بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله خواص الکترونی گرافن در انرژی پایین با استفاده از تقریب تنگ-بست و نزدیک ترین همسایه - nn - بررسی شده و به نقش ساختار بلوری گرافن در پیدایش درجه آزادی کوانتومی جدیدی به نام Valley یا دره پرداخته شده است. این درجه آزادی همانند درجه آزادی اسپین منشا نسبیتی دارد و از معادله دیراک بدست می آید. یکی از کاربردهای این درجه آزادی، استفاده از آن به عنوان کیوبیت در کامپیوترهای کوانتومی با استفاده از نقاط کوانتومی گرافنی با گاف انرژی است
مقدمه
کربن عنصر منحصر به فردی در طبیعت است. قابلیت اتم های کربن برای تشکیل شبکه های پیچیده، اساس شیمی آلی و پایه ای برای وجود حیات است. کربن حتی به صورت عنصری خود خواص پیچیده و یکتایی دارد و می تواند ساختارهای بسیار متفاوتی را تشکیل دهد. از الماس و گرافیت گرفته تا نانولوله های کربنی و فولرن ها. در این میان اما شکل دو بعدی کربن -گرافن- به دلیل ویژگی های خارق العاده اش بسیار در معرض توجه قرار گرفته و در چند سال اخیر موضوع تحقیقات بسیاری بوده است.
در این مقاله قصد داریم تا با مرور خواص گرافن، درجه آزادی کوانتومی جدیدی را که بعد از کشف گرافن در سال 2004 شناخته شد معرفی کرده و ماهیت آن را بررسی کنیم. این درجه آزادی جدید که Valley یا "دره" نام دارد ناشی از ساختار بلوری خاص گرافن است. این درجه آزادی بعدها در مواد دو بعدی دیگری نیز مشاهده شد و کاربردهای فراوانی برای آن پیشنهاد شد، از جمله استفاده از آن به عنوان کیوبیت در کامپیوترهای کوانتومی. برای بررسی این درجه آزادی، ابتدا ساختار بلوری گرافن را مرور کرده و معادله پاشندگی انرژی را بدست می آوریم، سپس به بررسی نقش دره ها در خواص الکترونیکی گرافن در انرژی های پایین میپردازیم. ساختار مقاله به این صورت است:
در بخش دوم ساختار بلوری گرافن را نمایش داده و بررسی میکنیم، در بخش سوم به محاسبه نوارهای انرژی در گرافن با استفاده از روش تنگ-بست و استفاده از تقریب نزدیکترین همسایه - nn - می پردازیم، سپس معادله پاشندگی انرژی الکترون های را در گرافن محاسبه کرده و خواص الکترون ها را در انرژی پایین توصیف خواهیم کرد. در بخش چهارم درجه آزادی Valley را معرفی خواهیم کرد و وابستگی هامیلتونی موثر به این درجه آزادی را نشان می دهیم. در بخش پنجم یکی از کاربردهای این درجه آزادی را در نقاط کوانتومی گرافنی با گاف انرژی نشان خواهیم داد.
ساختار بلوری گرافن
اتم های کربن در گرافن به خاطر هیبریدیزاسیون sp2 در یک شبکه لانه زنبوری قرار گرفته اند.[1]،[2] شبکه لانه زنبوری یک شبکه براوه نیست زیرا دو نقطه همسایه با یکدیگر هم ارز نیستند. مطابق شکل 1 این شبکه از دو زیر شبکه A و B تشکیل شده که هردو دارای شبکه براوه هگزاگونال هستند، بنابراین شبکه لانه
زنبوری را میتوان به صورت یک شبکه براوه هگزاگونال با پایه دو اتمی A - و - B در نظر گرفت. فاصله بین نزدیک ترین اتم های کربن همسایه با یکدیگر 142ر0 نانومتر است که میانگین طول پیوندهای کووالانی یگانه - C-C - و دوگانه - C=C - است. شکل: 1 شبکه لانه زنبوری. بردارهای ، و اتم های کربن را به نزدیک ترین اتم همسایه که با یکدیگر فاصله ای به اندازه a = 0.142 nm دارند وصل میکنند. بردارهای a1 و a2 بردارهای پایه شبکه براوه هگزاگونال هستند.
شکل: 2 شبکه وارون شبکه براوه هگزاگونال. بردار های a1* و a2* بردارهای پایه هستند. ناحیه سایه دار نمایانگر منطقه اول بریلوئن است که مرکز آن با و گوشه های غیر هم ارز آن با K - مربع های سیاه - و K' - مربع های سفید - نمایش داده شده است. قسمت ضخیم مرز منطقه اول بریلوئن شامل نقاطی است که در تعریف به حساب آمده اند، به طوری که هیچ نقطه ای دوبار شمرده نشود. بنابراین در یک تعریف درست تر منطقه اول بریلوئن شامل ناحیه سایه دار به علاوه قسمت ضخیم مرز است. سه نقطه غیر هم ارز M، M' و''M نیز به عنوان نمونه با مثلث های سفید نمایش داده شده است. از نظر فیزیکی تمام نقاط شبکه وارون نمایانگر بردارهای موج هم ارز است. منطقه اول بریلوئن - ناحیه سایه دار+قسمت ضخیم مرز شش ضلعی که در شکل 2 نشان داده شده است - نمایانگر مجموعه ای از نقاط غیر هم ارز در شبکه وارون است. برانگیختگی های با طول موج بلند در اطراف نقطه در مرکز منطقه اول بریلوئن قرار
ساختار الکترونی گرافن
هر اتم کربن چهار الکترون ظرفیت دارد که به علت هیبریدیزاسیون sp2 در گرافن، سه الکترون با نزدیک ترین اتم همسایه -در یک صفحه- تشکیل پیوند کووالانی قوی میدهند و الکترون چهارم -که در اربیتال 2pz قرار دارد- باعث تشکیل پیوند های می شود. در انرژی های پایین فقط الکترون های معین کننده خواص الکترونیکی گرافن هستند - زیرا نوار انرژی الکترون های فاصله خیلی زیادی با تراز فرمی دارد - [1]،[2] به همین دلیل برای تبیین خواص الکترونیکی گرافن صرفا به بررسی الکترون های میپردازیم. ساختار الکترونی گرافن با استفاده از تقریب تنگ-بست و نزدیکترین همسایه - nn - محاسبه شده است.[2]،[3] در گرافن بدون گاف انرژی نوارهای ظرفیت و رسانش مطابق شکل 3 در نقاط K و K' با یکدیگر تماس پیدا می کنند. در نزدیکی این نقاط انرژی الکترون به طور خطی به بردار موج - و تکانه - وابسته است و همین رفتار، گرافن را برای تحقیقات بسیار جذاب میکند زیرا این رفتار بسیار شبیه رفتار ذرات دیراک بدون جرم است.[4]،[5] به همین علت نقاط K و K' را نقاط دیراک می نامند.
برای ذرات دیراک با جرم m بین کمینه انرژی الکترون E0 و بیشینه انرژی پوزیترون -E0 گاف انرژی وجود دارد. هنگامی که انرژی الکترون E>>E0 باشد، انرژی به طور خطی به بردار موج k وابسته می شود - 5 - برای ذرات دیراک بدون جرم، گاف انرژی برابر صفر است و بنابراین این رابطه خطی به ازای هر مقدار انرژی برقرار میشود. این حقیقت که حامل های بار در گرافن بجای معادله شرودینگر غیرنسبیتی، با معادله دیراک توصیف می شوند ناشی از ساختار بلوری گرافن است. جهش های کوانتومی الکترون ها بین دو زیرشبکه باعث به وجود آمدن دو نوار انرژی می شود که تلاقی آن ها در نزدیکی لبه های منطقه بریلوئن باعث به وجود آمدن این شکل مخروطی - یا به طور دقیق تر، دره مانند - در طیف انرژی الکترون می شود. در نتیجه شبه ذرات در گرافن رابطه پاشندگی
انرژی خطی را از خود نشان می دهند، درست مانند یک ذره نسبیتی بدون جرم - همانند فوتون - با این تفاوت که در اینجا سرعت فرمی - - نقش سرعت نور را بازی می کند.[6]
