بخشی از مقاله
چکیده
فرض کنید G ی pگروه متناه باشد. هر خودریخت غیر داخل G از مرتبه p که زیرگروه فراتین G را نقطه به نقطه ثابت نگه دارد، خودریخت خاص گشوتز نامیده م شود. در این مقاله همه pگروههای G از مرتبه حداکثر ۶p که فاقد خودریخت خاص گشوتز م باشند را مشخص م کنیم.
واژه های کلیدی: pگروه ، زیرگروه فراتین ، خودریخت .
١ مقدمه
فرض کنید G ی pگروه آبل متناه باشد. خودریخت غیر داخل a از G، ی خودریخت خاص گشوتز نامیده م شود، هرگاه مرتبه a برابر با p باشد و زیر فراتین G را نقطه به نقطه ثابت نگه دارد. لیب در سال ۴۶١٩ نشان داد که اگر G ی pگروه متناه از رده پوچتوان۲ باشد و ۳ p _، آنگاه G دارای خودریخت خاص گشوتز است. در حالت ۲ p =، او نشان داد که خودریخت غیر داخل از مرتبه ۲ یا ۴ وجود دارد به طوری که فراتین G را نقطه به نقطه ثابت نگه م دارد. وی با ارایه مثال نشان داد که ۲‐گروه از رده پوچتوان ۲ و مرتبه ۸۲۱ موجود است، به طوری که فاقد خودریخت خاص گشوتز است ]١.[ در مرجع]٣[، همه ۲گروه هامتناه از رده پوچتوان ۲ که فاقد خودریخت خاص گشوتز باشند مشخص شده اند. در این مقاله م خواهیم همه pگروهها ناآبل از مرتبه حداکثر ۶p، که فاقد خودریخت خاص گشوتز باشند را مشخص کنیم.هدف اصل این مقاله اثبات قضیه زیر است.قضیه ١. ١. بین همه pگروه ها از مرتبه حداکثر ۶p تنها دو گروه، در حد ی ریخت ، از مرتبه ۴۶ وجود دارند که فاقد خودریخت خاص گشوتز م باشند.
٢ اثبات نتیجه اصل
تاکنون وجود خودریخت خاص گشوتز برای کلاس های متعددی از ‐pگروهها اثبات شده است. برخ از این نتایج در تذکر زیر گردآوری شدهاند.تذکر ٢. ١. فرض کنید G ی pگروه متناه باشد، اگر G در ی از شرایط زیر صدق کند آنگاه G دارای خودریخت خاص گشوتز است.فرض کنید G ی p گروه ناآبل از مرتبه حداکثر ۶p باشد. در این صورت اگر ردهپوچتوان G را با cl - G - نشان دهیم داریم ۵ _ cl - G - _ ۲. اگر G فاقد خودریخت خاص ٢٠١گشوتز باشد، آنگاه با توجه به قسمت - ١ - از تذکر ٢. ١، م توان فرض کرد که _ cl - G - _ ۲ ۴. در صورت که ۵ p _، آنگاه G ی گروه منظم است و لذا با توجه به قسمت - ٣ - ازتذکر ٢.١، G دارای خودریخت خاص گشوتز است. بنابراین ۳;۲ .p = اکنون با توجه به قسمت - ٢ - از تذکر ٢. ١، یا G ی ۳گروه از مرتبه ۶p و رده پوچتوان ۴ است، یا آنکه G ی ۲گروه از رده پوچتوان ۲، ۳ یا ۴ است. خاص گشوتز، با توجه به قسمت حال برای مشخص کردن گروههای فاقد خودریخت - ۴ - از تذکر فوق از کد زیر در نرم افزار GAP استفاده میکنیم ]٢.[
