بخشی از مقاله

چکیده
فرمی، پاستا و یولام با شبیه سازي یک زنجیر 32 ذره اي غیر خطی، علی رغم انتظار رفتارهاي آماري از سیستم مشاهده کردند که سیستم به حالت اولیه برمی گردد.این معما با در نظر گرفتن سیستم به صورت پیوسته وبا استفاده ازتوصیف سالیتونی حل شد. در این مقاله مساله فوق را براي شرایط اولیه مختلف شبیه سازي کرده و این برگشت را نشان داده ایم. سپس با درنظرگرفتن سیستم به صورت پیوسته و حل عددي معادله kdv تشکیل سالیتونها و برهمکنش آنهارا که نهایتا منجر به برگشت FPU می شود نشان داده ایم.

مقدمه

در سال 1955 اولین شبیه سازي عددي براي بررسی رفتارسیستمهاي غیر خطی توسط فرمی، پاستا و یولام - F.P.U - انجام شد .[1] قبلا فرمی روي پدیده هاي آماري کار کرده بود و به این نتیجه رسیده بود که:اولا براي اینکه سیستمی رفتار آماري داشته باشد کافی است کهارگودیک باشد. - درسیستم ارگودیک در زمانهاي طولانی نقطهنمایش یک دستگاه منزوي به طور دلخواه به هر نقطه معینی برروي سطح انرژي نزدیک خواهد شد. در پدیده هاي تصادفیاستفاده از فرضیات ارگودیک اجتناب نا پذیر است - ثانیا درسیستمی با تعداد درجات آزادي زیاد، هر برهمکنش غیر خطی ضعیف بین ذرات باعث می شود که سیستم رفتار ارگودیک ازخود نشان دهد.

بنابراین به نظر می رسد در سیستمی با تعداد زیادي ذره که باهم برهمکنش غیر خطی دارند، با گذشت زمان انتظار مشاهدهرفتارهاي آماري مانند رسیدن سیستم به تعادل گرمایی یا برقرارياصل همپاري انرژي داشته باشیم.[2]F.P.U به منظور شبیه سازي یک کریستال غیر خطی و بررسی اینسیستم مدلی شامل 32 ذره به جرم واحد در نظر گرفتند که با فنرهایی بدون جرم با ثابت k به هم متصل شده و ذرات مجاوردراین زنجیر با هم برهمکنش غیر خطی دارند. به این معنی که برايذره اي با جابجایی L  نیروي غیر خطی K L α L2 راداریم که جمله α L2 تصحیح غیرخطی قانون هوك براي این مساله می باشد.

.1 فرمولبندي مساله :
الف - حالت گسسته

مدل شبیه سازي شده زنجیري یک بعدي شامل N ذره به جرم واحد است که ذرات مجاور با هم برهمکنش غیر خطی دارند. این برهمکنش را با اضافه کردن اولین تصحیح غیر خطی به یک نیروي
خطی با ثابت k=1 تعریف می کنیم که هامیلتونی آن عبارت است از :[3]
 جمله درجه سوم در این هامیلتونی برهمکنش غیر خطی را نشان می دهد که α میزان قدرت این برهمکنش می باشد.معادله حرکت براي ذره i ام:

.که ui جابجایی ذره i ام نسبت به مکان تعادل آن است.در غیاب نیروهاي غیر خطی با نوشتن ui برحسب مدهاي بهنجار سیستم می توان نوشت :[4]                                    

اکنون هامیلتونی سیستم غیر خطی را برحسب مختصات بهنجارسیستم خطی    A k  بازنویسی می کنیم:                            

جمله اخیر در هامیلتونی بالا مشارکت قسمت غیر خطی پتانسیل در هامیلتونی است که به صورت جفت شدگی مدهاي مختلف نمایان شده است. براي حالت α ≠ 0  به علت حضور این جمله، انتظار داشتند که انرژي ذخیره شده در مد اولیه با گذشت زمان به سایر مدها منتقل شود تا نهایتا به اصل همپاري - تقسیم مساوي انرژي بین همه درجات آزادي سیستم - برسند. نتایج این محاسبات عددي براي سیستمی که در ابتدا در اولین مد بهنجار خودقرار داشت نشان داد که هر چند درآغاز سایر مدهاي سیستم برانگیخته می شوند ولی با گذشت زمان بر خلاف پیشبینی هاي مکانیک آماري در T1 - t=157 T1 دوره تناوب مداولیه - تقریبا همه انرژي به مد اولیه برمی گردد.این نتیجه جالب، معماي FPU بود و نشان می داد که حضورنیروهاي غیر خطی در سیستم، لزوما منجر به رسیدن سیستم به اصل همپاري و نتایج آماري نمی شود. سیستمهاي غیرخطی ترα - هاي بزرگتر - در زمان کوتاهتري به حالت اولیه برمی گشتند.

ب - حالت پیوسته

براي بررسی این معماي جالب کوششهاي مختلفی صورت گرفت.در سال 1965  زابوسکی و کروسکال [5]  براي حل این معمامحاسبات کامپیوتري مشابهی انجام دادند. در نظر گرفتن زنجیري پیوسته از ذرات، نتایج بدست آمده برگشت FPU را به خوبی توسط مدل سالیتونی توصیف می کرد.در این شبیه سازي سیستم را به صورت یک ریسمان غیر خطیپیوسته در نظر گرفتند و دریافتند که براي دامنه هاي کوچک نوسانات ریسمان FPU پیوسته به خوبی توسط معادله kdv توصیف می شود. ut  uu x  δ 2 u xxx  0معادله kdv دسته از امواج غیر خطی با دامنه هاي کوچک را در محیط هایی با پراکندگی ضعیف، توصیف می کند.در این محاسبات به جاي بررسی مد هاي بهنجار، جابجایی ها درفضاي حقیقی در نظر گرفته شد و نشان دادند که با گذشت زماندر این ریسمان سالیتونها تشکیل می شوند. این سالیتونها جوابهاي جایگزیده معادله kdv بودند که با دامنه ها و سرعت هاي متفاوت - در این سالیتونها سرعت با دامنه متناسب است - حرکت می کردند و با هم برخورد می کردند بدون آنکه تغییري در شکل یا سرعتآنها ایجاد شود. نتیجه این برهمکنشها برگشت FPU است.

.2 برگشت FPU و ارتباط آن با شرایط اولیه:

در این مقاله با استفاده از نرم افزار MATLAB و شبیه سازيFPU گسسته نشان داده ایم که اگر در ابتدا سیستم در هریک از مدهاي بهنجار خود قرار گرفته باشد، دوباره به حالت اولیه بر می گردد و این برگشت تناوبی است.با در نظر گرفتن روابط زیر به عنوان شرایط اولیه سیستم زمانیکهدر ابتدا در مد k ام قرار گرفته است، زمانهاي برگشت را محاسبه کرده ایم. براي k=1 به ازايα  0.25, a 1 محاسبات ما برگشت را در t=161.5 T1 نشان می دهد که در توافق خوبی با نتایج FPUاست - شکل . - 1

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید