بخشی از مقاله
عدد چه نوع چیزی است ؟
گفتگوی جان براکمن با روبن هرش
ریاضیات چیست ؟نه فیزیکی است و نه ذهنی بلکه اجتماعی است .قسمتی از فرهنگ و تاریخ است .شبیه قانون ،مذهب، پول وهمه چیز های دیگری است که خیلی حقیقی اند اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند واین دقیقا همان چیزی است که ریاضیات است .
به نظر روبن هرش ریاضی دان ،ریاضیات فقط به عنوان قسمتی از فرهنگ انسان وجود یا واقعیت دارد .با وجود این که ریاضیات بی زمان ولغزش نا پذیر به نظر می رسد ولی پدیده ای اجتماعی –فرهنگی – تاریخی است .
او دیدگاه وسیعی دارد و در مورد مسائل کهن بسیار فکر می کند :اعداد چیست؟ مثلث ، مربع و دایره چیستند ؟مجموعه های نا متناهی چیستند؟بعد چهارم چیست ؟معنا وماهیت ریاضیات چیست؟او ضمن زیاد اندیشیدن ،نظریه های قدیم و جدید در مورد ماهیت ریاضیات را توضیح داده و مورد نقد قرار می دهد .هدف اصلی او روبرو شدن با مسائل فلسفی است :اشیا ریاضی به چه مفهومی وجود دارند ؟چگونه می توانیم نسبت به آن آگاهی کسب کنیم ؟چرا ریاضی دانان فکر می کنند که اعیان ریاضی مستقل از دانش ریاضی وعمل ریاضی وجود دارند و جاودانه اند؟
جان (براکمن ):روبن ،یک سوال جالب مطرح کن
هرش:عدد چیست ؟مثلا دو چیست ؟این یک سوال کودکستانی است و البته یک بچه کودکستانی جوابی این چنین می دهد :سه (سه انگشتش را بالا می برد ).دو(دو انگشتش را بالا می برد ).این یک جواب خوب و در عین حال یک جواب بداست .
در واقع برای بیشتر مقاصد ،این جواب به قدر کافی خوب است ولی فراتر از کودکستان ،تا حد جسارت در پرسیدن سوالات عمیق تر ،سوال فوق به صورت زیر در می آید :یک عدد چه نوع چیزی است ؟
حال وقتی می پرسید «یک عدد چه نوع چیزی است؟ »،می توانید راجع به دو جواب اصلی فکر کنید :
یکی این که عدد در مکان خارجی است ،شبیه یک صخره یا یک روح ؛یا آن که در داخل است ،اندیشه ای در ذهن یک شخص .فلاسفه از یکی از این دو جواب دفاع کرده اند این واقعیت رقت انگیز است زیرا هر کسی که کوچکترین دقتی بکند می تواند در یابد که هر دو جواب کاملا اشتباه هستند .عدد چیزی خارجی نیست ،مکانی برای حضور و یا چیزی برای عدد بودن ،وجود ندارد .
همچنین فقط یک فکر نیست ،زیرا با این همه ،چه بدانید یا ندانید ،دوودو،چهار می شود .به این ترتیب در می یابید که سوال مذکور بر خلاف آن چه در ابتدا به نظر می رسید ،نه آن قدرها ساده و نه آن قدرها بدیهی است .یکی از فلاسفه بزرگ ریاضی یعنی گوتلوپ فرگه مقاله کاملی مبنی بر این حقیقت که ریاضی دانان قبل از او معنی یک را نمی دانستند منتشر کرد .یک چیست ؟هیچ کس بطور دقیق نمی تواند جواب دهد .البته فرگه به سوال اخیر جواب داد ولی جوابش نه تنها بهتر نبود بلکه از پاسخ های قبلی هم بدتر بود واین چنین بود که این سوال به عنوان یک سوال عجیب وباور نکردنی تا امروز باقی ماند .ما همه چیز را درباره آن همه ریاضیات می دانیم ولی نمی دانیم ریاضیات واقعا چیست ؟البته وقتی می پرسیم «یک عدد چیست ؟»چنین سوالی در مورد یک مثلث یک مربع ،یک دایره ،یک تابع دیفرانسیل پذیر یا یک عملگر عدد چه نوع چیزی است ؟
خود الحاقی نیز دقیقا قابل طرح است. شما در مورد عدد ،زیاد می دانید ؛اما عدد چیست؟چه نوع چیزی است ؟به هر حال سوال من این است ،یک جواب طولانی به سوال کوتاه شما .
جان :وجواب سوال شما چیست ؟
هرش:هوم ،شما پاسخ را خیلی سریع می خواهید .باید برای یافتن جواب قدری تلاش کنید من تدریجا به جواب خواهم رسید .
هنگامی که میگویید یک چیز شی یا وجود ریاضی کاملا خارجی است یعنی مستقل از فکر یا عمل انسان می باشد ،و یا داخلی است یعنی یک اندیشه در ذهن شما است – شما نه در مورد اعداد ،بلکه تنها در مورد وجود صحبت می کنید – در این صورت منظورتان این است که فقط دو نوع هستی وجود دارد .هر چیزی یا خارجی یا داخلی است و هیچ یک از این دو انتخاب (دو قطب یا ثنویت )مناسب اعداد نیست ،و این دلیل معما بودن آن است .
موضوع با این پیش فرض اشتباه که فقط دو نوع چیز پیرامون ما وجود دارد شکل پیچیده ای به خود گرفته است .اما اگر وانمود کنید که یک فیلسوف نیستند و فقط یک انسان واقع بین هستید و از شما سوال شود آن چه که در پیرامونتان می باشد چیست ،مثلا برگ جریمه ا ی که باید آن را بپردازید ،اخبار در تلویزیون ،یک مراسم ازدواج که مجبور به شرکت در آن هستید یا یک صورت حساب که باید پرداخت کنید ،خوب هیچ یک از این چیز ها صرفا اندیشه ای در ذهن شما نیست و هیچ یک از آن ها نسبت به فکر یا عمل انسان ،خارجی نیست .آن ها نوع دیگری از واقعیت هستند و مشکل همین جاست . این نوع واقعیت با وجود این که به خوبی شناخته شده است واز متافیزیک وهستی شناسی مستثنی گردیده است،ولی علوم انسان شناسی و جامعه شناسی با آن سر و کار دارند .اما وقتی از منظر فلسفه نگاه می کنید ،این نوع سوم به هیچ گونه مطمح نظر قرار نمی گیرد و حتی رد می شود .
حال که جواب را عرضه کرد ه ام از آن آگاهید .ریاضیات نه فیزیکی و نه ذهنی است بلکه اجتماعی است . قسمتی از فرهنگ و تاریخ است . شبیه قانون ،مذهب ،پول و همه چیز های است که خیلی حقیقی اند ،اما فقط بخشی از آگاهی انسان اجتماعی را تشکیل می دهند .
هم درونی و هم بیرونی است زیرا قسمتی از جامعه و فرهنگ است . درونی نسبت به جامعه به عنوان یک کل بیرونی نسبت به فردی که مجبور به یادگیری آن از کتاب ها و در مدرسه است .این چیزی است که ریاضیات است .
علل ضعف کودکان در یادگیری ریاضیات
من اعداد را دوست ندارم
مششلات یادگیری در حساب ،مقایسه با دیگر ناتوانی های یادگیری به طور کامل مورد بررسی قرار نگرفته است .ریاضیات زبان نمادین است و دانش آموزدر دوره ابتدایی باید مفاهیم ریاضی مانند عدد ،زمان ،شکل ،فاصله ،اندازه و نظم را در عمل و در زندگی روزمره در فعالیت های آموزشی و اجتماعی و در تعامل با پدر و مادر ،خواهران ،وبرادران و همسالان یاد بگیرد و به کار بندد. خواندن و نوشتن و حساب کردن 3 مهارت مهم است که در دوره ابتدایی آموزش داده می شود ودر دوره های بعد در دروس دیگر خود را آشکار می کند .در این نوشتار حساب کردن ،ناتوانی یادگیری در ریاضیات،مشکلات متداول در آن و سفارش هایی برای رفع مشکلات حساب کردن بیان خواهد شد .
من نمی توانم
عوامل گوناگون موجب نا توانی یادگیری در حساب می شود .برخی اوقات به کودکان آن دسته از مفاهیم ریاضی آموزش داده می شود که از ناتوان شناختی آنها خارج است .آموزش نادرست و ضعیف ،روش تدریس نا مناسب و استفاده نکردن از روشهای عینی ،عوامل دیگری هستند که موجب ناتوانی یاد گیری در حساب می شوند .همچنین بسیاری از مشکلات حساب از اختلالات گوناگون در حافظه ،توجه و ادراک مفاهیم مانند مفاهیم بزرگ ،کوچک ،باز ،بسته ،کوتاه، بلند ،و تشخیص شکل و اندازه و رنگ ناشی می شود به طور مشخص در کودکان مبتلا به نشانگان ریاضیات 4 نشانه دیده می شود مشکل در شناسایی درست انگشتان قاطی کردن چپ و راست مشکلات نوشتاری و مشکلات حساب کردن .
بعضی از دانش آموزان ،بویژه دختران نسبت به ریاضی هیجان خاصی دارند و دچار یاس و هراس از ریاضی می شوند .
ویلیامز (1988)معتقد است که علت هراس از ریاضی را در درجه اول باید در رفتار معلم و روش تدریس او جستجو کرد زیرا هنگامی که دانش آموز وارد مدرسه می شود ،این گونه هیجان و هراس از ریاضی را ندارد .
برخی از روان شناسان ،این حالت را به نشانگان من نمی توانم تعبیر کرده اند .وظیفه پدر و مادر در این شرایط تا اندازه ای دشوار است و باید با برخوردی صحیح بکوشند از ساده ترین مراحل یعنی عدد شناسی و 4 عمل اصلی با فرزندشان به تمرین بپردازند و نسبت به ریاضی (درس شیرین ریاضی )و بیش از همه نسبت به معلم ریاضی (معلم شیرین ریاضی )نگرش مثبت و مطلوب ایجاد کنند.
نا توانی یا نارسایی در محاسبه عبارت است از نقص یا اختلال در توانایی در درک و فهم و به کار گیری اعداد و نمادهای ریاضی . عواملی که موجب ناتوانی یادگیری در خواندن ،نوشتن وهجی کردن می شود امکان دارد باعث نا توانی یادگیری در حساب شود ،به طور معمول دانش آموزان دوره ابتدایی در زمینه های تجرید تعمیم ،استدلال و به یاد سپاری دچار مشکل می شوند ودر کاربرد مفاهیم ریاضی و حل مساله با اشکال روبه رو می شوند . دانش آموزان که به نا توانی در حساب مبتلا ست به طور معمول در تشخیص شکل اندازه و شمارش پول مشکل دارد .این گونه دانش آموزان همچنین در تشخیص زمان و گفتن زمان استدلال کمی و سرانجام حل مسائل ریاضی ناتوان هستند .
مشکلات متداول در حساب کردن
دانش آموزان مبتلا به مشکلات حساب با نارسایی ها و مسائل گوناگون روبرو هستند که در این بخش به برخی از آنها اشاره می شود :
1- تشخیص شکل :دانش آموزان با مشکلات حساب ،در تشخیص شکل اعداد یا شناسایی اشکال هندسی مشکل دارند . این گونه دانش آموزان در کشیدن اشکال هندسی نیز ناتوان هستند .
2- تشخیص اندازه ورنگ :ادراک مفاهیمی مانند بزرگ ،کوچک ،بلند ،کوتاه و تشخیص اندازه ها و ارتباطات موجود میان اندازه ها و متغیرها از اهمیت خاصی برخوردار است .کودکی که مشکلات حساب دارد به طور معمول در مرتب کردن اجسام بر حسب اندازه های آنان ،متصل کردن قطعات کوچک و بزرگ پازل جا گذاردن اجسام در محل های مخصوص تشخیص بزرگترین مربع ،طولانی ترین خط و کوچکترین دایره و نظایر آن مشکل دارد .برخی از کودکان با ناتوانی در حساب ،در تشخیص رنگهای گوناگون مشکل دارند.
3- توانایی شمردن :شمردن اعداد یا اشیا یک مهارت است و گام اول در یادگیری حساب محسوب می شود . کودکانی که در شمارش اعداد به طور منظم مشکل دارند ،بعدها در انجام محاسبات با اشکال روبه رو می شوند .
4- تشخیص مجموعه ها کودکانی که مشکلات حساب دارند به طور معمول در درک مفهوم مجموعه ناتوان هستند ودر یک جعبه مداد رنگی ،یک گروه دانش آموزپسر قادر نیستند صف مشترک را درک کنند.
5- تناظر یک به یک :توانایی درک مفهوم تناظر یک به یک ،از اهمیت خاصی بر خوردار است . کودکی که دچار این مشکل است از درک این مثال که 4 گل می تواند یک به یک در 4 گلدان قرار بگیرد ناتوان است .
خطاهای متداول در حساب
برخی از اشتباه های مریوم در حساب به شرح زیر است :
• دانش آموزان قادر نیستند عدد گفته شده را بدرستی بنویسند مثال :بنویس چهارصد ونود و هفت .
• دانش آموز قادر نیست عدد نوشته شده را بخواند مثال :این عددها را بخوان 719 ،311.
• دانش آموز در نوشتن وخواندن اعداد تکراری مانند 777 و اعدادی که وسط آنها صفر باشد مانند 505 مشکل دارد .
• دانش آموز در نوشتن وخواندن اعداد مشابه مشکل دارد .مانند 7و 8 یا نوشتن وخواندن عدد 113به جای 311 .
• دانش آموز در انجام چهار عمل اصلی مشکل دارد .
سفارش هایی برای رفع مشکلات حساب کردن
1- رفتار پدر و مادر نباید تهدید آمیز باشد و فرزند شما باید در کنار شما احساس آرامش و امنیت کند . همچنین باید او را از شتابزدگی منع کنید؛ زیرا که دقت در انجام یک تکلیف مهمتر از سرعت است.
2- فعالیت های درسی باید با سطح شناختی دانش آموز تناسب داشته باشد و روش تدریس بر «چرا» و «چگونه» تاکید کند.
3- تمرین های ریاضی باید عینی ، معنی دار و واقعی با شد و به جای تمرین های طولانی از تمرین های ساده و کوتاه و از آسان به دشوار استفاده شود.
4- روش تدریس باید جالب و خلاقانه باشد و از خستگی دانش آموز پیشگیری شود.
5- در دانش آموز باید اعتماد به نفس ایجاد کرد و نگرش او رااز «نمی دانم» به«می توانم» تغییر داد.
6- در صورت امکان به طور گروهی و با استفاده از یاد گیری مشارکتی به تمرین پرداخت .
7- واکنش پدر و مادر نسبت به ورقه امتحان ریاضی کودک بسیار مهم است و پدر و مادر باید بکوشند علت اشتباه فرزندشان در ریاضی را بررسی و تحلیل کنند؛ زیرا اشتباه شناسی مقدمه یا دگیری است. در این باره برونر می گوید: محصول یادگیری مهم است.
8- تمرین ها باید از صددر صد احساس موفقیت شروع شود و بموقع به سوی تمرین های دشوار تر پیش برود تا به این ترتیب کودک احساس خود ارزشمندی و در نتیجه اعتماد به نفس کند.
9- استفاده از بازیهای ریاضی هدفدار برای هر پایه تحصیلی ، در پیشرفت ریاضی فرزندان موثر است و موجب تقویت اعتماد به نفس او می شود.
10- برای تمرین در حساب کردن ، برای هر زمان مساله ای ساده را انتخاب کنید و از کودک در خواست کنید آنچه را می نویسد یا می اندیشد ، بازگو و استدال کند.
11- فرزندان را در حل مساله آزاد بگذارید تا راه خودش را با دلیل انتخاب کند. به عنوان مثال ، اجازه دهید برای شمارش اعداد از انگشتان خود استفاده کن.
12- هیچ کودکی نباید از اشتباه کردن بترسد اشتباه کردن لازمه یادگیری بوده و آگاهی از علت اشتباه مقدمه یادگیری و هدایت او به سوی عملکرد درست است.
13- پدر و مادر باید با فرزند خود درباره پاسخهای نادرست در تمرین های ریاضی صحبت کنند و بررسی کنند که چگونه او به پاسخ نا درست رسیده است و اشکال در کجاست . بنابراین بسادگی بپرسد :«این مساله را چگونه حل کرده اید؟» و به دقت بررسی کنید که علت اشکال چیست؟ نفهمیدن صورت مساله ، انتخاب ارقام نادرست، اعمال نادرست یا شیوه نادرست؟
14- پیش از هر گونه داوری به کودک اجازه دهید با صدای بلند روش خود را توضیع دهد و شما بخوبی آن را گوش کنید آن گاه قدم به قدم ، درستی یا نادرستی فرایند حل مساله را وارسی کنید.
15- گاهی اوقات مشکلات زبان درکی و زبان بیانی به ایجاد نا توانی یاد گیری در حساب کمک می کند ، به طوری که این گونه دانش اموزان در مفهوم سازی و فهم مطلب مشکل دارند. بنابراین باید از زبان بیانی قابل فهم و آسان استفاده کرد.
حل مسایل ریاضی ، مشکل فراگیر
مقدمه
مساله را به زبان ساده میتوان تعریف کرد . هر گاه فردی بخواهد کاری انجام دهد یا جای دیگری باشد ، ولی نتواند به هدف خود برسد برایش مساله ایجاد می شود . به عبارت دیگر ، هر موفقیت مبهم یک مساله است . حل مساله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسله و تلاش برای حل آن ، جزیی از زندگی هر فرد است . تعلیم و تربیت باید دانش اموزان را برای برخورد با زندگی آینده آماده کند. فرایند برخورد با شرایط زندگی همان حل مساله است . توانایی حل مساله قلب ریاضی است . ریاضی زمانی مفید است که بتوان آن را در وضعیت های خاص مورد نظر به کاربرد و این توانایی به کارگیری ریاضیات در وضعیت های متفاوت را «حل مساله» می نامیم.
یک مساله اساسا تکلیف یا کاری است که برای ان:
-به پیدا کردن راه حل نیاز است
- هیچ روشی آنی و فوری برای پیدا کردن پاسخ در دسترس دانش آموز نیست .
- کسی که می خواهد آن را حل کند ، باید اقدام به حل کردن نماید.
