بخشی از مقاله
چکیده
درونیابی دادهها به دو روش دوخطی و"میانگینگیري" ارائه شده است. با مقایسه این دو روش دقت بیشتر روش "میانگینگیري" نسبت به روش دوخطی نشان داده شده است. دقت بالاي روش "میانگینگیري" به علاوه حجم محاسبات پائین، این روش را به یک روش توانمند براي درونیابی در مواردي که تعداد نقاط اطلاعات زیاد باشد، تبدیل میکند.
مقدمه
در موارد بسیاري، براي شبیهسازي یک سیستم معادلات، از یک شبکه - به منظور سهولت در بخشی از محاسبات - استفاده میشود.در این صورت استفاده از درونیابی معمولا ضرورت مییابد.درونیابی هنگامی استفاده میشود که مقدار یک کمیت خاص براي یک سري از نقاط که از نظر مکانی به صورت تصادفی - در حالت کلی - توزیع شدهاند، معلوم است و مقدار این کمیت براي نقاط
شبکه مورد نیاز میباشد. . در صورتی که در حالت خاص دادهها مرتب باشند میتوان از روش درونیابی پارهاي1 ویا چند جملهایهاي لاگرانژ استفاده نمود.[3] اگر دادهها به صورت تصادفی باشند، روش درونیابی نمیتواند شامل هیچ پیش فرض اولیه باشد،به عنوان نمونه براي روش چندجملهايهاي لاگرانژي با توجه به دقت مورد نظر رابطه درونیابی به صورت تابع مشخصی از یک متغییر در میآید.[1]
هنگامی که در حل یک معادله وابسته به زمان لازم است که داده-هاي بدست آمده از گام زمانی قبلی در گام جدید بررسی شوند، نیاز به درونیابی دادههاي تصادفی وجود دارد.به عنوان مثال میتوان به حل معادله ولاسوف به روش مسیرهاي مشخصه اشاره کرد. دو روش درونیابی دو خطی و" میانگینگیري" در اینجا مورد بحث قرار گرفتهاند که امکان درونیابی دادههاي تصادفی براي آنها پیش-
بینی شدهاست . پس از توضیح هر دوي این روشها و مشخص شدن مرتبه دقت هرکدام با بررسی یک مثال نشان داده شدهاست، که روش "میانگینگیري" علیرغم سادگی از دقت بهتري نسبت به دوخطی برخوردار است.به همین دلیل این روش درونیابی هنگامی که نقاط اطلاعات زیاد باشد، یک روش درونیابی با دقت بالا می- باشد.
دقت درون یابی به روش میانگین گیري یک روش مرسوم درونیابی دو بعدي روش دوخطی1 می- باشد.[2] در این روش سه نقطه نزدیک در اطراف نقطه شبکهمشخص میشود. سپس بسط تیلور تابع توزیع این سه نقطه حول نقطه شبکه نوشته میشود:
که مقدار i برابر ١و٢و٣ میباشد.ضرایب مجهولی براي این سه معادله در نظر گرفته میشود - . - ai a1 , a2 , a3این ضرایب طوري تعیین میشوند که سهم هر کدام از توابع توزیع نقاط اطلاعات در تابع توزیع نقطه شبکه مشخص شود وجملات از مرتبه اول صفر شود.به این صورت یک سیستم معادلات به صورت زیر شکل میگیرد :
که با حل دستگاه، تابع توزیع به صورت زیر محاسبه میشوددر دیاگرام سمت راست روش "میانگینگیري" نشان داده شده است. تاثیر مساوي همه نقاط فاز در سلولهاي اطزاف نقطه شبکه نشان داده شده است.دیاگرام سمت چپ نشان میدهد، در روش دوخطی دوبعدي سه نقطه نزدیک در اطراف نقطه شبکه تاثیر گدار است. روش دیگر درونیابی که روش سادهاي است ، اما نتایج خوبی در بر دارد ، روش "میانگین گیري " میباشد . در روش" میانگین گیري"، تمامی نقاط فاز اطراف یک نقطه شبکه که درون سلول-هاي همسایهاش هستند، در محاسبات وارد میشوند.. در این
روش، تابع توزیع در دو بعد به صورت زیر محاسبه میگردد:
اگر بسط تیلور براي تمامی این نقاط حول نقطه فاز نوشته شود، مشخص میشود به شرطی که مقادیرتقریباٌ برابر صفر شوند، دقت روش از مرتبه دوم است.هنگامی که دادهها به صورت تصادفی چیده شده باشند،تقارن نسبی بین مختصات دادهها در سلولهاي همسایه نقطه شبکه نسبت به مختصات نقطه شبکه وجود دارد، به همین علت جملات ∑ xi , ∑ - vx - i تقریبا بوابر صفر میشود. ضریب N این جملات را بیشتر به صفر نزدیک میکند. به صفر نزدیک شدن جملات مرتبه اول با افزایش نقاط اطلاعات در شکل 1 نشان داده شده است .هر دوي این روشهاي درونیابی براي شبیهسازي معادله ولاسوف یک بعدي - بک بعد سرعت و یک بعد مکان - به روش مسیرمشخصه قابل استفاده است.براي معادله ولاسوف دو بعدي - دو بعد سرعت ، دو بعد مکان - نیاز به روش درونیابی چهار بعدي است. میتوان از توسعه روش دوخطی براي این مورد استفاده کرد. بسط تیلور تابع توزیع چهار بعدي نقاط اطلاعات حول نقطه شبکه به صورت زیر نوشته میشود:
براي این مورد باید براي پنج نقطه اطراف نقطه شبکه بسط تیلورنوشته شود و ضریب مجهولی براي هر کدام در نظر گرفته شود. - a1, a2...a5 - در این مورد معادلات عبارتند از:
سیستم این معادلات به صورت زیر میباشد:
با حل این معادلات تابع توزیع به صورت زیر محاسبه میگردد:
واضح است که دقت این روش از مرتبه دوم میباشد.اکنون بسط روش میانگینگیري براي یک تابع چهار بعدي انجام میشود:
