بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله، روش ترکیبی تبدیل موجک و بهینهسازی برای تولید شتابنگاشتهای منطبق بر طیف طرح ارائه شده است. تبدیل موجک برای تحلیل سیگنالها در حوزه زمان- فرکانس بوده که دقت بالایی در آنالیز سیگنالهای حاوی خصوصیات گذرا دارد. در سالهای اخیر، تولید شتابنگاشتهای مصنوعی بر پایه تبدیل موجک مورد توجه محققین بوده است. برای این منظور، فرایند با انتخاب یک شتابنگاشت واقعی و انتقال آن به فضای موجک شروع میشود، سپس با اصلاح توابع جزئیات آن و بازگشت مجدد به فضای زمان، میتوان شتابنگاشت مصنوعی با طیفی نزدیک به طیف هدف به دست آورد. این عملیات تا رسیدن به نتیجه مطلوب تکرار میشود. عیب عمده این روش، خصوصیات متفاوت شتابنگاشتهای مصنوعی، از جمله شاخص انرژی، با شتابنگاشت واقعی میباشد. لذا در این مقاله، فرکانسهای غالب در تبدیل موجک با استفاده از روش بهینهسازی به گونهای بهینه شدهاند که اختلاف شاخص انرژی بین شتابنگاشت مصنوعی تولید شده و شتابنگاشت واقعی به حداقل رسیده است.
کلمات کلیدی: شتابنگاشت مصنوعی، تبدیل موجک، بهینهسازی، شاخص انرژی
1. مقدمه
در تحلیل و طراحی سازهها به دلیل عدم توانایی روش طیف پاسخ در تامین اطلاعات زمانی در مورد پاسخ و رفتار سازه، اکثر آییننامههای طراحی در موارد خاص مانند ساختمانهای نامنظم تحلیل دینامیکی را ملزم کردهاند. طرح نهایی سازههای مهم - از قبیل نیروگاههای برق هستهای، سدها، سازههای بلند، پلهای کابلی و غیره - براساس تحلیل تاریخچهی زمانی تهیه میشود. برای اینگونه تحلیل لازم است که شتابنگاشت مربوط به محل ساخت سازه در دسترس باشد. از آنجایی که از تاسیس شبکهی شتاب نگاری ایران تنها چهار دهه میگذرد، دسترسی به تاریخچهی زمانی زلزلهی مناطق مختلف کشور دشوار است. بنابراین نیازمند روشی هستیم که با استفاده از شتاب نگاشتهای موجود، شتابنگاشتهای مصنوعی ایجاد نمایدکه طیف پاسخ این شتابنگاشتهای مصنوعی با طیف طرح ساختگاه مطابقت داشته باشد.
حرکت زلزله عموماً دارای دو مشخصهی کلی، دارا بودن دامنه و فرکانس غیرایستا میباشد. زیرا اولاً انرژی در ابتدای زلزله تولید و در انتهای آن رو به کاهش میرود، ثانیاً به علت تفاوت زمان رسیدن امواج لرزهای و نیز پدیدهی پراکنش امواج همنوع، در محتوای فرکانسی حرکت تغییرات زمانی رخ میدهد. میتوان گفت به دلیل خصوصیت غیرایستای ورودی، پاسخ سازهها در برابر حرکت زلزله نیز غیرایستا خواهد بود. تبدیل موجک روش ریاضی جدیدی است که برای تحلیل موجهای غیرایستا مناسب است. این تبدیل برخلاف تبدیل فوریه که به لحاظ قدمت در مسائل زلزله رایجتر است و توابع پایه آن تنها در فضای فرکانس محدود میباشند، دارای توابع پایهای است که در هر دو فضای زمان و فرکانس محدود و محلیاند. بنابراینتبدیل موجک ابزاری بسیار قوی جهت تحلیل فرکانسی- زمانی حرکات زلزله به حساب میآید.[1] یکی از کاربردهای این تبدیل، استفاده آن جهت تولید شتابنگاشتهای مصنوعی سازگار با طیف خاص میباشد.[2]
محتوای شتابنگاشتها در دو حوزهی زمان و فرکانس قابل بیان میباشد. لذا شتابنگاشتهای مصنوعی را میتوان با مقیاس کردن در سه حوزهی زمان، فرکانس و زمان- فرکانس تولید نمود. آبراهامسون[3] و کومار[4] عملیات تولید شتابنگاشت مصنوعی منطبق بر طیف طرح را به ترتیب با روشهای مقیاس نمودن در حوزه زمان و فرکانس انجام دادند. سوآرز و مونتجو [2] نیز عملیات تولید شتابنگاشت مصنوعی منطبق بر طیف طرح را به روش مقیاس کردن در حوزه زمان- فرکانس با استفاده از تئوری موجک انجام دادند. همچنین هنکوک [5] در سال 2006 با استفاده از موجک لیل-هاناند- تیسنگ و اصلاح نتایج با استفاده از دو موجک سینوسی و کسینوسی، شتابنگاشتهای مصنوعی را تولید نمود.
در سال 2007، سوآرز و منتجو[6] اصلاح خط پایه را به روش پیشنهادی خود [2] افزودند و در سال 2013 نیز روش پیشنهادی قبلی خود را اصلاح نمودند.[7] در این روش با استفاده از تبدیل فوریهی سریع، ماتریس ضرایب موجکی و توابع جزئیات را تولید نمودند. مزیت این روش در مقایسه با روش پیشین مصنوعی[6]، دارا بودن سرعت محاسباتی بالا میباشد.روشهای ارائه شده برای تولید شتابنگاشتهای مصنوعی باعث تغییرات زیادی در خصوصیات شتابنگاشت مصنوعی نسبت به شتابنگاشت واقعی میشوند. در نتیجه ماهیت این شتابنگاشتهای مصنوعی بسیار متفاوت از شتابنگاشت واقعی خواهد بود.
یکی از این خصوصیات مهم، شاخص انرژی شتابنگاشت میباشد که دستخوش تغییرات زیادی میشود. در این مقاله، یک روش ترکیبی براساس روش بهینهسازی و روش اصلاح شده سوآرز مونتجو[7] جهت تولید شتابنگاشتهای مصنوعی منطبق بر طیف طرح پیشنهاد شده است. هدف از این روش کاهش اختلاف شاخص انرژی بین شتابنگاشت واقعی و مصنوعی میباشد. برای رسیدن به این هدف، محدوده فرکانسهای غالب مورد استفاده در تبدیل موجکی بهینه شدهاند. نتایج نشان میدهد که روش پیشنهادی به طور موثری باعث کاهش تغییر در شاخص انرژی بین شتابنگاشت واقعی و مصنوعی میگردد.
2. روش تبدیل موجکی پیوسته اصلاح شده برای تولید شتابنگاشتهای مصنوعی
روش تبدیل موجکی پیوسته - CWT - برای تولید شتابنگاشتهای مصنوعی منطبق بر طیف طرح براساس تجزیهی موجکی شتابنگاشت به تعداد محدودی از توابع جزئیات با فرکانس غالب میباشد.[2] در این روش، توابع جزئیات به گونهای اصلاح میشوند که طیف پاسخ شتابنگاشت منطبق بر طیف طرح هدف گردد. مراحل پیاده سازی این روش بدین شرح است که اگر فرض کنیم - X g - t همان شتابنگاشت مربوط به حرکت زمین باشد، بر طبق روش موجکی سوآرز و منتجو خواهیم داشت:[2]که در رابطهی بالا ψ تابع موجک پیشنهادی سوآرز و منتجو و C ماتریس ضرایب موجکی میباشد که به ترتیب براساس روابط - 2 - و - 4 - به دست میآیند.[2]
درروابط بالا Ω و مقدار کاهش و تغییرات دامنهی موجک با زمان را تعیین میکند که میتوان آنها را نظیر نسبت میرایی و فرکانس ارتعاش طبیعی یک نوسانگر یک درجه آزادی منظور نمود. مقادیر آنها به ترتیب برابر π و 0/05 در نظر گرفته شده است.[2] در رابطه - 1 - ، D - a,t - تابع جزئیات نامیده میشود. به طوری که هر چه تعداد این توابع بیشتر باشد، دقت بیان تابع اصلی افزایش مییابد .[8] تابع جزئیات به صورت زیر تعریف میگردد:[2]
با محاسبه توابع جزئیات برای شتابنگاشت موردنظر، کار تولید شتابنگاشت به راحتی امکانپذیر میشود. برای این منظور، به جای پارامترهای پیوستهی a و b که به ترتیب برای مقیاس کردن و انتقال تابع موجک بکار میروند، از مقادیر مجزای aj و bj به صورت زیر استفاده میشود6] و.[7f j معرف فرکانسهای غالب بوده و براساس سوآرز و منتجو[2] از 0/1 تا 50Hz در مقیاس لگاریتمی و با 100 گام تغییر میکند.روش CWT منجر به تولید شتابنگاشتهایی میشود که انطباق خوبی با طیف طرح دارد. با وجود این، زمان اجرای این الگوریتم به خصوص زمانی که تعداد نقاط یک شتاب نگاشت زیاد میباشد، نسبتاً طولانی است.
برای بهبود زمان پردازش روش CWT، الگوریتم جدیدی با اندکی تغییر پیشنهاد شد که برای محاسبهی ضرایب موجکی و توابع جزئیات از تبدیل فوریهی سریع استفاده میکند.[7] با توجه به رابطهی - 1 - ، CWT برای یک مقیاس ثابت a کانولوشن سیگنال - X g - t با تابع موجک مقیاس شده با a میشود و ماتریس ضرایب موجکی - - C - a,b - ، با تغییر مقادیر a و تکرار عملکرد کانولوشن تولید میگردد. در روش CWT اصلاح شده، پیادهسازی این کانولوشنها در حوزهی زمان میباشد. طبق قضیهی کانولوشن برای دوتابعf و g در حوزهی زمان، کانولوشن میتواند با استفاده از رابطهی زیر در حوزهی فرکانس به صورت زیر محاسبه گردد:[7]
که نشانگر کانولوشن، • نشانگر ضرب نقطه به نقطه، F و FFT تبدیل فوریهی سریع وF -1 و IFFT معکوس تبدیل فوریه سریع میباشد.در سیگنالهای گسسته مانند شتابنگاشتهای زلزله، برای تبدیلات بین حوزهی زمان و فرکانس از تبدیل فوریهی گسسته - - DFT استفادهمیشود. در صورتی که DFT با استفاده از تبدیل فوریهی سریع به دست آید آنگاه، در روش اصلاح شدهی جدید، مقدار ضرایب موجکی از رابطهی زیر به دست میآید:[7]
در رابطهی فوق، cp برداری است که برای استخراجنمودن قسمت میانی کانولوشن مورد استفاده قرار میگیرد و مقدار آن از - N t / 2 - - 1 تا - - Nt / 2 - -1 - +Nt ، با گامهای واحد تغییر میکند. برای انجام ضرب نقطه به نقطه، باید طول FFT برای رکورد زلزله و تابع موجک یکسان باشد. لذا باید تعداد نقاط تابع موجک و رکورد زلزله، طول کانولوشن - 2N t - 1 - ، به صورت نزدیکترین توان دو، تنظیم شود. تابع جزئیات، با درنظر گرفتن معادلهی - 5 - و استفاده از کانولوشن FFT بین ضرایب موجکی برای یک مقیاس ثابت و تابع موجک مقیاس شده با همان مقیاس، از رابطهی زیرمحاسبه میگردد:[7]
کانولوشن در حوزهی فرکانسی میتواند به طور قابل ملاحظهای سریعتر از دخالت دادن مستقیم دو سیگنال در حوزهی زمان باشد. هنگامی که زمان زمان اجرای کانولوشن در حوزهی زمانی دو دنباله، - O - N 2 است، زمان اجرای کانولوشن در حوزهی فرکانسی با استفاده از الگوریتم FFT، O - N - یا - O - logN میباشد. با درنظر گرفتن طول مشخص سیگنالها و تعداد تکرارهای کانولوشن - به ازای هر - a، این روش منجر به کاهش چشمگیر محاسبات میشود.>7@با در دست داشتن ماتریس تابع جزئیات، شتابنگاشت جدید با جاگذاری تابع جزئیات در رابطهی - 1 - تولید میشود:[2]
در گام بعد طیف پاسخ شتابنگاشت جدید در دورهی تناوبهای T j =1 / f j محاسبه شده و نسبت طیف هدف به این طیف در پریودهای مختلف به صورت زیر به دست میآید:[2]
