بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
طراحي کنترل کننده بهينه براي سيستمهاي هايبريد با استفاده از الگوريتم استعماري
چکيده :
سيستم هاي هايبريد١، سيستم هاي ديناميکي هستند که هر دو ديناميک پيوسته و گسسته را در بر مي گيرند.در اين مقاله ،ابتدا توصيف وتشريح مزايا و معايب مدلهاي مشهور سيستمهاي هايبريد مانند PWA ،MLD ، LC برداخته شده و سپس به طراحي کنترل کننده PID مرتبه کسري براي سيستم تانک آبي دوگانه که با معادلات هايبريدي مدل شده اند پرداخته ميشود.براي طراحي کنترل کننده PID بهينه مرتبه کسري از الگوريتم استعماري استفاده شده است .
کليد واژه : سيستم هايبريد، الگوريتم استعماري، سيستم تانک آبي دوگانه ،
١- مقدمه
سيستم هاي ديناميکي هايبريد٥ دستهاي از سيستم هاي ديناميکي اند که در آنها رفتار ديناميکي سيستم ترکيبي از ديناميک هاي پيوسته و ديناميکهاي گسسته پيشامد است .سيستم هاي مصرف کننده (دستگاه هاي تلويزيون ، مايکروويوها)، سيستم هاي کنترل ترافيک (مديريت ترافيک هوايي، نظارت بزرگراه ها، مديريت ترافيک بندرگاه )، کنترل فرايند توليد (صنايع شيميايي، انرژي (توليد و توزيع )، صنايع غذايي) فهرستي از مثال هاي سيستم هاي هايبريد هستند. ازآنجايي که در بيشتر سيستمهاي واقعي به نوعي ديناميک هاي پيوسته و گسسته در تعامل با هم هستند ،لذا مشاهده ميشود که در سالهاي اخير توجه بسيار زيادي به سيستمهاي هايبريد شده است
٢ـاجزاي يک سيستم هايبريد:
شکل ١اجزاي سيستم هايبريد
سه عنصر کليدي در يک سيستم هايبريد وجود دارد: ديناميک گسسته ، ديناميک پيوسته ، رابطي که براي ارتباط ديناميکهاي پيوسته و گسسته اختصاص داده شده است .ديناميکهاي پيوسته پروسه هاي فيزيکي اصلي که به Plantاشاره دارد را نمايش مي دهد.رابط بين ديناميک گسسته و پيوسته در هسته مرکزي سيستم هايبريد است و بيانگر اين است که در چه زماني و چگونه تقابل بين دو ديناميک رخ مي دهد.بعنوان مثال ،رابط حد فاصلي از فضاي حالت پيوسته است . زماني که حالتي از ديناميک پيوسته با مرز دو بخش هم جوار از اين حد فاصل برخورد کند يک پيشامد از بخش C/D رابط صادر شده که ديناميک گسسته را آتش مي کند.خروجي يا حالت ديناميک گسسته از طريق بخشD/C رابط يک ديناميک پيوسته و يک حالت اوليه جديد را انتخاب کرده که معين مي کند ديناميک پيوسته چگونه ادامه يابد.
در شکل زير رئوس بيانگر ديناميکهاي حالت پيوسته و يال ها بيانگر انتقال گسسته بين زير سيستم هاست .
شکل ٢: معرفي عبارات در گراف جهت دار
روي يال ، عبارت منطقي بيان مي کند که تحت چه شرايطي اين انتقال رخ مي دهد. قانون گذار معين مي کند که اين انتقال چگونه رخ مي دهد. توجه کنيد که دو نوع قيد منطقي در يالها وجود دارد،محدوديتي که با“[.]” مشخص شده که بر يک قيد سخت اشاره دارد، يعني انتقال گسسته زماني بايد رخ بدهد که اين شرط به طور کامل برقرار است .شرطي که با “(.)”مشخص شده يک قيد نرم است ، يعني در انتقال گسسته ممکن است اجباري در رخ دادن اين شرط نباشد[١].
۳ـ مدلسازي سيستم هاي هايبريد:
براي کنترل هر سيستم ديناميکي نياز هست که مدل آن سيستم در اختيار باشد، اين امر در موردسيستم هاي هايبريد نيز صدق ميکند. مدل هاي ديناميکي رياضي ابزارهاي رياضي هستند که رفتار ديناميکي سيستم را به وسيله روابط رياضي نشان ميدهند. مدل هاي رياضي را به دو صورت کلي مي توان در نظر گرفت ، مدل هايي که داراي پيچيدگي زيادي هستند ولي رفتار سيستم را بهتر نمايش ميدهند و مدل هايي که پيچيدگي کمتري دارند ولي احتمالاً رفتار آنها به رفتار سيستم کمتر شباهت دارد. بنابراين معمولاً براي در نظر گرفتن مدل هاي رياضي بايستي از يک تسامح استفاده کرد، يعني نه مدل بايد آن چنان پيچيده باشد که کار با آن طاقت فرسا باشد و نه بايد آن چنان ساده باشد که از دقت کمي برخوردار باشد.
همانطور که ميدانيم براي بدست آوردن مدل يک سيستم دو روش کلي وجود دارد:
• روش قوانين اوليه : ابتدا اجزاي تشکيل دهنده سيستم کلي را تعيين ميکنيم ، سپس براي هريک از اين اجزا با استفاده از قوانين حاکم بر آن ، روابط رياضي بيان کننده آن را مينويسيم و درنهايت با ترکيب اين قوانين رياضي، مدل رياضي کل سيستم به دست ميآيد. مدل هاي به دستآمده با اين روش گويا و فصيح ميباشند و از طرفي هر يک از متغيرهاي مدل معناي فيزيکيدارند. از آنجايي که غالباً تجزيه يک سيستم به عناصر تشکيل دهنده آن کار بسيار مشکل و حتيدر برخي موارد غير ممکن است مي توان گفت که اين روش در بيشتر موارد يک روش غيرکاربردي و غير عملي است .
اخيرً ا تحقيقات بسياري به کشف چارچوب رياضي سيستم هاي هايبريد اختصاص داده شده است .
براي چنين کاري نياز به توضيح طبيعت اين سيستم هاست .
• روش شناسايي سيستم : در اين روش از داده هاي ورودي و خروجي به دست آمده از سيستم استفاده ميکنيم . در اين روش ديگر لازم نيست که درگير تجزيه سيستم به عناصر تشکيل دهنده شويم و به همين خاطر نسبت به روش اول کاربردهاي عملي بيشتري دارد.
پيدا کردن پارامترهاي يک مدل از روي داده ها شامل قسمت بنيادي مي باشد:
مجموعه داده مناسب .
مجموعهاي از مدل هاي کانديد با نام ساختار مدل .
قواعدي که به وسيله آنها و با کمک داده ها مي توان مدل کانديد را ارزيابي کرد، مثل قاعده کوچکترين مربعات .
به خاطر پيچيدگي سيستم هاي هايبريد، تجزيه به عناصر اوليه و سپس براي چندوجهي محدب هستند (يعني استفاده از قوانين فيزيکي براي به دست آوردن مدل کار بسيار سختيداده شده با تعداد محدودي نامساوي خطي) و اين چندوجهي ها با يکديگر مي باشد، لذا روش دوم براي به دست آوردن مدل سيستم هايبريدهمپوشاني ندارد[٣]، [٤] : پيشنهاد مي شود.
براي نمايش سيستمهاي هايبريد روشهاي مختلف مدلسازي ارائه شده است ، از آنجايي که يک روش جامع براي مدل کردن و آناليز سيستمهاي هايبريد وجود ندارد، محققان مختلف بر روي زير کلاسهاي خاصي از اين سيستمهاي هايبريد متمرکز شده اند[٢].
٣ـ١ سيستم هاي (PWA(PieCeWise affine systems:
همانطورکه مي دانيم يک سيستم غيرخطي را در حالت کلي ميتوان با معادلات حالت و خروجي رابطه زير نشان داد[٢]:
سيستم هاي PWA کلاس خاصي از سيستم هاي غير خطي را شامل مي شوند که در آنها نگاشت هاي حالت و خروجي (توابع f و g در رابطه (١) هر دو نموًا خطي مي باشند. منظور از نموًا خطي بودن ، خطي بودن در هر يک از اجزاي ناحيه هاي چند ضلعي از مجموعه حالت ورودي بعلاوه يک مقدار ثابت مي باشد. در اين صورت اگر تابع f خطي و به صورت باشد، در اين صورت تابعb را يک تابع نموًا خطي مي گويند. مدل هاي از کمعادلات اين نوع سيستم ها به صورت زير است
٣-٢ سيستم هاي :(MIXed LogIcaL dynamIcaL SyStemS)MLD
مدل MLD، يک دستاورد قدرتمند در تئوري سيستم هاي هايبريد است که دسته بزرگي از سيستم هاي هايبريد خطي، ماشين هاي حالت محدود و سيستم هاي غير خطي محدود شده (تقريب زده شده با توابع تکه اي خطي) را شامل مي شود[١٠]. علاوه بر اين ، چارچوب MLD اجازه استفاده از زبان توصيفي سيستم هاي هايبريد را براي مدلسازي راحت مي دهد که بسيار مناسب در فرمول بندي مسائل کنترل پيش بين سيستم هاي هايبريد است [٥]. ( اين ابزار به طور خودکار مدل هاي MLD را در MATLAB توليد مي کند.[٧] )
اين سيستم ها با دو دسته متغير حقيقي و (٠,١) سر و کار دارند[٨].
معادلات اين سيستم به صورت زير است :
که در آن ماتريس هاي با ابعاد مناسب اند.
به ترتيب متغيرهاي پيوسته و منطقي کمکي هستند.
در [٦] نحوه ساخته شدن مدل MLD از روي معادلات PWAبيان شده است . نمايش MLD به کران هاي بالا و پايين نياز دارد، در حالي که PWA،MMPS و Lc به اين ويژگي نيازي ندارند. از طرفي در اين مدل ها، به نامساوي هاي غير سخت گيرانه اجازه داده شده است . بعنوان مثال در بازنويسي يک سيستم PWA ناپيوسته به مدل MLD، نامساوي سخت گيرانه اي مثل بايد به صورت تقريب زده شود[٩].
٣-٣ سيستم هاي : Lc(LInear compLementarIty SyStemS)
اين نوع سيستم ها با معادلات زير مشخص مي شوند:
که به معناي تعامدبيندوبردار است و اين يعني :
پس واضح است که اين مدل ، نيازمند به يک جفت مکمل خواهد بود.
از جمله موارد کاربرد آن مي توان به سيستم هاي مکانيکي تحت تسلط محدوديتهاي يک طرفه ، شبکه هاي الکتريکي با ديودهاي ايده آل ، سيستم هاي کنترلي با اشباع يا ناحيه مرده ، سيستم هاي تکه اي خطي، سيستم هاي رله و پروسه هاي هيدروليکي با شيرهاي يک طرفه اشاره کرد[١١].
براي توضيح بيشتر دو متغير مکمل ، مي توان به يک ديود ايده آل اشاره کرد که جفت مکمل مي توانند ولتاژ دو سر ديود و جريان عبوري از آن باشند:
بعنوان يک قرا رداد، همواره متغيرهاي مکمل غير منفي فرض ميشوند
.[12]
٤-٣ سيستمهاي-MMPS)MaX-Min-Plus : SCaling systems)
در [١٣] سيستم گسسته پيشامدي معرفي شده است که مي تواند با عملگرهاي ماکزيمم سازي، مينيمم سازي و ضرب اسکالر مدلسازي شود، عبارتهايي که با چنين عملگرهايي ساخته مي شوند، عبارات MMpS ناميده مي شوند.
سيستم هاي MMpS به صورت زير توصيف مي شوند[٤]:
که مولفه کمکي هستند.
٤- الگوريتم پيشنهادي
شکل ١ فلوچارت الگوريتم پيشنهادي را نشان مي دهد. همانند ديگرالگوريتم هاي تکاملي، اين الگوريتم ، نيز با تعدادي جمعيت اوليه تصادفي که هر کدام از آنها يک " کشور "ناميده مي شوند؛ شروع مي - شود. تعدادي از بهترين عناصر جمعيت (معادل نخبه ها در الگوريتم ژنتيک ) به عنوان امپرياليست انتخاب مي شوند. باقيمانده جمعيت نيز به عنوان مستعمره ٢ ، در نظر گرفته مي شوند. استعمارگران بسته به قدرتشان ، اين مستعمرات را با يک روند خاص که در ادامه مي آيد؛ به سمت خود مي کشند. قدرت کل هر امپراطوري، به هر دو بخش تشکيل دهنده آن يعني کشور امپرياليست (به عنوان هسته مرکزي) و مستعمرات آن ، بستگي دارد. در حالت رياضي، اين وابستگي با تعريف قدرت امپراطوري به صورت مجوع قدرت کشور امپرياليست ، به اضافه در صدي از ميانگين قدرت مستعمرات آن ، مدل شده است [١].
شکل ٣ : فلوچارت الگوريتم پيشنهادي
با شکل گيري امپراطوري هاي اوليه ، رقابت امپرياليستي ميان آن ها شروع مي شود. هر امپراطوري که نتواند در رقابت استعماري، موفق عمل کرده و بر قدرت خود بيفزايد(و يا حداقل از کاهش نفوذش جلوگيري کند)، از صحنه رقابت استعماري، حذف خواهد شد. بنابراين بقاي يک امپراطوري، وابسته به قدرت آن در جذب مستعمرات امپراطوري هاي رقيب ، و به سيطره در آوردن آنها خواهد بود. در نتيجه ، در جريان رقابت هاي امپرياليستي، به تدريج بر قدرت امپراطور يهاي بزرگتر افزوده شده و امپراطوري هاي ضعيف تر، حذف خواهند شد. امپراطوري ها براي افزايش قدرت خود، مجبور خواهند شد تا مستعمرات خود را نيز پيشرفت دهند.
با گذشت زمان ، مستعمرات ، از لحاظ قدرت به امپراطوري ها نزديک تر خواهند شد و شاهد يک نوع همگرايي خواهيم بود. حد نهايي رقابت استعماري، زماني است که يک امپراطوري واحد در دنيا داشته باشيم ، با مستمراتي که از لحاظ موقعيت ، به خود کشور امپرياليست ، خيلي نزديک هستند.
در ادامه مباحث اين فصل ، بخشهاي مختلف الگوريتم ، مورد بررسي قرار مي گيرند.
١-٤ شکل دهي امپراطوري هاي اوليه
در بهينه سازي، هدف يافتن يک جواب بهينه بر حسب متغير هاي مسئله ، است . ما يک آرايه از متغيرهاي مسئله را که بايد بهينه شوند، ايجاد مي کنيم . در الگوريتم ژنتيک اين آرايه ، کروکوزوم ٧ ناميده ميشود. در اينجا نيز آن را يک کشور مي ناميم . در يک مسئله ي بهينه سازي Nvar بعدي، يک کشور، يک آرايه ي است .
اين آرايه به صورت زير تعريف مي شود.
مقادير متغيره ها در يک کشور، به صورت اعداد اعشاري نمايش داده مي شوند. از ديدگاه تاريخي فرهنگي، اجزاي تشکيل دهنده يک کشور را مي توان ويژگي هاي اجتماعي ـ سياسي آن کشور، همچون فرهنگ ، زبان ، ساختار اقتصادي و ساير ويژگي ها در نظر گرفت . شکل ٢ اين مسئله را به خوبي نشان مي دهد. مطابق اين شکل متغيرهاي مجهول تابع هزينه که ما در طي فرايند بهينه سازي به دنبال انها مي گرديم ، در نگاه اجتماعي سياسي ويژگي هاي تاريخي و فرهنگي اي هستند که يک کشور را به نقطه مينيمم تابع هزينه رهنمون ميسازند. در حقيقت در حل يک مسئله بهينه سازي توسط الگوريتم معرفي شده ، ما به دنبال بهترين کشور(کشوري با بهترين ويژگي هاي اجتماعي سياسي) هستيم . يافتن اين ک(ش٧و١)ر در حقيقت معادل يافتن بهترين پارامتهاي مسئله است که کمترين تابع هزينه را توليد مي کنند.
به عنوان يک مثال فرض کنيم که مي خواهيم يک کنترل کننده PID براي يک سيستم کنترلي طراحي کنيم که مثلاً داراي کمترين ميزان مجموع فراجهش و انتگرال قدر مطلق خطا باشد. در يک حالت نوعي، جواب هاي ممکنه مي توانند به صورت جواب هايي که به يک خروجي پايدار منجر مي شوند، تعريف شوند. براي اين مسئله دسته اي از جواب هاي ممکنه به صورت اوليه ايجاد مي کنيم . در اين مساله کشور iام به صورت زير تعريف مي شود.
براي شروع الگوريتم بايد تعدادي از اين کشورها(به تعداد کشورهاي اوليه الگوريتم ) ايجاد شوند. بنابراين ماتريس کل کشورها به صورت تصادفي اوليه تشکيل مي شود.
