بخشی از مقاله
چکیده:
در این مقاله روشی برای یافتن ترک توسط آنالیز ارتعاشی و روش بهینهسازی زنبور عسل معرفی میشود. تیر به کمک روش کوادراتور دیفرانسیلی مدل شده، محل و عمق ترک با استفاده از الگوریتم بهینهسازی زنبور عسل تعیین میگردند. ترک، که بصورت باز در نظر گرفته شده است، با فنر پیچشی مدل میگردد. در این پژوهش ترک با عمق محدود مدل شده است. وجود فنر پیچشی، تیر ترکدار را به دو قسمت تقسیم میکند. پس از تعیین شرایط مرزی و سازگاری، معادلات دیفرانسیل حرکت آنها به کمک روش کوادراتور دیفرانسیلی به معادلات جبری تبدیل شده که با حل مسئله مقدار ویژه حاصل، فرکانسهای طبیعی تیر ترکدار روی بستر الاستیک محاسبه میگردد. سپس محل ترک و عمق آن به کمک الگوریتم زنبور عسل تعیین میگردد. در تشخیص ترک برای تیرها از تئوری تیر نازک استفاده شده است. جهت بررسی الگوریتم ارائه شده، تحلیل المان محدود تیر ترکدار یک سرگیردار نازک، که ترکهایی با محلها و عمقهای متفاوت در آنها ایجاد شده، انجام گرفته است. نتایج بدست آمده نشان میدهد که الگوریتم ارائه شده محل و عمق ترک را با درصد دقت مناسبی پیشبینی میکند.
-1مقدمه:
پیشرفت و ارتقای صنایع مختلف نیازمند تولید قطعات، ماشینآلات و تجهیزات مناسب میباشد . یکی از اهدافی که همواره صنایع مرتبط با ساخت و تولید به دنبال آن بودهاند، اطمینان از سلامت و کیفیت محصولات تولید شده میباشد .[1] وجود عیوب مختلف در برخی قطعات منجر به شکست فاجعه بار کل سازه خواهد شد و پیامد آن پدید آمدن زیانهای اقتصادی و جانی فراوانی خواهد گشت. ترک یکی از عمده-ترین عیوبی است که در قسمتهای مختلف یک سازه بوجود میآید. از آنجائیکه شکست نهایی در قطعات و سازهها اغلب بوسیله شروع و رشد ترک در نواحی مستعد سازه اتفاق میافتد لذا بررسی و تحقیق در زمینه چنین عیوبی سودمند خواهد بود .[2] نیاز روزافزون به تشخیص عیوب در تمامی قسمتهای یک سازه پیچیده سبب گشته محققان به دنبال روشهایی که در آنها تغییرات مربوط به مشخصات کلی سازه مورد بررسی قرار میگیرند، باشند.
پرکاربردترین این روشها، بازرسی بر مبنای رفتار ارتعاشی سازه میباشد. ایده اصلی این روشها، تغییرات پارامترهای مودال قبل و بعد از ایجاد آسیب در سازه میباشد. سوامیداس و همکاران [3] با استفاده از روش انرژی، صلابت خمشی تیر ترک دار را بدست آورده و با استفاده از آن در معادله دیفرانسیل تیر، فرکانس های طبیعی تیر ترک دار برای حالتهای مختلف محل و عمق ترک را بدست آوردند. سپس با حل معکوس مسئله به جستجوی محل و اندازهی ترک پرداختند. کیان و همکاران [4] ماتریس سختی یک المان دارای ترک را از طریق انتگرالگیری از ضرایب شدت تنش بدست آوردند. آنها مدل اجزا محدود تیر ترکدار را استخراج نموده و برای تیر یک سر گیردار ترکدار، فرکانسهای طبیعی را برای مکانهای متفاوت ترک محاسبه نمودند. نارکیس و همکاران [5] ارتعاشات محوری و عرضی تیر ترکدار با شرایط تکیهگاهی ساده را بررسی نمودند.
آنها با مدلسازی ترک با فنر پیچشی، معادلاتی جبری را بدست آوردند که برحسب فرکانسهای طبیعی و محل و اندازهی ترک بود. سپس با حل معکوس مسئله به پیشبینی محل و اندازهی ترک پرداختند. دمس و مروز [6] با استفاده از اختلاف فرکانس طبیعی سازه سالم و آسیب دیده به کمک رابطه رایلی تابع هدفی به نام بردار کاهشی تعریف نموده و با حل مسئله بهینه-سازی مقید به جستجوی آسیب پرداختند. رابطه بین سختی و فرکانس طبیعی به عنوان قید مسئله تعریف میشود. چن و چانگ [7] به منظور تعیین محل ترک در تیر تیموشنکو، تبدیل موجک پیوسته را بر روی شکل مودهای تیر اعمال نمودند. آنها با داشتن محل ترک و اندازهگیری فرکانسهای طبیعی تیر ترکدار و جایگذاری آنها در معادله مشخصه، عمق ترک را محاسبه نمودند. در این پژوهش به منظور محاسبه شکل مودهای ارتعاشی از روش تحلیلی استفاده شد.
همچنین ترک به کمک فنر چرخشی مدلسازی شد. نارکیس و همکاران [8] ارتعاشات محوری و عرضی تیر ترکدار با شرایط تکیهگاهی ساده را بررسی نمودند . آنها با مدلسازی ترک با فنر پیچشی، معادلاتی جبری را بدست آوردند که برحسب فرکانسهای طبیعی و محل و اندازهی ترک بود. سپس با حل معکوس مسئله به پیشبینی محل و اندازهی ترک پرداختند. در پژوهش حاضر با استفاده از روش ارائه شده توسط وکیلی باغمیشه [9] ترک را در تیر مدل کرده و سپس با استفاده از روش کوادراتور دیفرانسیلی به محاسبه فرکانسهای طبیعی تیر ترکدار پرداخته میشود. سپس، با استفاده از فرکانسهای طبیعی تیر ترکدار توسط روش اجزا محدود و تعریف تابع هدف برپایهی مجموع مجذورات اختلافهای بین فرکانسهای روش اجزا محدود و روش کوادراتور دیفرانسیلی، محل و عمق ترک با استفاده از روش الگوریتم بهینهسازی زنبور عسل محاسبه خواهند گشت.
-2 تئوری
1-2 روش کوادراتور دیفرانسیلی
ابداع روش کوادراتور دیفرانسیلی - DQ - بر اساس مشتقگیری گوس برای محاسبه مشتق یک تابع بر اساس مقدار آن در تعداد محدودی از نقاط دامنه انجام گرفته است. این روش تقریبی برای بیان مشتق یک تابع در نقطهای واقع بر دامنه آن، بصورت ترکیب وزنی از مقادیر تابع در نقاط درون دامنه آن میباشد. این تعریف اولین بار توسط بلمن [10] بیان شد. رابطه زیر نمایش ریاضی تعریف ارائه شده توسط بلمن برای بسط DQ میباشد.در رابطه مذکور N تعداد نقاط دقت، xi مختصات نقطه دقت iام از دامنه تابع و ضرایب وزنی مورد نیاز جهت محاسبه مشتق اول تابع در نقطه iام میباشند.
2-2 مدلسازی ترک
از آنجا که ترک ایجاد شده در تیر، باعث تغییر سختی تیر در محل ترک میشود، سادهترین روش برای مدل کردن ترک در تیر استفاده از مدل فنر پیچشی گسترده میباشد. بنابراین، برای ترک با طول تیر به دو قسمت تقسیم شده و قسمتهای ترکدار توسط فنر پیچشی بدون جرم به هم متصل گشته و معادلات حرکت برای ارتعاشات عرضی نوشته میشوند. این معادلات به همراه معادلات مربوط به شرایط مرزی و شرایط سازگاری مقطع ترکدار، بکمک روش کوادراتور دیفرانسیلی به یک مسئله مقدار ویژه تبدیل شده، که فرکانسهای طبیعی سیستم از آن استخراج میگردند. شرایط سازگاری شامل یک ناپیوستگی در شیب و پیوستگی در جابجایی، ممان خمشی و نیروی برشی در مقطع ترکدار است.
مدل ریاضی استفاده شده جهت توصیف حرکت ورق با ترک محدود بصورت دو تابع جداگانه میباشد. این توابع W1 - x,t - و W2 - x,t - ، توصیف کنندهی جابجایی عرضی تیر در قسمتهای نشان داده شده در شکل 1 میباشند. معادله حرکت تیر ترکدار را میتوان به صورت زیر بیان نمود:در این رابطه q شماره تیر میباشد. همچنین در رابطهی فوق ∝ فرکانس بیبعد تیر میباشد که از رابطه زیر قابل محاسبه است.فرکانس طبیعی تیر بوده، همچنین kf سختی فنر میباشد. تیر بصورت یکسرگیردار در نظر گرفته شده است. شرایط مرزیگیردار تیر شامل جابجایی و شیب صفر میباشد.شرایط مرزی در وجههای آزاد نیز شامل گشتاور خمشی و نیروی برشی صفر میباشد که در روابط - 5 - و - 6 - بیان شدهاند.
