بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
توليد شتاب نگاشت هاي مصنوعي سازگار با طيف طرح با استفاده از تبديلِ موجک
چکيده
در اين مقاله روشي براي توليد شتابنگاشت هاي سازگار با يک طيف خاص ، برپايه تبديل موجک (Wavelet Transform)ارائه مي شود.تبديل موجک به دليل خواص منحصربه فرد خود (محدود بودن محمل (Support) تابع پايه در هر دو فضاي زمان و فرکانس ) استفاده وسيعي در پردازش سيگنالهاي زلزله ، به عنوان يک فرآيند غيرايستا دارد. با بردن يک شتابنگاشت انتخابي به فضاي موجک و اصلاح توابع جزئيات آن با نسبت طيف هدف به طيف پاسخِ اين حرکت و بازگشت مجدد به فضاي زمان مي توان حرکتي با طيفي نزديک تر به طيف هدف به دست آورد. اين عمليات تا رسيدن به نتيجه مطلوب تکرار مي شود. در اين روش بر خلاف روشهاي رايج مبتني بر تبديل فوريه ، به معرفي تابع پوش براي ايجاد خواص غيرايستا درحرکت توليدي نيازي نيست .از مزاياي ديگر اين روش ، تساوي زمان دوام حرکت اصلاح شده و اصلي است . با کاربرد اين روش رکوردهاي مختلفي از زلزله هاي مهم فلات ايران با مکانيزم گسلش متفاوت و بزرگاي مختلف (زلزله هاي طبس ، آوج ، بم و زرند)، جهت تطبيق با طيف طرح آيين نامه ۲۸۰۰ اصلاح شده و کارآيي آن به خوبي روشن شده است .
کليد واژه : تبديل موجک، شتابنگاشت مصنوعي ، طيف طرح
۱- مقدمه
حرکت زلزله عموماً داراي دو مشخصه کلي است . اول آنکه داراي دامنه غيرايستا (Non-Stationary)
است زيرا انرژي در ابتداي زلزله توليد و در انتهاي آن رو به کاهش مي رود. خصوصيت دوم فرکانس غيرايستايِ آن است که به معني تغييرات زماني در محتوي فرکانسي حرکت به دليل تفاوت زمان رسيدن امواج لرزه اي متفاوت و نيز پديده پراکنش امواج همنوع مي باشد. پاسخ سازه ها در برابر حرکت زلزله نيز به دليل خصوصيت غيرايستاي ورودي ، فرآيندي غيرايستا خواهد بود. تبديل موجک در سالهاي اخير با توجه به محدود و محلي بودن توابع پايه آن در هر دو فضايِ زمان و فرکانس ـ بر خلاف توابع پايه تبديل فوريه که به لحاظ قدمت در مسائل زلزله رايج تر است و تنها در فضاي فرکانس محدود بوده ، مناسب فرآيندهاي ايستا است ـ ابزاري بسيار قوي جهت تحليل فرکانسي ـ زمانيِ حرکات زلزله و پاسخ سازه به آن پديد آورده است .
اين تبديل بر پايه تحليلي با سطوحِ دّقتِ متفاوت در زمان و فرکانس قرار دارد. تبديل موجک علي رغم جديد بودن ، به دليل خصوصيات فوق کاربردهاي متعددي در پردازش سيگنالهاي زلزله نظير تعيين زمان شروع رسيدن فازهاي متفاوت حرکت [۱]، تعيين نرخ ناهمساني در نواحي خاص [۲] و مطالعه انتشار امواج [۳] و...پيدا کرده است . در اين مقاله يکي از کاربردهاي ديگر اين تبديل براي توليد شتابنگاشت هاي سازگار با طيف خاص ارائه مي شود.
براي تعيين نيروي ناشي از زلزله در سازه ها، آيين نامه ها عموماً سه روش متفاوت با درجات دقت مختلف را پيشنهاد مي کنند [۹]: روش معادل استاتيکي ، روش تحليل مودي و روش تحليل تاريخچه زماني . با توجه به محدوديت روشهاي معادل استاتيکي و مودال براي تحليل سازه هاي خاص (که داراي مودهاي نزديک به هم يا درصد مشارکت مودي پايين هستند) عموماً روش سوم پيشنهاد مي شود. تحليل هاي غيرخطي ديناميکي نيز الزاماً نياز به بارگذاري تابع زمان دارند. با اين وجود انتخاب تاريخچه زماني مناسب ، هميشه کار ساده اي نيست . آيين نامه ها معمولاً با در نظر گرفتن احتمال وقوع زلزله در يک منطقه و سابقه لرزه خيزي آن شکل طيف خاصي را پيشنهاد مي کنند و انتخاب شتابنگاشت هاي منطبق با آن را براي تحليل هاي تاريخچه زماني توصيه مي کنند. در مناطقي که فعاليت لرزه خيزي بالا است (نظير ناحيه زاگرس ) وجود بانکهاي داده مناسب از زلزله هاي قبلي انتخاب مجموعه اي از رکوردها را آسان مي کند ولي در مناطقي نظير ايران مرکزي و شرقي که تعداد رکوردهاي ثبت شده کم است مشکلات بيشتري بروز مي کند. يکي از راه هاي مناسب توليد شتابنگاشت هاي سازگار با طيف طرح ، اصلاح حرکت يک رکورد ثبت شده از زلزله هاي قبلي با مکانيزم گسلش مشابه (معکوس ، امتدادلغز يا کششي ) و بزرگاي تقريباً يکسان با بزرگاي مورد نظر (٠.٥ ا M)، است .
۲- مروري بر مفاهيم اساسيِ تبديل موجک اگر تابع (f)t متعلق به فضاي (R)L٢ ـ فضاي توابع با انرژي محدود ـ باشد، يعني شرط زير را ارضاء کند:
آنگاه مي توان با استفاده از تبديل موجک آن را به ضرايب موجک تجزيه کرد و يا با تبديل معکوس موجک آن را بازسازي کرد [۴]. ماهيت گذرا و انرژي محدود همه زلزله ها که در مقدمه ي بالا به آن اشاره شد امکان ارائه ي آنها درفضاي موجک را فراهم مي کند. تبديل موجک پيوسته تابع (f)t را نسبت به تابع پايه (y)t به صورت زير تعريف مي کنند:
در اينجا a پارامتر مقياس است که متناسب با باند فرکانسي توابع پايه مي باشد و b يک پارامتر انتقال است که تابع پايه را (که موجک مادر نيز خوانده مي شود) در اطراف b متمرکز مي کند. لذا ضرايب موجک (a, b)Wy f مشارکت باندِ فرکانسي مربوط به مقياس a در تابع (f)t در همسايگي t=b را نشان مي دهد.
درهمه ي کاربرد هاي عملي ، ضرايب (a, b)Wy f براي برآوردن منظور خاصي اصلاح مي شوند و آنگاه به فضاي زماني اصلي بازگردانده مي شوند. تابع (f)t را مي توان از روي ضرايب موجک آن بازتوليد کرد (فرمول بازسازي ) :
که در اين رابطه ثابت C به تابع موجک مادر انتخابي بستگي دارد و به صورت زير تعريف مي شود:
در رابطه فوق تبديل فوريه تابع پايه است . انتخاب شکل تابع موجک پايه براي يک کاربرد خاص ، به هدفِ تحليل و نوع تابعي که تحليل مي شود بستگي دارد. براي توليد زلزله هاي مصنوعي توابع پايه هارمونيک مناسب است ، زيرا مقياسهاي متفاوت اين توابع به محدوده هاي فرکانسي مجزا و نا همپوشا مربوط مي شود و لذا تحريک در يکي از مقياسها عمدتاً سبب پاسخ نوسانگرهاي همان محدوده مي شود [۵ ،۶ ، ۷]. اين امر، کارِ اصلاح حرکت در فضاي موجک را براي انطباق با يک طيف خاص آسان مي کند. در اين مقاله از تابع پيشنهادي "سورز" و"مونتجو" بهره مي گيريم :
پارامترهاي x و W مقدار کاهش و تغييرات دامنه موجک با زمان را تعيين مي کند که مي توان آنها را نظير نسبت ميرايي و فرکانس ارتعاش طبيعي يک نوسانگر يک درجه آزادي منظور کرد. در اين مقاله از اين تابع با مقدار
براي اصلاح تاريخچه زماني هاي مورد نظر استفاده مي کنيم [۶].
۳- روش مورد استفاده
در کاربرد مورد نظر ما در اين مقاله تابع (f)t همان شتاب زمين در اثر زلزله است . اگر در معادله (۴) قرار گيرد و فرض شود (دّقت کنيد که هدف در اين مرحله بازسازي رکورد g اصلي نيست و به بيان ديگر تابعِ شتابنگاشت حرکت اصلاح شده است )، خواهيم داشت :
تابع (t ,D) a که به نام "تابع جزئيات (Detail Function)" ناميده مي شود به صورت زير است :
با محاسبه توابع جزئيات براي رکورد مورد نظر، کار توليد شتابنگاشت منطبق با طيف خاص بسيار راحت و مستقيم خواهد بود. در اينجا روش محاسبه اين توابع ذکر مي شود [۶]:
در عمل مجموعه اي متشکل از n مقدار مجزاي aj به جاي پارامتر مقياس پيوسته a به کار مي رود که به صورت زير است :
n تعداد مقادير گسسته و n٠ يک عدد صحيح انتخابي است . در عمل شتاب زمين در بازه هاي زماني مساوي ثبت مي شود. در اينجا فرض مي شود که شتابنگاشت در N بازه زماني tk ثبت شده است . از آنجا که b نيز يک مقياس زماني است ، به N مقدار مجزا (گسسته ) تقسيم مي شود. شکل گسسته ي ضرايب تبديل موجک (رابطه (۲)) با عبارت تقريبي زير بيان مي شود:
و توابع جزئيات نيز با استفاده از شکل گسسته ي رابطه (۹) به صورت زير بيان مي شوند:
گرچه توابع جزئيات فوق کاملا هارمونيک نيستند ولي فرکانس غالبي برابر فرکانس غالب موجک مقياس شده دارند.
j
لذا فرکانس غالب و دوره تناوب هر تابع جزئيات به صورت زير است :
گام اول در ساخت شتابنگاشت سازگار با طيف ، انتخاب مقادير aj است . اين کار بايد به نحوي انجام شود که دوره تناوبهاي Tj از رابطه (۱۳) به خوبي محدوده ي دوره تناوب طيف پاسخ زلزله موردنظر (طيف هدف ) را بپوشاند. با توجه به شکل aj که به صورت ٨.j٢ بيان شد، مقادير n و n٠ که تعريف کننده j است مقدار aj را تعيين مي کنند. طبق توصيه مرجع [۶] براي کاربردهاي عددي از ٦٣=n و٥١=n٠ بهره مي گيريم .
با انتخاب اين مقادير j تغيير مي کنند و با توجه به رابطه (۱۳) فرکانسها نيز از ( s تغيير مي کنند. گام دوم محاسبه توابع جزئيات از روابط (۱۰) و(۱۱) است . در گام سوم طيف پاسخ رکورد انتخابي در دوره تناوبهاي Tj محاسبه مي شود. گام بعدي محاسبه نسبت طيف هدف به اين طيف در پريودهاي مختلف است :
