بخشی از مقاله
-1چکیده:
این مقاله به بررسی عملکرد اقتصادي راهکار کنترل روش بیزي میپردازد. ایدهاصلی در این روش این است که اجراي پیوسته و طولانی مدت یک فرایند کنترل میتواند به عنوان یک فرایند مارکوف مدلبندي شود.
براي یک مدل هزینه خطی، توزیع حالت پایداري یک فرایند مارکوف، به طور کامل اجراي اقتصادي نمودار کنترل را شکل میدهد. ویژگی حالت پایداري به 3 جزء تقسیم می شود. نشان داده می شود که عملکرد بلند مدت متوسط هزینه در یک فرایند کنترل ترکیب خطی از این سه جزء توزیع حالت پایداري است.
بنابراین توزیع حالت پایداري یک فرایند کنترل، عملکرد اقتصادي بلند مدت را تحت ساختار هزینهاي فرض شده تعیین میکند. با استفاده از نمودار اثر پارامترهاي فرایند در توزیع حالت پایداري بررسی میشود. در روش بیزي نمیتوان به آسانی توزیع حالت پایداري را بهدست آورد به همین منظور از روش شبیهسازي استفاده میکنیم.
مقدمه:
در طراحی اقتصادي نمودارهاي کنترل از یک تابع هرینهاي استفاده میشود که هزینههاي مربوط به فرایند بستگی به انتخاب پارامترهاي نمودار کنترل دارند. یکی از این نمودارهاي کنترل ، نمودار بیزي است.
-2مشخصات مدل:
فرایند تولیدي را در نظر بگیرید که اقلامی را در فواصل گسسته از زمان تولید میکند
. t ∈{1,2,...} فرض کنید μt حالت کیفی فرایند در زمان t باشد، در این صورت μt ∈{0,δ} است. μt 0 در کنترل بودن فرایند و μt δ خارج از کنترل بودن آن را نشان میدهد. همچنین فرض میکنیم فرایند خود اصلاح نیست. انتقال از حالت در کنترل به حالت خارج از کنترل به علت ایجاد یک انحراف با دلیل میباشد. یک انحراف بادلیل در زمان تصادفیT ∈{1,2,...} رخ میدهد. فرض میکنیم توزیع زمان ش کست ، T، هندسی با پارامتر - 1 −λ - است. حالت کیفی فرایند، μt ، را میتوان بهوسیله اندازه کیفیت تولید، X t ، اندازهگیري نمود.
فرض میکنیم اندازههاي کیفیت تولید X t ، به طور مستقل از هم، در اطراف حالت کیفی فرایند μt به صو رت نرمال با واریانس 1 توزیع شدهاند. در این مقاله اندازه نمونه را یک در نظر میگیریم. یک خطمشی روشی است که مشخص میکند در هر زما ن t ، فرایند را باید وارسی کرد یا اجازه داد بدون وقفه ادامه یابد. فرض کنی د γt بیانگر آماره کنترل باشد که با استفاده از دادههاي موجود X1 , X 2 ,..., X t به دست میآید. در خطمشیهاي آستانه ثابت، براي پارامترهاي کنترل - حدودهاي بالا و پایین فرایند - l, u ، که l ≤ u است، اگر l γt u آنگاه فرایند ادامه پیدا
خواهد کرد، در غیر این صورت باید فرایند را متوقف و وارس ی کرد. وارسی کردن فرایند شامل اقداماتی مانند مت وقف کردن فرایند، جستجو بر اي یافتن یک انحراف با دلیل، حذف کردن علت و شروع مجدد فرایند است.
فرایند به مدت ثابت b واحد زمان در حالت وارسی باقی میماند. اگر γt تنها از طریق γt −1 به مشاهدات گذشته X1 , X 2 ,..., X t−1 مربوط باشد، یعنی - γt γ - γ t −1, X t دراین صورت یک خطمشی کنترل، خطمشی نوع مارکوف نامیده میشود. اگر γt یک آماره کنترل نوع مارکوف که در معرض قانون آستانه ثابت قرار گرفته است باشد، در این صو رت طبق فرضیات مدل، زوج ترتیبی - - μt ,γt فرایند مارکوف است. عملکرد نمودار کنترل نوع مارکوف، آستانه ثابت را با بسط زوج مرتب - At ≡ - μt ,γt مدلبندي میکنیم. وقتی فرایند براي وارسی متوقف می شود At - ∗,∗ - است. ف رض کنید S ف ضاي حالت {At } است. S را به 5 رده تقسیم میکنیم .در نتیجه دا ریم:
کلیه حالتهاي زنجیر نادورهاي باشد، {At } تحویلناپذیر، نادورهاي و متناهی بوده و ارگودیک است. بنابراین داراي توزیع حالت پایداري یکتا است. فرض کنید π توزیع حالت پایداري {At } باشد.
احتمال حالت پایداري فرایند در حالت خارج از کنترل، pR احتمال حالت پایداري توقف فرایند براي وارسی است
موردانتظار در هر زمان، تحت عملکرد یک فرایند داده شده باشد. آنگاه داریم:
k0 . و kR بترتیب هزینه تولید محصول در حالت کنترل، خارج کنترل و هزینه وارسی است. مطلوب این است که pR و pδ تا آنجایی که ممکن است کوچک باشد. بنابراین تعدیل در کمینه سازي K تعدیل بین pR و pδ است.
-3تحلیل حالت پایداري نمودار بیزي: تعریف میکنیم:
احتمال پسین در حالت کنترل بودن است. حال، با استفاده از فرضیات مدل داریم:
با استفاده از این رابطه و قضیه بیز، یک رابطه بازگشتی براي ξt بهصورت زیر خواهیم داشت:
در فرایند بیز یک آستانه ثابت پایین به عنوان حداقل مقداري که آماره کنترل فرایند بیز، ξt ، میپذیرد ولی فرایند هنوز در کنترل است در نظر میگیریم. این حداقل آستانه ثابت را ξ∗ مینامیم. براي حداقل آستانه ثابت اگر ξt ≤ ξ∗ فرایند متوقف و وارسی میشود، در غیر اینصورت فرایند ادامه مییابد. آستانه ξt با استفاده از پارامترهاي هزینه در مدل تعیین میشود. واضح است که مشروط بر μt ، ξt وابسته به ξt −1 است.
بنابراین احتمالهاي انتقال بین حالات {μt ,ξt } وابسته به مقدار ξt است.
