بخشی از مقاله
خلاصه
در مکانیک محاسباتی، روشهاي فراوانی براي تعیین جواب دقیق یا تقریبی معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسائل وجود دارد. از معمولترین روشهاي تقریبی، روش اجزامحدود و روش تفاضلاتمحدود است. روش اجزاي محدود با بررسیهاي فراوانی که سالها روي آن انجام شدهاست یکی از ابزارات قوي در حل معادلات دیفرانسیل میباشد.
با مطالعاتی که روي این روش انجام گرفته و بهتر شدن توابع شکل آن و روشهاي مختلف براي تعیین شرایط مرزي باعث شدهاست که امروزه ابزاري به نام FEM، یک ابزار قدرتمند براي رسیدن به جواب مسائل مقدار مرزي با حداقل خطا باشد. اما در این روش قدرتمند و روشهایی که همچون اجزا محدود ناحیه مسئله را به چندین قسمت کوچک به نام جزء تبدیل میکنند، کمبودهایی وجود دارد، لازم است تا در مسائلی با شرایط مرزي متغیر - جریان آزاد آب در بدنه سدهاي خاکی - براي هر بار تحلیل، دامنه مسئله مجددا مشبندي شود که این مشبندي با توجه به خاصیت لازم پیوستگی یک مرحله زمانبر میباشد.
با توجه به این مشکل وجود روشی که بتواند بدون نیاز به مشبندي و پیوستگی گرهها، مسئله را حل کند لازم به نظر میرسد. در سالهاي اخیر روشهاي بدونشبکه زیادي به وجود آمدهاند. در این تحقیق از روش المانطبیعی - - NEM در تعیین پتانسیل بار آبی در بدنه سدهاي خاکی همگن با وجود زهکش و بدون آن استفاده شدهاست و نتایج حاصل با نتایج مدل سازي بر پایه المانمحدود مقایسه گردیدهاست. این مقایسه بیانگر عملکرد مناسب روش المان طبیعی در حل مسائل با شرایط مرزي متغییرمیباشد.
1. مقدمه
در مکانیک محاسباتی، روشهاي فراوانی براي تعیین جواب دقیق یا تقریبی معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسائل وجود دارد. از معمولترین روشهاي تقریبی، روش اجزا محدود و روش تفاضلات محدود است. روش اجزاي محدود با بررسیهاي فراوانی که سالها روي آن انجام شدهاست یکی از ابزارات قوي در حل معادلات دیفرانسیل میباشد.
با مطالعاتی که روي این روش انجام گرفته و بهتر شدن توابع شکل آن و روشهاي مختلف براي تعیین شرایط مرزي باعث شده است که امروزه ابزاري به نام FEM، یک ابزار قدرتمند براي رسیدن به جواب مسائل مقدار مرزي با حداقل خطا باشد. اما در این روش قدرتمند و روشهایی که همچون اجزا محدود ناحیه مسئله را به چندین قسمت کوچک به نام جزء تبدیل می کنند، کمبودهایی وجود دارد. مشبندي یعنی تبدیل ناحیه مسئله به نواحی کوچکتر با ارتباطات گره اي ویژه تا پیوستگی در مسئله حفظ شود.
با توجه به این مفهوم لازم است تا در مسائلی با شرایط مرزي متغیر - جریان آزاد آب در بدنه سدهاي خاکی - براي هر بار تحلیل، دامنه مسئله مجددا مشبندي شود که این مشبندي با توجه به خاصیت لازم پیوستگی یک مرحله زمانبر میباشد، زیرا در این گونه مسائل میتوان مش را سریعاً تولید کرد، اما نیاز به چندین بار سعی و خطا است تا مش مطلوب و بهینه بدست آید.
در سالهاي اخیر براي غلبه بر مشکل فوق شاخه جدیدي در مکانیک محاسباتی به نام روشهاي بدون شبکه پایهگذاري شدهاست. یک روش به عنوان روش بدون شبکه شناخته میشود که حداقل دو شرط زیر را داشتهباشد:
تعریف توابع شکل تنها به موقعیت نقاط بستگی داشتهباشد.
ارزیابی پیوستگی گرهها به زمانی وابسته است که این زمان منحصراً وابسته به تعداد گرهها در ناحیه مسئله است.
تعاریفی که از روشهاي بدونشبکه وجود دارد باعث شدهاست تا روشهاي بدونشبکه به گروههاي متفاوتی تقسیم شوند.
تقسیم بندي روشهاي بدونشبکه با توجه به چگونگی تعریف توابع شکل یا چگونگی حداقل کردن توابع تقریب میباشد، که این حداقل کردن به شکل قوي یا شکل ضعیف است.[1] روشهاي بدون شبکه وابستگی کمتري به نظم در قرارگیري گرهها نسبت به اجزاء محدود دارند.
بطور کلی تفاوت آنها بر اساس تکنیکهاي درونیابی براي دادههاي پراکنده است[2]، که از روشهاي بدون شبکه زیادي چون Smooth Particle Hydrodynamic- - SPH - ، Partition of Unity Method، Diffuse Element Method میتوان نام برد
روشهاي مبتنی بر درونیاب Moving Least Square - MLS - ، یا بطور کلی روشهایی که بر اساس توابع شکل دایروي، مربعی، بیضوي هستند، در طول نواحی با شرایط مرزي اساسی با فقدان دقت روبرو هستند.
توابع شکلی که بر اساس MLS ساخته میشوند، فاقد خاصیت دلتاي کرونکر هستند و محاسبهي توابع شکل بر اساس MLS به دلیل هزینهبر بودن بخاطر الگوریتم پیچیده آنها مشکل است و خطاهاي نسبتاً بزرگی را در اثر برازش سطح ایجاد میکنند.
روشهایی که براي جبران کمبودهاي فوق میتوان نام برد: روش ضرایب لانگراژ، روش پنالتی، روش تلفیقی با FEM و روش MLS مقید است، که روش پنالتی داراي کارایی زیادي بوده و بطور گسترده استفاده شدهاست.[4] توابع Grid-point-centered در خیلی از روشهاي بدون شبکه استفاده میشوند که خاصیت دلتاي کرونکر را تامین نمیکنند که لازم است تا روشهایی براي اعمال شرایط مرزي به کار بردهشود، از طرف دیگر احتیاج این توابع شکل به سلولهاي پسزمینه است که نقاط انتگرالگیري عددي را در ناحیه مسئله ایجاد میکند
بیشتر روشهاي بدونشبکه به یک شبکهبندي زمینه براي انتگرالگیري احتیاج دارند تا شکل ضعیف معادله حاکم را ارضاء کنند. این احتیاج به شبکه بندي انتگرالگیري باعث میشود تا کاملاً نتوان روش بدونشبکه را توصیف کرد.[6] روش دیگر براي درونیابی دادهها روش بدون شبکه گالرکین - - EFG بر اساس شکل ضعیف محلی یا کلی میباشد که از این دست میتوان به روش اجزاء پراکنده - - DEM اشاره کرد.[4] بطور کلی مزایا و معایب بعضی از روشهاي بدون شبکه به صورت زیر دستهبندي میشوند.
روش بدون شبکه Petrov-Galerkin Natural Element Method، که عیب آن منجر شدن به ایجاد ماتریسهاي نامتقارن است و خطایی را در دقت انتگرالگیري عددي ایجاد میکند.
روش المان آزاد - - EFG پتانسیل قوي براي حل مسائل پیچیده را دارد و این در حالی است که روش المان آزاد گالرکین به علت عدم خاصیت دلتاي کرونکر در اعمال شرایط مرزي اساسی با مشکل روبرو است.
روش PIM نسبت به MLS داراي دقت بالاتري است اما عیب آن امکان بوجود آمدن ماتریس منفرد براي ماتریس مومنتم است.
یکی از دلایل منفرد شدن ماتریس مومنتم به این قرار است که در روشهاي بدونشبکه، کاملاً آزدانه میتوان انتخاب نمود که چه گرههایی در ناحیه تاثیر توابع شکل وجود دارند و مسئله اصلی اینجاست که چگونه میبایست گرههایی را انتخاب کرد بدون اینکه پس زمینهاي از عملکرد آنها در انتگرالگیري داشت.
براي غلبه بر کمبود فوق روش MTA معرفی شدهاست که یک روند خودکار براي اطمینان از تاثیر گره انتخابی در درون یابی دارد.
روش توابع شعاعی محلی - - LPIM در تلفیق با MTA به شدت وابسته به ابعاد درونیابی است. اگر ناحیه درونیابی به اندازه کافی بزرگ باشد جواب مطلوب بدست میآید اما با این عمل دقت کافی در انتگرالگیري از بین میرود.
روشهاي بدونشبکه - Weak Strong Form - MWS براي مدل سازي مسائل پایدار و ناپایدار سیال غیرقابل تراکم فرمولبندي شده و به کار گرفته شده-اند که بر اساس هر دو روش collection و local petrov Galerkin فرمولبندي شده است. در این روش از شکل قوي روش collection براي گره-هاي درون ناحیه مسئله و مرزهاي اساسی و از فرم ضعیفlocal petrov Galerkin براي درونیابی روي گرههاي مرزهاي طبیعی استفاده شده است.
با توجه به مطالب گفته شده بعضی از کمبودهاي روشهاي بدون شبکه به قرار زیر است:
در بعضی روشها تعریف شرایط مرزي اساسی پیچیده و مشکل است.
در بعضی از روشها تعیین مشتق و مشتقپذیري توابع شکل پیچیده است غالباً نقاط گوس زیادي براي ارزیابی شکل ضعیف مسئله نیاز است بعضی از روشها براي پخش پراکنده نقاط کاربردي ندارد.
در این تحقیق، از روش المان طبیعی در مدلسازي پدیده نشت از بدنه سدهاي خاکی استفاده شده است. روش المان طبیعی بر اساس مفهوم دیاگرام ورونی ومثلثسازي دلانی استوار است که با شکل ضعیف در حل مسائل مکانیک بکار گرفته شده است
یکی از نقاط قوت روش المان طبیعی مبتنی بودن آن بر پایه دیاگرام ورونی است زیرا یک جزء کاملاً پایدار ایجاد میکند.
روش المان طبیعی با روش MFEM که هر دو بر پایه دیاگرام ورونی و مثلثسازي دلانی استوار هستند شباهتهایی را دارد اما توابع شکل در روش همسایه طبیعی پیوستگی c∞ را دارد و دیاگرام ورونی بر اساس همهي همسایههاي طبیعی ساخته میشود در این حالت یک تابع شکل هموار بدست میآید که به چندین نقطه انتگرالگیري عددي احتیاج دارد.
در بخش ابتدایی به توضیح دیاگرام ورونی و مثلثسازي دلانی پرداخته میشود. در بخش دوم مفهوم همسایه طبیعی و محاسبه توابع شکل بر اساس این مفهوم بررسی شده است. در بخش سوم شکل ضعیف معادله نشت و فرمولبندي آن با استفاده از روش گالرکین توضیح داده شدهاست. در انتها حل معادله نشت براي یک سد بر اساس روش المانطبیعی مورد بررسی قرار گرفته است.
.2 دیاگرام ورونی و مثلثبندي دلانی
بلوكهاي دیاگرام ورونی و مفهوم همسایه طبیعی براي تعریف ارتباط گرهها روي یک شبکه نامنظم در روش المان طبیعی بکار میرود.[11] مجموعهاي از گره هاي متمایزN {n1, n2 , n3 ,...., nm } را در R2 در نظر گیرید. نمودار ورونی - نمودار مرتبه اول ورونی - مجموعه N ، بخش فرضی سطح در مناطق Ti - بسته، محدب و نامحدود - است. جایی که هر منطقه Ti با هر گره ni مرتبط است، بطوریکه نقطه Ti نزدیکتر ni - نزدیکترین همجوار - به نسبت هر گره دیگر - - n j ∈ N - j≠i - −Ti است و این نقطه کانون نقاط نزدیکتر به ni به نسبت هر گره دیگر است. مناطق Ti سلولهاي ورونی ni هستند.
d - xi , x j - مسافت میان xi , x j است - شکل. - 1 مثلث دلانی از نمودار ورونی بوجود میآید بطوري که این مثلث با ارتباط گرههایی ساخته می-شود که با سلولهاي ورونی آنها مرز مشترك دارند
دیاگرام ورونی براي یک نقطه در فضاي Rd بیهمتا است، در صورتی که براي مثلثبندي دلانی این شرط لزوماً صادق نیست که به این حالت اصطلاحاً منحط گفته میشود که دو یا چند مثلثدلانی ممکن است بوجود آید.
شکل-1 دیاگرام ورونی براي 7 گره
شکل-2 مثلثسازي دلانی براي هفت گره
خاصیت مهم مثلثسازي دلانی تعریف معیار دایره تهی است. مرکز مثلثهايدلانی، مرکز دوایر همسایه طبیعی است. اگر مجموعه گرهاي N به این صورت باشد که تنها سه گره بر دایره هر مثلث دلانی موجود باشد در این هنگام سه لبه براي تشکیل مرکز دایره همجوار طبیعی باهم برخورد میکنند
شکل-3 دوایر همسایه طبیعی براي مجموعه 7 گره اي
