر را در نظر بگیرید.

G(s) در و صفر دارد، در و قطب ساده دارد ودر قطب دوگانه (یا قطب مرتبه دوم) دارد. توجه کنید که G(s) در صفر می شود. چون به ازای مقادیر بزرگ s
G(s)
G(s) در صفر سه گانه (یا صفر مرتبه سوم) دارد. اگر نقاط بی نهایت ار در نظر بگیریم، تعداد صفرها و قطبهای تابع G(s) برابرند. به طور خلاصه تابع G(s) پنج صفر و پنج قطب ( ) دارد.
قضیه اویلر. بسط و به صورت سری توانی عبارت اند از

پس
چون
می بینیم که
این را قضیه اویلر می نامند.
با استفاده از قضیه اویلر می توانیم توابع سینوس و کسینوس را بر حسب تابع نمایی بنویسیم. توجه کنید که و مزدوج مختلط است و

با جمع و تفریق این دو معادله به دست می آوریم.
(۲-۲)
(۲-۳)
۲-۳ تبدیل لاپلاس
ابتدا تعریفی از تبدیل لاپلاس و بحث مختصری راجع به شرایط وجود تبدیل لاپلاس ارائه می کنیم. سپس طی مثالهایی روش به دست آوردن تبدیل لاپلاس چند تابع متداول را نشان می دهیم.
تعریف می کنیم.
تابعی از زمان به نحوی که برای
=s یک متغیر مختلط
؟؟ = نمادی که نشان می دهد باید تبدیل لاپلاس کمیت جلوی آن توسط انتگرال تبدیل لاپلاس محاسبه شود. = تبدیل لاپلاس
تبدیل لاپلاس عبارت است از

فرآیند عکس یافتن تابع زمانی f(t) ازتبدیل لاپلاس f(s) عکس تبدیل لاپلاس نام دارد. نمادی که برای عکس تبدیل لاپلاس به کار می بریم ؟؟ است. عکس تبدیل لاپلاس را میتوان با انتگرال زیر از f(s) به دست آورد.
(۲-۴) در و
که در آن c، طول همگرایی، ثابتی حقیقی است که بزرگتر از بخش حقیقی تمام نقاط تکین f(S) برگزیده می شود. پس مسیر انتگرالگیری بامحور موازی است و به فاصله c از آن قرار دارد. این مسیر سمت راست تمام نقاط تکین قرار دارد.
محاسبه انتگرال عکس پیچیده به نظر می رسد. درعمل برای یافتن f(t) به ندرت از این انتگرال استفاده می شود و روشهای ساده تری برای یافتنم f(t) وجوددارد. این روشهای ساده را دربخشهای ۲-۵ و ۲-۶ معرفی می کنیم. تذکر می دهیم که در این کتاب همیشه فرض می کنیم تابع زمانی f(t) برای زمانهای منفی صفرست، یعنی برای ۰>t،۰=f(t)
وجود تبدیل لاپلاس. تبدیل لاپلاس تابع f(t) در صورتی وجود دارد که انتگرال لاپلاس همگرا باشد. انتگرال لاپلاس در صورتی همگراست که f(t) در هر فاصله ای واقع در ۰<t در تکه تکه پیوسته باشد و با میل t به بی نهایت مرتبه نمایی داشته باشد. تابع f(t) در صورتی مرتبه نمایی دارد که حقیقی باشد و یک عدد مثبت وجود داشته باشد، به نحوی که با میل t به بینهایت تابع زیر به صفر میل می کند.

اگر به ازای های بزرگتر از ،حد صفر باشد و به ازای های کوچکتر از بینهایت، را طول همگرایی تابع f(t) می نامند.
برای تابع

به ازای به صفر میل می کند. برای این تابع طول همگرایی است. ا انتگرال تنها در صورتی وجود دارد که ،بخش حقیقی s، بزرگتر از طول همگرایی باشد. پس عملگر s باید به نحوی انتخاب شود که این انتگرال همگرا باشد.
برحسب قطبهای تابع f(s)، طول همگرایی با بخش حقیقی راست ترین قطب f(s) برابر است. مثلاً برای تابع f(s) زیر

طول همگرایی برابر ۱- است.می توان دید که برای توابعی چون t ، ، و طول همگرایی صفرست. برای توابعی چون ، ، وغیره طول همگرایی –c است.ولی برای توابعی کهم سریعتر از توابع نمایی رشد می کنند. نمی توان برای طول همگرایی مقداری برگزید. پس توابعی چون و تبدیل لاپلاس ندارند.
ولی باید به خواننده تذکر دهیم که گرچه (برای ) تبدیل لاپلاس ندارد، ولی مانع زمانی زیر
در =f(t) در ، ۰=
تبدیل لاپلاس دارد، زیرا f(t) تنها در فاصله محدود برابر است نه برای چنین تابعی را می توان به صورت فیزیکی ساخت، سیگنالهایی را که می توان عملاً تولیدکرد، همیشه تبدیل لاپلاس دارند.
اگر تابع f(t) تبدیل لاپلاس داشته باشد، تبدیل لاپلاس f(t) A که در آن A مقدار ثابتی است، برابر است با
این مطلب به وضوح از تعریف تبدیل لاپلاس نتیجه می شود، چون تبدیل لاپلاس یک عمل خطی است، اگر توابع تبدیل لاپلاس داشته باشند، به ترتیب ، تبدیل لاپلاس عبارت است از

در ادامه تبدیل لاپلاس چند تابع متداول را به دست می آوریم.
تابع نمایی. تابع نمایی زیر را در نظر بگیرید.
برای ۰>t f(t)=0
برای ۰ t A=
که در آن A و ثابت هستند. تبدیل لاپلاس این تابع نمایی را می توان به صورت زیر یافت:
می بینیم که تابع نمایی در صفحه مختلط یک قطب به وجود می آورد.
در یافتن تبدیل لاپلاس لازم داریم که بخش حقیقی s از (طول همگرایی) بزرگتر باشد. بلافاصله این سوال پیش می اید که آیا تبدیل لاپلاس به دست آمده در ناحیه صفحه s معتبر است. برای پاسخ دادن به این سوال باید به نظریه متغیرهای مختلط متوسل شویم. در نظریه متغیرهای مختلط قضیه ای موسوم به قضیه تعمیم توابع تحلیلی وجود دارد. این قضیه می گوید اگر دو تابع تحلیلی روی یک خم دلخواه محدود، واقع در ناحیه ای که در ان هر دو تحلیلی هستند برابر باشند. در تمام آن ناحیه برابرند. خم برابری معمولاً محور حقیقی یا بخشی از آن است. طبق این قضیه f(s) را می توان با گرفتن انتگرالی که در آن s مقدار دلخواهی بزرگتر از طول همگرایی دارد تعیین کرد و این f(s) برای بقیه مقادیر s واقع در ناحیه ای که در آن f(s) تحلیلی است. نیز معتبرست. بنابراین گرچه برای همگرایی مطلق باید بخش حقیقی s بزرگتر از طول همگرایی باشد، ولی f(s) به دست امده در تمام صفحه sبه جز در قطبهای f(s) معتبرست.
تابع پله. تابع پله زیر را در نظر بگیرید.
برای ۰>t f(t)=0
برای ۰<t =A
که در آن =A مقداری ثابت است. توجه کنید که این تابع حالت خاصی از تابع نمایی ، به ازای a=0 است. تابع پله در t=0 تعریف نشده است. تبدیل لاپلاس در این تابع عبارت است از

در محاسبه این انتگرال فرض کرده ایم بخش حقیقی s از صفر (طول همگرایی) بزرگتر است، و در نتیجه حد در صفرست. چنانچه در بالا گفتیم تبدیل لاپلاس به دست آمده در تمام صفحه s بجز قطب واقع در s=0، معتبر است.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 19700 تومان در 154 صفحه
197,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد