بخشی از مقاله
چکیده
مفهوم حد ازجمله مفاهیم ریاضی است که دانش آموزان در درک و فهم آن با مشکلات فراوانی روبرو هستند. تحقیق حاضر که یک به روش زمینه یابی انجام گرفته است، ساخت و سازهای ذهنی دانش آموزان در مفهوم حد را بررسی کرده و آن را با مدل APOS که یکی از نظریه های آموزش ریاضی است، تطابق داده است.
١ مقدمه
حد یکی از مفاهیم مهم و کاربردی در ریاضیات است که پایه بسیاری از مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می دهد و به بسیاری از مفاهیم دیگر نطیر بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک و همگرایی و غیره مرتبط می شود.
کارنو]١[ - ١٩٩١ - معتقد است که مفهوم حد دارای یک نقش محوری است که کاملا ریشه در آنالیز ریاضی دارد. در ریاضیات دبیرستان، معمولا از حد برای بیان رفتار یک تابع، یک سری یا دنباله ای از اعداد استفاده شده و به بررسی رفتار آن در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت پرداخته می شود. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی، برای تعریف پیوستگی و مشتق و انتگرال مورد استفاده قرار می گیرد
بنا به تحقیقات انجام شده در این زمینه، اکثر دانش آموزان در درک مفهوم حد با مشکلات فراوانی روبرو هستند. اکثر این مشکلات به پیچیده بودن این مفهوم مربوط نمی شود، بلکه به جنبه های رشد شناختی مربوط است که صرفاً از تعاریف آن تولید نمی شود
. نتایج تحقیقاتی که در این زمینه انجام شده است نشان می دهد که دانش آموزان با تکیه بر دانش رویه ای و درک ابزاری به کمک قواعد و دستورهای حد، توانایی محاسبه حدهای پیچیده را دارند. آنها با تمرکز بر روشهای جبری و الگوریتمی برای محاسبه ی حد در مسایل معمولی کاملا توانا هستند ولی برای حل مسایل غیر معمول و غیر روتین که نیازمند درک ویژگی های خاصی از مفهوم حد باشد ناتوان هستند و چون دانش آموزان برای محاسبه حدود توابع همواره به یک روش روتین دسترسی ندارند، آن را سخت و دست نیافتنی می دانند و مفهوم حد را درک نمی کنند و همین عدم درک مفهومی برای آنها مشکلاتی ایجاد می کند که تا پایان تحصیل با آنها همراه خواهد بود.
این نظریه یکی از نظریات یادگیری ریاضی در حوزه ی آموزش است و مدلی است که بر چارچوب موضعی رشد مفهومی فرد متمرکز است بطوریکه مرتبط با جنبه ی مفهومی خاص است و در آن یادگیرنده تلاش می کند اطلاعات در دسترس را بفهمد و با استفاده از تمام ساختارهای شناختی در دسترس خود در آن زمان، ارتباطاتی ایجاد نماید
با توجه به مطالب بیان شده می توان گفت سؤالی که تحقیق حاضر ار هدایت می کند به صورت زیر است درک و فهم دانش آموزان سال سوم متوسطه از مفهوم حد در کدام یک از سطوح APOS قرار می گیرد؟
نتایج اصلی
چارچوب نظری مورد استفاده در این تحقیق APOS نام دارد. نظریه APOS یک نظریه ساختارگرایی است که بر اساس نظریه یادگیری پیاژه]١[ بنا شده است. به عقیده پیاژه یادگیری دانشی است که توسط فرد در ذهنش برای حل مسایل از طریق تعمق و تفکر ساخته می شود و فرآیندی فعال است که دانش آموزان در آن برای معنا بخشیدن به یک مفهوم از ساختارهای ذهنی استفاده می کنند
بنابراین دیدگاه درک و فهم یادگیرنده از مفهومی مشخص، می تواند در یکی از سطوح عمل]٣[ ، فرآیند]۴[، شیء]۵[ باشد و ممکن است یادگیرنده بتواند طرحواره ی مفهوم را تشکیل دهد
معمولا هر فرد در ابتدای یادگیری هر مفهومی، آن را در سطح عمل درک می کند. عمل به تعریف دوبینسکی و مک دونالد]٧[ - ٢٠٠١ - ، تغییر دادن اشیاء از پیش ساخته شده توسط فرد در صورتی است که راه این تغییر به یادگیرنده یاد داده شده باشد. در این مرحله فرد برای انجام تکالیف و حل مسایل نیاز صریح به حافظه اش دارد تا بتواند آنها را به صورت گام به گام انجام دهد. زمانی که عملی تکرار می شود و شخص روی آن بازتاب می کند، می تواند یک ساختار ذهنی درونی بسازد که فرآیند نام دارد. در این مرحله شخص می تواند همان کار را بدون نیاز به محرک خارجی در مرحله ی عمل انجام دهد.
همچنین فرد می تواند در مورد انجام فرآیند فکر کند بدون اینکه در حقیقت آن را انجام دهد. در یادگیری مفهوم تابع پس از اینکه یادگیرنده چندین بار با تابع به عنوان عمل مواجه شد و روی این عمل بازتاب کرد، می تواند عمل تابع را بدون اینکه واقعاً عملیات را اجرا کند درک کند. مثلا بدون آنکه لازم باشد به ورودی خاصی فکر کند، می تواند تصور کند که تابعی خاص، ورودی هایی می گیرد و خروجی هایی می دهد. در این صورت فرد قادر است ترکیب توابع و مفهوم معکوس توابع را درک کند.
در این وضعیت می گوییم یادگیرنده تابع را به صورت فرآیند درک کرده است. در یادگیری مفهوم حد، زمانی یادگیرنده در سطح فرآیند است که قادر باشد برای محاسبه ی limx!a f - x - یکفرآیندِ ذهنی از حد تابع برای مقادیری از x که به a نزدیک می شود، بسازد و با توجه به مقدارهای ورودی و تغییرات آن مقادیر خروجی را تولید کند. مثلا حد توابع چند ضابطه ای در نقاط مرزی در این سطح قرار می گیرد.
پژوهش حاضر یک تحقیق پیمایشی است. نمونه مورد مطالعه ۴٢٣ نفر از دانش آموزان دختر پایه سوم تجربی و ریاضی شهرستان قرچک هستند که به شیوه تصادفی طبقه ای انتخاب شده اند. ابزار جمع آوری اطلاعات پرسشنامه محقق ساخته است که سؤالات آن با مشاوره ی اساتید محترم آموزش ریاضی و چند تن از دبیران ریاضی متوسطه از مفهوم حد طراحی شده است. آزمون اصلی شامل شش سؤال است که با کمک نرم افزار spss میزان آلفای کرونباخ آن ٠/٨٢ محاسبه گردید که بیانگر پایایی قابل قبول آزمون می باشد.
در این قسمت به تجزیه و تحلیل برخی سؤالات آزمون می پردازیم ١- توابع زیر را در نظر گرفته و به سوالات آن پاسخ دهید.
الف - مقادیررو به رو را بدست آورید.
- ب - حدهای زیر را محاسبه کنید.
ج - کدام تابع در پیوسته است؟دلیل خود را توضیح دهید.
هدف از طرح این سؤال محاسبه مقدار توابع در نقطه ای خاص و در نظر گرفتن دامنه ی آنها و تفاوت بین محاسبه ی حدود توابع در همان نقطه، حتی در صورت تعریف نشدن در آن نقطه و بررسی پیوستگی آنها می باشد. انتظار می رود دانش آموزان با دانشی که از تعریف حد و پیوستگی دارند بتوانند به این سؤال پاسخ دهند. تجزیه و تحلیل این سؤال در مبنای چارچوب APOS در جدول - ١ - ارائه شده است.
جدول ١:
همانطور که در جدول مشاهده می شود درصد افرادی که در این سؤال توانسته اند درک خوب و درستی از مفهوم تابع و حد آن در سطح طرحواره نمایان سازند زیر ۵٣ پاسخ به سؤال تحقیق درک و فهم دانش آموزان سال سوم متوسطه از مفهوم حد در کدام یک از سطوح APOS قرار می گیرد؟
با توجه با نتایج بدست آمده از تجزیه و تحلیل پاسخها می توان نتیجه گرفت که سطح درک دانش آموزان شرکت کننده در این تحقیق از مفهوم حد به صورت زیر می باشد:
درسطح عمل: ۵٨ در سطح فرآیند: ٠۶ در سطح شیء: ٣٠ درسطح طرحواره: ٢٠ همانطور که مشاهده می شود هر چقدر سطوح درک در APOS بالاتر می رود، درصد فراوانی افراد پایین تر می آید که نشان دهنده ی این مطلب می باشد که فهم اکثر دانش آموزان از حد در سطح عمل یا فرآیند است و زمانی که نیاز به تشکیل شیء حد می باشد، این فراوانی کمتر شده بطوریکه فقط ٢٠ درصد افراد شرکت کننده قادر به تشکیل طرحواره ای از حد هستند که این طرحواره برای درک مفاهیم مرتبط دیگر از جمله پیوستگی و مشتق و انتگرال لازم وضروری می باشد
