بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش در ابتدا معادله دیفرانسیل حاکم بر تیری که بر بستر ویسکوالاستیک غیرخطی قرار دارد بدست آمده است. در این معادله اثر کشیدگی لایه میانی تیر لحاظ شده است. با استفاده از روش گالرکین مشتقات مکانی را از مشتقات زمانی جدا کرده و معادلات بر حسب مشتقات زمانی نوشته شده است. سپس از روش چند مقیاس زمانی به حل تحلیلی- تقریبی معادلات در حالات بدون لحاظ کردن رزونانس و همچنین با در نظر گرفتن رزونانس داخلی و خارجی، پرداخته شده است. پاسخ های فرکانسی در حالت پایا بدست آمده و تاثیر پارامترهای مختلف نظیر ضریب غیرخطی، ضریب میرایی و مقدار نیروی اعمالی در آن بررسی شده است.
مقدمه
در دهه های اخیر، مطالعات گسترده ای در مورد ورق ها و تیرهای غیر خطی انجام شده است. غیرخطی بودن تیر به سبب کشیدگی لایه میانی و یا تغییر شکل بزرگ آن می باشد. هچنین در بعضی مقالات بستری که تیر بر روی آن قرار دارد را بستر ویسکو الاستیک غیرخطی در نظر گرفته اند. در اینجا به ذکر چند مقاله که در این زمینه ها انجام شده است پرداخته می شود. نایفه و همکارانش [1] به بررسی پدیده رزونانس داخلی سه به یک - 1:1 - و یک به یک - 1: 1 - در ارتعاشات آزاد غیر خطی تیرهای دو سر گیردار پرداخته اند. در این پژوهش معادلات دیفرانسیل پاره ای حاکم بر حرکت با توجه به شرایط مرزی تیر ، با استفاده از روش چند مقیاس زمانی حل شده است. کو و لی [2] با استفاده از روش اغتشاشات، معادله دیفرانسیل حاکم بر یک تیر الاستیک با مقطع غیر یکنواخت را بررسی کرده اند. تیر در بستر الاستیک غیر خطی احاطه شده و بارهای محوری و جانبی به آن اعمال می شود. مامندی و کارگرنوین [1] ارتعاشات غیر خطی تیر اویلر- برنولی بر روی بستر الاستیک غیر خطی تحت تاثیر بار محوری را بررسی کرده اند. در این مقاله، تحلیل ارتعاشات بر اساس مدهای نرمال غیر خطی در وضعیت رزونانس داخلی سه به یک - 1:1 - انجام می گیرد. ارتعاشات تیر قرار گرفته بر بستر الاستیک غیر خطی، که بار غیر متحرک متناوب به آن اعمال می شود، توسط سانته و گونکاف [4] بررسی شد. آن ها تاثیر بستر الاستیک غیرخطی را بر پاسخ دینامیکی غیر خطی تیر و پایداری موضعی آن مطالعه کردند. کارگرنوین و همکاران [5] مطالعه ای بر پاسخ فرکانسی تیر نامحدود احاطه شده توسط بستر ویسکو الاستیک غیر خطی که بار محرک متناوب را تحمل می کند، انجام دادند. آن ها از روش حل مستقیم برای محاسبه دامنه فرکانس استفاده کردند. انصاری و همکاران [6] رزونانس داخلی - خارجی تیر قرار گرفته بر بستر ویسکوالاستیک غیر خطی تحت بار محرک متناوب را بررسی کردند. آن ها با استفاده از روش چند مقیاس زمانی اثر ضریب میرایی و سختی غیرخطی فنر بر پاسخ دینامیکی تیر را تحلیل کردند. کینگ و واکاکیس [7] یک تیر دو سر مفصل با هندسه غیر خطی بر روی بستر الاستیک غیر خطی و یک تیر یک سر گیردار که در آن هندسه غیرخطی برای تیر در نظر گرفته شده را مورد مطالعه قرار دادند. حسن و همکاران [8] در مقاله ای ارتعاشات غیر خطی تیر انعطاف پذیری که بر بستر ویسکو الاستیک و تحت تاثیر بار جانبی متناوب قرار داشت، بررسی کردند. آن ها ضمن معرفی روش هارمونیک بالانس باقی مانده، به مقایسه نتایج این روش با روش های عددی موجود پرداخته اند که انطباق خوبی بین نتایج وجود دارد.
در این پژوهش در ابتدا معادله دیفرانسیل حاکم بر تیری که بر بستر ویسکوالاستیک غیرخطی قرار دارد بدست آمده است. در این معادله اثر کشیدگی لایه میانی تیر لحاظ شده است. با استفاده از روش گالرکین مشتقات مکانی را از مشتقات زمانی جدا کرده و معادلات بر حسب مشتقات زمانی نوشته شده است. سپس از روش چند مقیاس زمانی به حل تحلیلی- تقریبی معادلات در حالات ذیل پرداخته شده است: الف- بدون در نظر گرفتن رزونانس ب- با در نظر گرفتن رزونانس - 1: 1 - مودهای اول و سوم همزمان با رزونانس خارجی. سپس در هریک از حالات، منحنی فرکانسی ارتعاشات غیرخطی نسبت به پارامتر کنترل و با تغییر در ضرایب مختلفی نظیر ضریب سختی غیر خطی فنر و مقدار بار اعمالی رسم و بررسی شده است.
تعریف مساله و مدل سازی در شکل - 1 - ، یک تیر به طول L با تکیه گاه های ساده مفصل که تحت بار جانبی F قرار گرفته است نشان داده شده است. تیر بر روی بستر ویسکو الاستیک غیر خطی قرار گرفته است. معادله دیفرانسیل پاره ای غیر خطی حاکم بر تیر با در نظر گرفتن اثر کشیدگی لایه میانی تیر ، عبارت است از :[11
پاسخ دینامیکی تیر در حالت بدون رزونانس برای انجام تحلیل دینامیکی ارتعاشات غیر خطی تیر از روش چند مقاس زمانی استفاده می شود. در این حالت در بسط سه جمله ای با سه مقیاس زمانی برای حل معادله - 5 - استفاده می شود. باشد. در معادله - 8 - پارامتر بی بعد به عنوان ضریبی در عبارتهای مربوط به میرایی، سختی غیر خطی و نیرو اضافه گردیده است. به عبارتی در این معادله فرض بر این است که عبارت های مذکور ضعیف هستند. روابط 6 و 7 را در رابطه 8 قرار داده، با مساوی قرار دادن ضرایب جملات هم درجه از ، معادلات دیفرانسیلی زیر بدست می آید:
