بخشی از مقاله
چکیده - تحلیل تغییر شکلهای بزرگ غیرخطی و رفتار پس از کمانش تیرستونها از اهمیت زیادی در مهندسی سازه و مهندسی مکانیک برخوردار است به خصوص زمانی که تیر ستونها لاغر در نظر گرفته میشوند و یا از مواد الاستیک با مقاومت بالا مانند FRP و یا کامپوزیتها ساخته شدهاند. در این مطالعه هدف تجزیه و تحلیل تغییرشکلهای بزرگ و رفتار پس از کمانش تیرستون لاغر مهارنشده جانبی با تکیهگاههای انتهایی متفاوت تحت بارهای انتهایی وارد شده می-باشد.
بدین منظور به بررسی تغییرشکلهای بزرگ و رفتار پس از کمانش یک ستون با اتصالات نیمهگیردار توسط فنرهای دورانی خطی با سختیهای متفاوت تحت بار ثقلی اعمال شده در انتها میپردازیم. از آنجا که تحلیل تغییرشکل-های بزرگ به نوع سختی خمشی اتصالات انتهایی بسیار حساس است، تحلیل انجام شده را در سه حالت مختلف با توجه به تغییرات ضرایب گیرداری اتصالات مورد بررسی قرار می دهیم.
برای تحلیل سازه مورد نظر نیازمند حل همزمان دو معادله غیرخطی با انتگرالهای بیضوی هستیم که پارامترهای مجهول حدود انتگرالها میباشند. سپس به تحلیل ستون موردنظر پرداخته و با توجه به افزایش شیب انتهایی عضو، پارامترهای مختلف را محاسبه میکنیم و سپس به رسم نمودارهای مختلف برای بررسی دقیق پایداری تغییرشکل بزرگ و رفتار پس از کمانش ستون میپردازیم. برای تحلیلهای انجام شده و رسم نمودارهای مختلف از نرم افزار Mathematica استفاده شده است. در انتها، با ارائه نتایج مناسبی نشان داده میشود.
-1 مقدمه
تیر ستون ها اعضای سازهای هستند که تحت اثر ترکیب بارهای محوری و لنگرهای خمشی میباشند. این لنگرهای خمشی شامل دو دسته میباشند: لنگرها ی خمشی اولیه که ناشی از لنگرهای وارده و یا ایجاد شده در انتهای عضو و یا لنگرهای ناشی از انتقال بارها در عضو و لنگرهای خمشی ثانویه که ناشی از اثر نیروی محوری به واسطه تغییر مکان جانبی عضو هست. لنگر لنگری است که در اثر نیروی محوری موثر به دلیل تغییر مکان جانبی عضو ایجاد میگردد. درحالیکه لنگر لنگر به وجود آمده در اثر نیروی محوری به دلیل تغییر مکان نسبی دو انتهای عضو است.
محاسبه بار بحرانی ستون با شرایط مرزی مقید برای تحلیل کمانش با حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم اولین بار توسط Gurfinkel و Robinson انجام گردید. اگرچه بر مبنای تحقیقات آن ها بار بحرانی ستون محاسبه گردید، اما امروزه جهت به دست آوردن بار کمانش ستون از حل معادله مشخصه آن، با استفاده از معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه چهارم استفاده می گردد. همچنین آنان با استفاده از شرایط لبهای دو نقطه از ستون و روش shooting method اقدام به محاسبه پس کمانش ستون کردند.
بر اساس این روش از حل غیرخطی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به روش الگوریتم Runge-Kutta استفاده گردید Aristizabal .[1] و همکارانش در سال 2004 اقدام به بررسی رفتار تغییر شکل بزرگ یک تیر ستون کردند. آن ها در این تحلیل شرایط مرزی تیر ستون را نیمه صلب در نظر گرفتند. سپس با قرار دادن لنگر و یک بار به صورت مایل در انتهای تیر ستون اقدام به تحلیل الاستیک آن کردند.
آن ها همچنین با تغییر در شرایط مرزی همانند اتصالات صلب، نیمه صلب و مفصلی به صورت مدل سازی با فنر خمشی و تغییر در سختی فنر و تغییر در شرایط بارگذاری بر روی تیر ستون با استفاده از تئوری الاستیکا و روش های انتگرال بیضوی پایداری آن را بررسی کردند. قابل ذکر است تئوری الاستیکا قابلیت در نظر گرفتن کرنش ها ی خمشی و محاسبه دقیق ایجاد انحنا و تغییر شکلهای خمشی از مقدار کم تا مقدار زیاد ناشی از بارگذاری خمشی را دارد. تحلیل تغییر شکل بزرگ در یک تیر ستون با اتصالات صلب در دو انتها نیازمند حل پیچیده روابط مربوط به مدل سازی غیرخطی سازه است، که می توان پاسخ این روابط را با استفاده از انتگرال بیضوی به دست آورد .[2]
Torkamani و همکارانش در سال 1998 اقدام به بررسی یک قاب دو بعدی با وجود بار جانبی، لنگر خمشی در انتها و نیروی محوری در اعضای قاب کردند. در تحلیل آن قاب از روش های مختلفی همانند روش های کلاسیکی تحلیل، تحلیل مرتبه اول، تحلیل مرتبه دوم و پوشاور استفاده گردید. همچنین آنان با تغییر در شرایط اولیه و روش حل مسئله، نتایج را با یکدیگر مقایسه نمودند. سپس با تحلیل غیرخطی و مرتبه دوم سازه ایجاد ارتباط بین کرنشها و چرخشهای بزرگ، کرنش و جابه جایی در حالت الاستیک سازه را بررسی کردند. همچنین با استفاده از روش اجزاء محدود و بررسی تغییرات در ماتریس سختی قاب الگوریتمی جهت محاسبه مجموع انرژِی ذخیره شده در قاب تغییر شکل داده شده در دو حالت تحلیل مرتبه اول و تحلیل مرتبه دوم سازه را ارائه کردند .[3]
در سال Dario Aristizabal 2001 اقدام به تحلیل غیرخطی جهت محاسبه تغییر شکل های بزرگ یک المان لاغر تیر ستون با مقطع متقارن و تکیه گاه های نیمه صلب، همراه با بارگذاری در انتهای المان کرد. به طوری که این بارگذاری به صورت محوری و دارای مقداری انحراف از محور طولی عضو بود. سپس با تحلیل غیرخطی تیر مذکور با استفاده از توابع ارائه شده در نظریه تیموشینکو تغییر شکل های تیر تحت وجود تکیه گاه با حالات مختلف همانند اتصال صلب، اتصال نیمه صلب و اتصال مفصلی محاسبه شد. در این مدل سازی جهت ایجاد انحراف و به وجود آمدن تغییر شکل های بزرگ در تیر، 1,5 درصد مقدار بار محوری به صورت جانبی به تیر وارد گردید. به جهت راستی آزمایی معادلات، نتایج و روش مورد مدل سازی مورد استفاده از روش های کلاسیک حل مسائل مربوط به تغییر شکل های بزرگ همانند روش الاستیکا استفاده گردید .[4]
Phungpaingan و Chucheepsakul در سال 2005 بر روی رفتار پس کمانش ستون با شروط چرخشی متفاوت و وجود نیروی فشاری در بالای ستون تحقیق کردند.آنان به منظور محاسبه بار مورد نیاز جهت کمانش ستون از حل معادله مشخصه ستون با در نظر گرفتن شرایط مرزی آن استفاده نمودند. همچنین به جهت محاسبه رفتار پس کمانش ستون از معادلات دیفرانسیل غیرخطی بر مبنای شرایط فیزیکی مسئله بهره جستند. سپس معادله دیفرانسیل مربوطه را با استفاده از روش عددی shooting method حل نمودند.[5]
تحلیل غیرخطی تغییر شکل های بزرگ یک تیر و رفتار پس کمانش آن بر مبنای مدل ساز ی به روش تیر تیموشینکو برای یک تیر با اتصالات نیمه صلب و وجود بار در انتهای آن به صورت بار محوری و لنگر خمشی در سال 2006 توسط Aristizabal انجام گردید. در این مدل سازی نیروی محوری، نیروی برشی و لنگر خمشی به تیر وارد گردید و تأثیر ترکیب این نیروها با یکدیگر، وجود نیروی محوری خارج از محور قائم و تکیه گاه جانبی مورد بررسی قرار گرفت. در تحلیل این سازه از تابع پایداری جدیدی بر مبنای اصلاح معادلات برش استفاده گردید که در آن تأثیر تغییر شکل های برشی و ترکیب نیروی برشی و نیروی محوری دیده شده بود. همچنین یک عبارت جهت در نظر گرفتن تابیدگی به دلیل اعمال نیروی محوری در معادلات کلاسیک کمانش در نظر گرفته شد.
قابل ذکر است روش مذکور یک روش تقریبی بر مبنای نظریه تیر تیموشینکو برای محاسبه تغییر شکل های بزرگ یک المان سازهای میباشد که قابلیت محاسبه پایداری تیر ستون تحت نیروهای محوری کششی و یا فشاری و در هر حالت تکیه گاه همانند اتصال صلب، نیمه صلب و مفصلی را دارا می باشد. نتایج محاسبات نشان داد، در نظر گرفتن تغییر شکل های برشی باعث افزایش انحناهای ناشی از برش و تغییر طول محوری می گردد و همچنین مقدار بار بحرانی جهت ایجاد کمانش در تیر ستون را کاهش می دهد. آنان جهت اعمال تأثیر تغییر شکل های برشی در تحلیل، سختی برشی و یا مساحت برشی ستون را کم در نظر گرفتند - همانند ستون هایی با وجود بازشو در جان آن ها - . در نهایت آنان تأثیر اهمیت در نظر گرفتن تغییر شکل های برشی بر روی پایداری ستون در فشار و کشش و رفتار دینامیکی الاستیک ساختمان ها را در قالب تحلیل و ارائه چهار مثال جامع نشان دادند .[6]
-2 تئوری الاستیکا
در این تئوری هدف بررسی میزان خمیدگی یک میله تحت بار بحرانی کمانش آن هست .[ 7] در واقع ممکن است پس از اعمال بار بحرانی به میله هنوز مقدار کمی امکان تغییر شکل در سازه باقی مانده باشد. این نتیجه با استفاده از معادلات دیفرانسیل بار بحرانی قابل محاسبه هست. این معادلات بر پایه عبارت تقریبی ⁄ مربوط به انحنای کمانش میله قابل محاسبه است. و اگر عبارت دقیق محاسبه انحنا در میله استفاده گردد، نتایج تغییر شکل بدون خطا خواهد بود.
به شکل منحنی الاستیک به دست آمده در صورتی که از معادلات دیفرانسیل به صورت دقیق استفاده گردد، الاستیکا میگویند. میله لاغر موجود در شکل 1 را در نظر بگیرید که در انتها دارای اتصال صلب بوده و در ابتدای میله به صورت آزاد هست. اگر بار P به مقدار بیشتری از بار بحرانی به میله وارد گردد، میله دچار تغییر شکل های زیادی میگردد. با اندازه گیری میزان فاصله S از محور مختصات نشان داده شده در شکل1، میزان دقیق انحنا میله برابر dθ⁄ds می باشد.
