بخشی از مقاله
خلاصه
تئوري کلاسیک ضربه قوچ، انتشار موج فشاري در سیستم تحت فشار را بیان میکند. این تئوري فشارِ حداکثر و پریود موج را دقیقاً پیش بینی می-کند ولی در محاسبات دقیق میرایی و انتشار جبهه موج ناتوان است. یکی از مهمترین دلایل این امر حذف اندرکنش سازه و سیال - FSI - است. با در نظر گرفتن این اثر، رفتار دینامیکی لوله و سیال همزمان در نظر گر فته میشود. نتایج حل معادلات هیدرولیکی و سازهاي به روش المان محدود، نشان دهنده اختلاف بارز و حل دقیقتر، در قیاس با تحلیل کلاسیک میباشد.
کلمات کلیدي: ضربه قوچ، کوپله پواسونی، روش المان محدود.
.1مقدمه
ضربه قوچ که از آن به عنوان موج فشاري نامبرده میشود معمولا در سیستمهاي تحت فشار به علت جریان غیرماندگار قابل مشاهده است.علت ایجاد این پدیده تغییرات ناگهانی در شرایط جریان ماندگار است که به علت باز و بسته کردن سریع شیرها و یا روشن و خاموش شدن پمپها ایجاد میشود. عوامل دیگر ایجاد ضربه قوچ میتواند گسیختگی در لولهها یا تهییج لرزهاي باشد. ضربه قوچ شامل تغییرات بزرگی در فشار میشود که باعث آسیب رساندن به سیستمِ لوله و ماشین آلات مربوطه میشود. براي جلوگیري از آسیبهاي ضربه قوچ میتوان آن را مهار یا کنترل کرد که این کار بوسیله مخازن موجگیر، مخازن هوادهی، لولههاي انعطافپذیر، پمپهاي پروانهاي و شیرهاي فشارشکن انجام میشود.
در عمل ضربه قوچ مورد تحلیل قرار میگیرد تا معلوم شود کدامیک از تجهیزات فوق لازم است و چه ابعادي باید داشته باشد. همچنین با پیش بینی فشار حداکثر، مقاومت لازم سیستم لوله تعیین میشود. تئوري کلاسیک ضربه قوچ، انتشارِ موج فشاري در سیستم تحت فشار را بیان میکند. این تئوري فشار حداکثر و پریود موج را دقیقا پیش بینی میکند ولی در محاسبات دقیق میرایی و انتشار جبهه موج ناتوان است. دلیل این امر نادیده گرفتن شماري از پارامترهاي تأثیرگذار که شامل هواي محلول و آزاد در سیال، اصطکاك غیرماندگار و رفتار غیر الاستیک مصالح جداره لوله است .[2] پارامتر دیگر حذف اندرکنش سازه و سیال - FSI - است که در مکانهاي مختلف قابل مشاهده است.
این پارامتر شامل رفتار غیر الاستیک در تکیهگاهها، حرکات طولی و خمشی لوله، کمانش و لرزش لوله در انتقال جریان در سرعتهاي بالا، و خمش و برش جداره لوله میباشد. در تحلیل کلاسیک ضربه قوچ الاستیسیته لوله تاثیر زیادي در سرعت انتشار امواج فشاري دارد ولی اینرسی لوله و حرکت محوري آن در نظر گرفته نمیشود. این فرض براي سیستمهاي مقید صلب، قابل قبول است اما براي سیستمها با قید و بند کمتر، اندرکنش سیال و سازه مهم است. در این صورت رفتار دینامیکی لوله و سیال همزمان در نظر گر فته میشود. سه مکانیزم عمدة اندرکنش سیال و سازه قابل تشخیص است.[3]
-1 : مکانیزم کوپله اصطکاکی ناشی از اصطکاك سیال با جدار داخلی لوله میباشد که عملکرد آن به گونهاي است که باعث کاهش فشار و تنشها در لوله میگردد. -2 مکانیزم کوپله پواسونی ناشی از وجود نسبت پواسون براي مصالح جداره لوله میباشد، که باعث تبدیل تنشهاي شعاعی به تنشهاي محوري میگردد و باعث میشود تا در سیستم لوله تمایلاتی براي ایجاد تغییر مکان محوري ایجاد شود. -3 مکانیزم کوپله تقاطعی زمانی به وجود میآید که بعضی اتصالات در سازه شبکه لوله کاملاً به زمین مهار نشده باشد. اگر تمام تقاطعها، زانوییها، شیرها، اتصالات و سایر نقاطی که در آنها تغییر مومنتم اتفاق میافتد کاملاً امکان جابجایی از آنها گرفته شود میتوان از کوپله تقاطعی صرفنظر کرد.
اندرکنش سیال و سازه براي اولین بار توسط اسکالاك [4] در سال 1956 با ارائه معادلات تداخلی حاکم بر ضربه قوچ مطرح گردید. پس از آن این موضوع به طور پیوسته مورد یررسی قرار گرفت و روشهاي مختلفی اعم از کوپله، نیمه کوپله و الگوریتمهاي مختلفی جهت مدلسازي عددي آن ارائه گردید که از مهمترین آنها میتوان به حل معادلات تداخلی ارتعاش یک لوله با روش مشخصات توسط ویگرت [5] و بعدها توسعه آن توسط تایسلینگ [6]، حل معادلات سازهاي با روش المان محدود و معادلات هیدرولیکی با روش مشخصات [7] و حل تحلیلی مسأله اندرکنش سیال و سازه براي یک لوله [3] اشاره کرد.
کوچوپلاي و همکاران [8] معادلات اندرکنش سیال و سازه در حالت سه بعدي با روش المان محدود براي هر دو دسته معادلات هیدرولیکی و سازهاي را حل کردند. کرامت [9] نیز براي اولین بار کوپله پواسونی و کوپله تقاطعی در لولههاي ویسکوالاستیک را مورد بررسی قرار داد. وي در این تحقیق مدل ریاضی و حل عددي مسأله اندرکنش سیال و سازه ناشی از ضربه قوچ، در یک شبکه توزیع سیالِ ساخته شده از مواد ویسکوالاستیک، با در نظر گرفتن پدیده جدایی ستونی مایع، را ارائه داد.سیمزکویچ و مایتوسک [1] روش جدیدي را براي حل معادلات هیدرولیکی ارائه دادند. در مقاله آنها با اصلاح روش گلرکین، یک روش المان محدود اصلاح شده، ارائه گردیده است. در مقاله فعلی با استفاده از روش فوق براي حل معادلات هیدرولیکی و با انجام دادن اصلاحاتی براي اضافه کردن جملههاي تاثیر گیرنده از ارتعاش سازهاي، معادلات سیال با کوپل شدن با معادلات سازهاي حل شده است.
معادلات ارتعاش سازهاي نیز با استفاده از روش المان محدود حل شده است. این حل بسیار مشابه حل المان محدود براي تیرها و قابها است. در واقع مزیت روش ارائه شده در این مقاله استفاده کامل از روش المان محدود براي حل هر دو سري معادلات هیدرولیکی و ارتعاش سازهاي میباشد.در ادامه در بخش 2 به معرفی اجمالی پدیده ضربه قوچ و معادلات هیدرولیکی و ارتعاش سازهاي حاکم بر آن پرداخته شده است. در بخش 3معادلات روش المان محدود ابتدا براي معادلات هیدرولیکی و سپس براي معادلات ارتعاش سازهاي ارائه شده است و سپس به بررسی کوپل کردن این معادلات پرداخته شده است. در بخش 4 نیز نتایج دو نمونه مختلف مورد حل و بررسی قرار گرفته است.
.2 مفاهیم اولیه و روابط حاکم در تحلیل پدیده ضربه قوچ با اندرکنش سیال و سازه - FSI -
ضربه قوچ نوعی جریان گذرا - میرا - و غیرماندگار است که در خطوط لوله میتواند در اثر بسته شدن سریع شیرها یا توقف ناگهانی پمپ ایجاد شود. براي مثال در نتیجه بسته شدن سریع یک شیر، در سیستم مخزن و لوله متصل به آن، سرعت جریان به طور ناگهانی به صفر میرسد و بر اثر تبدیل انرژي جنبشی به انرژي فشاري، فشار در پشت شیر افزایش مییابد. این افزایش فشار باعث ایجاد یک موج فشاري به سمت بالادست میشود که در محل مخزن منعکس شده و حرکت رفت و برگشتی پیدا میکند. این جریان تحت تأثیر اصطکاك مستهلک میشود. تغیرات فشار در لوله باعث ایجاد جابجاییهاي دینامیکی در سازه لوله میشود که این جابجاییهاي سازهاي بطور متقابل بر امواج هیدرولیکی تاثیر میگزارد. بنابراین براي تحلیل سیستم بطور دقیق باید معادلات هیدرولیکی و ارتعاش سازهاي را بصورت همزمان و کوپله حل کرد.
روابط حاکم بر ضربه قوچ در حل FSI به دو گروه معادلات هیدرولیکی و معادلات ارتعاش سازه تقسیم میشود. روابط هیدرولیکی در پدیده ضربه قوچ شامل دو معادله پیوستگی و مومنتم میباشد: که در آن، V سرعت سیال، H هد سیال، g شتاب جاذبه، t زمان، x بعد مکان، υ ضریب پواسن، ξ تغییر مکان محوري لوله و c سرعت انتشار موج در لوله میباشد.روابط حاکم بر ارتعاش سازهاي در حالت دو بعدي به ترتیب معادله ارتعاش محوري و معادله ارتعاش خمشی میباشد: - 3 - - 4 - که در آن، میباشد. زیرنویسهاي p و f به ترتیب نمایشگر لوله و سیال است. در روابط بالا: ρ چگالی، Aسطح مقطع، r شعاع لوله، e ضخامت لوله، P فشار جریان سیال، E مدول الاستیسیته، I ممان اینرسی و w تغییر مکان جانبی لوله میباشد.
.3 حل معادلات هیدرولیکی و ارتعاش سازهاي به روش المان محدود
براي حل معادلات مومنتم و پیوستگی سیال از روش المان محدود اصلاح شده ارائه شده در مرجع [1] استفاده شده است. البته در این روش اصلاحاتی انجام شده است تا بتوان اثرات ناشی از ارتعاش سازه اي را نیز در آن وارد نمود. طبق این روش انتگرال توابع را میتوان به صورت ضرب مقدار متوسط المان در انتگرال توابع خطی تعریف کرد:
با توجه به روابط بالا مقدار انتگرالهاي I1 و I2 براي معادلات مومنتم و پیوستگی بصورت زیر محاسبه میشود. بایستی خاطر نشان شود که در این مرحله با اصلاح روابط ارائه شده در مرجع [1] جملهاي از معادله پیوستگی را که تأثیر ارتعاش سازهاي را لحاظ میکند نیز مورد بررسی قرار میدهیم.این جمله تنها تابعی از زمان و تحلیل ارتعاش سازه است. به همین دلیل براي سادگی این جمله را بصورت زیر تعریف می کنیم: - 11 -
حال با توجه به معادله - 11 - انتگرالهاي اصلاح شده براي معادلات - 1 - و - 2 - بصورت زیر محاسبه میشود:
در معادلات بالا k ، نشاندهندة شماره المان میباشد. حال با تبدیل معادلات بالا به شکل ماتریسی و سرهمسازي المانها معادله زیر حاصل میشود: - 16 -
که در آن:
S و C ماتریسهاي و E ماتریس است. براي انتگرالگیري در حوزه زمان از یک الگوریتم دو مرحلهاي با روابط زیر استفاده میکنیم: - 18 -
در روابط بالا θ پارامتر وزنی بین 0 و 1 است. j نیز زیرنویس مربوط به زمان است. حال با استفاده از یک روش تکرار بر مبناي رابطه زیر ماتریس X را براي زمانهاي مختلف بدست میآوریم:
معادله فوق یک معادله غیر خطی است که با استفاده از یک روش عددي - براي مثال روش نیوتون - میتوان آن را حل کرد. شرایط مرزي براي بسته شدن سریع شیر طبق روابط زیر است که با اعمال به ماتریسها و معادلات فوق میتوان معادلات را حل کرد:
