بخشی از مقاله
چکیده
عوامل موثر بر رفتار غیرخطی سازه ها شامل غیرخطی های هندسی و مصالح می باشند. تحلیل غیرخطی سازه های فضایی نهاتاًی منجر به حل یک دستگاه پیچیده ی معادلات غیرخطی می گردد. حل این دستگاه غیر خطی عامل اصلی در پرهزینه شدن تحلیل غیر خطی این سازه ها می باشد. در سالیان اخیر محققان مختلف روش های گوناگونی برای حل سریعتر این دستگاه معادلات ارائه داده اند.
در این مقاله سعی شده است تا روش حل معادلات غیرخطی بر پایه ی تئوری ریاضیاتی M5 به عنوان جایگزینی برای روش نیوتن -رافسون در تحلیل غیرخطی سازه های فولادی به کار گرفته شود. روش M5، روش حل دستگاه معادلات غیرخطی با مرتبه همگرایی 5 می باشد. مرتبه همگرایی بالای روش مذکور و کاهش معکوس سازی های ماتریس سختی که یکی از دشوارترین مراحل آنالیز بحساب می آید، موجب کاهش زمان محاسبات و تعدادگامهای مورد نیاز جهت دستیابی به پاسخ می گردد. نتایج حاصل از مطالعات عددی تایید کننده ی ارتقاء عملکرد روش تحلیل نوین غیرخطی برپایه تئوری M5 نسبت به روش شناخته شده نیوتن-رافسون می باشد.
-1 مقدمه
امروزه روشهای تحلیل غیرخطی سازه ها که در آنها اثرات غیرخطی هندسی و مصالح دیده شده است، مورد توجه مهندسین و محققین قرار گرفته اند. درچنین تحلیلی برخلاف تحلیل های خطی، ماتریس سختی در طول زمان بارگذاری - تکرارهای همگرایی و نموهای بار - ثابت باقی نمی ماند. محققین دریافتند، با توجه به اینکه آنالیز غیرخطی نهاتاًی منجر به حل دستگاه معادلات غیرخطی می گردد، جهت محاسبه ی پاسخهای تغییر مکانی سازه نیازمند یک الگوریتم توانا در زمینه ی حل دستگاه معادلات غیرخطی می باشیم.
روش نیوتن-رافسون که با استفاده از گرادیان تابع و بصورت تکرار شونده اقدام به حل چنین دستگاه معادلاتی می کند، توسط کاسیمالی و همکارانش برای تحلیل غیرخطی خرپاها مورد استفاده قرار گرفت.[1] بعدها روش نیوتن-رافسون اصلاح شده که در آن از مشتق تابع به ازای نقطه ی حدس اولیه در تمام گامهای الگوریتم استفاده می گردید نیز در تحلیل غیرخطی خرپا استفاده شد. نیوتن-رافسون اصلاح شده، گرچه تعداد گامهای بیشتری جهت همگرایی حل دستگاه معادلات غیرخطی نیاز داشت اما با توجه به حذف عمل پرهزینه و زمان بر معکوس سازی ماتریس سختی نهاتاًی کارایی بیشتری نسبت به روش نیوتن-رافسون در حل دستگاه معادلات غیرخطی از خود نشان می داد.
سپس ریکس روش طول قوس را ارائه نمود [2] و کریسفیلد این روش را با بروز رسانی قیود ارتقاء داد .[3] بعد ها برای مطالعه ی نقاط فروجهش در خرپاها بلینی مدل ریاضیاتی ساده ای را ارائه کرد.[4] راگون و همکارانش سه الگوریتم متفاوت را مطالعه کردند و نتایج ناشی از آنها را با هم مقاسیه نمودند.[5] اریکسون چندین روش برای عبور از نقاط حدی ارائه کرد که در آنها اثرات غیرخطی هندسی در نظر گرفته شده بود.
[6] پاپادراکاگیس و گانتس چندین روش برای کوتاه کردن زمان اجرای الگوریتم نیوتن-رافسون ارائه کردند.[7] گرسیکو و همکاران یک فرمول بندی غیرخطی برای آنالیز خرپاهای فضایی معرفی نمودند که در آن بجای جابجایی های گرهی از مفهوم موقعیت گرهی استفاده شده بود.[8] تای و کیم آنالیز غیرخطی خرپاها را تحت غیرخطی های هندسی و مصالح به انجام رساندند.[9] صفاری و منصوری یک روش تحلیل غیرخطی ارائه نمودند که سرعت همگرایی را بالا می برد. آنها از تئوری دو نقطه ای برای کاهش زمان همگرایی استفاده کرده بودند.
[10] آنها سپس روش سه نقطه ای را در ادامه روش دو نقطه ای بسط دادند.[11] کادو و همکاران روش های تسریع کننده همگرایی که به عنوان روشهای اصلاح شده ی تخمین چندجمله ای حداقل و تخمین نموی شناخته می شوند را ارائه کردند.[12] سپس صفاری و همکاران روش گرادیان مزدوج را در حل معادلات غیرخطی جایگزین روش نیوتن-رافسون کردند و کارایی بهتری از حل دستگاه معادلات غیرخطی بدست آوردند.
روش گرادیان مزدوج یک روش تکراری مناسب و محبوب برای یافتن پاسخ دستگاه معادلات خطی با حذف عملیات وارون سازی ماتریس سختی است که بایستی ماتریس ضرائب در آن ماتریس مربعی متقارن و دارای دترمینان مثبت باشد. دربعضی حالات تحلیل غیرخطی، ماتریس ضرائب تغییرشکلهای محاسبه شده متقارن نیست بنابراین آنها روش دیگری تحت عنوان روش گرادیانی پیش شرط دار را ارائه کردند [13] که توانایی یافتن پاسخ دستگاه معادلات غیرخطی با ماتریس ضرائب نامتقارن و دارای دترمینان منفی را داراست. در این مقاله با استفاده از تکنیک محاسباتی [14- 17] M5، آنالیز استاتیکی غیر خطی ارائه شده است که ضمن همگرایی سریعتر در رسیدن به پاسخ، از تکرار معکوس سازی ماتریس سختی نیز جلوگیری می نماید. نتایج حاصل از حل مثالهای عددی بیانگر کارایی و سرعت بالای روش ارائه شده در تحلیل غیرخطی خرپاهای فضایی می باشد.
-2 تحلیل غیرخطی خرپا
در این مقاله تحلیل غیر خطی خرپاهای فضایی با مقاطع فولادی به عنوان یکی از دسته های پر استفاده ی سازه ها مورد بررسی قرار می گیرند. به جهت دریافت صحیح از روش تحلیل غیرخطی خرپا روند انجام این تحلیل و همچنین محاسبه ی ماتریس سختی یک المان خرپایی غیرخطی رابطه سازی می گردد. در شکل شماره 1 یک المان ساده ی خرپایی سه بعدی در حالت اولیه ی پیش از بارگذاری و همچنین درحالت تغییر شکل یافته ی پس از بارگذاری ارائه گردیده است.
