مقاله حذف حلقه از منحنی های مدل تراوش بحرانی

بخشی از مقاله

چکیده

در این مقاله ما مدل تراوش بحرانی در دو بعد را در نظر گرفتیم و سپس حلقه های موجود در منحنی های تصادفی تراوش بحرانی را بر حسب ترتیب زمانی حذف کردیم. منحنی های بدست آمده منحنی های ساده تصادفی - که خودشان را قطع نمی کنند - هستند بر اساس نتایج عددی بدست آمده طول شیمایی این منحنی ها به صورت L1.33 با سایز شبکه تغییر می کند این نتیجه به این معناست که منحنی های بدست آمده تقارن همدیس دارند

مقدمه

مدل تراوش یکی از بنیادی ترین مدل مکانیک آماری محسوب می شود این مدل که به دلیل سادگی در زمینه های مختلفی مورد استفاده قرار گرفته است ] و .[ این مدل در فیزیک می تواند به توصیف رسانندگی و پخش در محیط های بی نظم مرتبط شود. برای توصیف این مدل، شبکه ای مربعی را فرض کنید و تمام خانه های آن را با احتمال p سفید و با احتمال 1 p سیاه کنید. این مدل به نام تراوش سایتی مشهور است. مشاهده پذیرهای زیادی برای این مدل تعریف می شود. مهم ترین آن احتمال تراوش و یا گسترده شدن یک خوشه - به عنوان مثال خوشه ای با رنگ سفید - از یک سمت مرز تا سمت دیگر است - یعنی خوشه ای در حدود ابعاد شبکه داشته باشیم - . به ازای مقدار خاصی از p که آن را با pc نشان می دهیم این احتمال ناصفر می شود. به عبارتی به ازای p pc این احتمال صفر و به ازای p pc ناصفر می شود. این مقدار بحرانی برای تراوش سایتی بر روی شبکه ی مربعی pc 0.59 است.

یک خوشه بحرانی از یک یا چند خوشه نسبتا بزرگ تشکیل شده که به هم متصل شده اند و علاوه بر این تعداد زیادی خوشه های کوچک معلق1 که فقط یک نقطه اشتراک با خوشه بحرانی دارند. مرز در برگیرنده سایت های خوشه بحرانی یک منحنی تصادفی محسوب می شود که دارای بعد فرکتالی 1/75 است. همچنین ثابت شده است که مرز در برگیرنده این خوشه های بحرانی خود یک منحنی تصادفی با بعد فرکتالی 1/33 است که در کلاس جهان شمولی مدل ولگشت خود-پرهیز - SAW - قرار دارد .[ ] حرکت یک ماکرومولکول یا پلیمر در یک محیط متخلخل به لحاظ تئوری و تجربی از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولا پلیمرها را در تقریب مناسب می توان با مدل SAW بیان نمود بنابراین مطالعه پلیمرها در یک محیط متخلخل به مطالعه رفتار آماری یک مدل SAW در یک شبکه متخلخل یا تراوش مرتبط خواهد بود. با در نظر گرفتن اینکه سایز پلیمرها بزرگ می باشد بنابراین امکان ورود آنها به یک خوشه معلق کوچک وجود ندارد بنابراین در حد ترمودینامیک می توان از اثر تمام خوشه های معلق صرف نظر نمود.

حذف خوشه های معلق از خوشه بینهایت مدل تراوش را می توان با حذف حلقه از منحنی های تصادفی در برگیرنده خوشه بینهایت انجام داد. حذف حلقه یا - خوشه های معلق - باعث خواهد شد که فضای قابل دسترس یک پلیمر را به درستی در محاسبات لحاظ کنیم و چون این امر باعث کوچکتر شدن سایز موثر خوشه بینهایت مدل تراوش می شود زمان شبیه سازی ها را کاهش می دهد. علاوه بر این منحنی های مدل تراوش معمولا منحنی هایی هستند که خود را بی نهایت بار لمس می کنند و حذف حلقه باعث خواهد شد تا این منحنی ها به منحنی های تصادفی ساده ای تبدیل شوند - که خود را لمس نمی کنند - . مدل تراوش در نقطه بحرانی دارای تقارن همدیس است [  ]

وموضوع از لحاظ کاربرد نگرش جدیدی که اخیرا بر مبنای محاسبات هندسی شکل گرفته است از اهیمت برخوردار است. در نگرش جدید، ، که در سال 1999 توسط شرام پایه گذاری شد[ ]، جنبه های هندسی تقارن همدیس نقش پر رنگ تری نسبت به ساختار جبری آن بازی می کنند. این ابزار هم اکنون به تحول شرام-لونر - SLE -   معروف است. از دیدگاه ریاضی، S L E خانواده ای تک-پارامتری از منحنی های تصادفی ساده در صفحه مختلط هستند که دو خاصیت مهم تقارن همدیس و خاصیت مارکوف بودن را دارا می باشند. در سیستم های دو بعدی، خطوط جداکننده ی خوشه های بحرانی، منحنی های تصادفی ای را به وجود می آورند که اعتقاد بر این است که با نظریه ی تحول شرام- لونر قابل توصیف هستند چرا که شرایط تقارن همدیس و مارکوف بودن

را برای آنها انتظار داریم .در حقیقت، تحولِ شرام-لونر مسائل مربوط به سیستم های بحرانی دو بعدی را به مسائل حرکت براونی یک بعدی تقلیل داده و ضریب پخش  مشخص کننده کلاس های جهانشمولی در رفتار بحرانی سیستم ها می باشد. این نظریه قادر است منحنی های تصادفی مقیاس-ناوردا که در سیستم های مختلف بحرانی دوبعدی وجود دارند را در کلاس های مختلف ضریب پخش  قرار دهد. از جمله قدرت  SLE این است که سیستم های پیچیده های مثل تلاطم ، شیشه های اسپینی ، سطوح کاتورهای گاوسی و ... را میتوان با استفاده از این نظریه به یک مدل آماری بحرانی شناخته شده ، مرتبط کرد در این مقاله ما قصد داریم تا با حذف حلقه های مدل تراوش منحنی های تصادفی ساده ای - که خود را لمس نکند - تولید کنیم. مطالعات مت نشان می دهد که این منحنی ها مقیاس-ناوردا هستند و بعد فرکتالی 1/33 را دارا می باشند. همچنین این منحنی ها تست های اولیه جهت داشتن تقارن همدیس را نیز برآورده می کنند.

شبیه سازی:

در گام نخست ما مدل تراوش را به کمک الگوریتم بیان شده در [6] تولید می کنیم سپس خوشه بزرگ را که در ابعاد شبکه است انتخاب می کنیم و مرز آن را به کمک روش بیان شده در [7]، بدست می آوریم. مرز بدست آمده یک منحنی تصادفی است که به لحاظ ریاضی بی نهایت دفعه خود را لمس می کند. شکل 1 نمونه ای از خوشه بحرانی را بر روی شبکه با سایز 2048 نمایش می دهد. جهت داشتن منحنی تصادفی منحنی بدست آمده را به روش استاندارد پذیرفته شده برای مدل حلقه های حذف شده از مدل تصادفی حلقه های آن را حذف می کنیم. شکل 2 نمونه ای از حذف حلقه ها بر روی شبکه کوچکتر - جهت وضوح تصویر - نشان می دهد. پس از حذف حلقه ها از منحنی تراوش بحرانی، منحنی های تصادفی به وجود خواهد آمد که قصد داریم بعد فرکتالی و آمار زاویه پیچش آن به ما کمک می کند که در مورد تقارن های آن اطلاع بیشتر بدست آوریم

بعد فرکتالی

زاویه پیچش:

به منظور مطالعه زاویه پیچش چندین روش برای تعریف وجود دارد در این مقاله ما تعریف ارائه شده در [9] را به کار بردیم، اگر منحنی بدست آمده را به صورت گام های متوالی تصادفی در نظر بگیریم که خود را قطع نکند ما زاویه پیچش را چنین تعریف می کنیم: زاویه پیچش در اولین گام را برابر با صفر قرار می دهیم و سپس بقیه زاویه ها را بر حسب یک تعریف کلی بدست می آوریم.

نتایج شبیه سازی:

شکل 4 نمودار تغییرات لگاریتمی طول منحنی های بدست آمده بر حسب سایز شبکه نشان می دهد همان طور که مشاهده می شود شکل:2 نمونه ای از حذف حلقه - یا خوشه های معلق کوچک - از منحنی های در برگیرنده خوشه تراوش بحرانی - رنگ سفید - شکل:3 نمونه ای از منحنی تصادفی ساده - رنگ قرمز - بدست آمده از حذف حلقه های از منحنی های در برگیرنده خوشه تراوش بحرانی - رنگ خاکستری - رفتار طول منحنی های تصادفی، S - L - به صورت L1.33   با سایز تغییر می کند و رفتار توانی آن موید رفتار مقیاس ناوردا بودن - یا فرکتال بودن - آنها خواهد بود بعد فرکتالی d f 1.33 بدست آمده نیز با بعد فرکتالی SAW یکسان خواهد بود و این منحنی ها