بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
رگرسیون خطی با ضرائب فازی
چکیده : در رگرسیون معمولی ، خطاهای مشاهده شده یافت أختلاف بین مقادیر مشاهده شده و برآورد شده، تصادفی فرض می شوند. چنانچه این خطاها ناشی از ابهام در ساختار معادله رگرسیونی یا سیستم مورد مطالعه باشد، آنگاه بهتر است از رگرسیون با ضرائب فازی استفاده نمود.
در این مقاله رگرسیون خطی با صبرائب فازی مثلثی مورد مطالعه قرار می گیرد و روش یافتن ضرائب فازی، بر پایه یک مساله برنامه ریزی خطی بررسی می شود. سپس بر پایه روش فوق یک سری داده مربوط به فرآیند رنگرزی در صنعت نساجی تجزیه و تحلیل می شوند .
واژههای کلیدی: رگرسیون خطی، رگرسیون فازی، عدد فازی مثلثی .
۱. مقدمه
همانطور که می دانیم مدلهای رگرسیونی برای بررسی ارتباط بین متغیرهای یک سیستم مصور استفاده قرار می گیرند. در این مدلها بر پایه مشاهدأت مربوط بقه متغیر های مستقل و وابسته، تابعی به منظور پیشبینی متغیر وابسته بنا می کنیم. متغیرهای مستقل عاملهائی هستند که احساس می شود بر مقادیر متغیر وابسته موثرند. در رگرسیون معمولی فرض می شود که اختلاف بین مقدار مشاهده شده و مقدار برآورد شده یک متغیر تصادفی است. اگر در سیستم مورد مطالعه مشاهدات مربوط به متغیرها فازی باشند یا متغیرها معمولی باشند ولی احساس شود که ارتباط بین آنها فازی است، طبیعی است که از رگرسیون فازی به جای رگرسیون معمولی استفاده کنیم.
در یک تقسیم بندی کلی، رگرسیون فازی به دو حالت زیر تقسیم می گردد :
۱- رگرسیون فازی در حالتی که ارتباط بین متغیرها فازی فرض شود و یا به عبارت دیگر ضرائب معادله رگرسیونی، فازی در نظر گرفته می شوند و متغیرها معمولی هستند.
۲- رگرسیون فازی در حالتی که متغیرها (و یا مشاهدات مربوط به متغیرها) اعداد فازی هستند .
رگرسیون فازی تاریخچه ای بیش از دو دهه دارد. در اینجا مختصراً به تعدادی از کارهای انجام شده اشاره می کنیم. رگرسیون فازی اولین بار توسط تاناکا و همکاران (۱۹۷۹) مورد بحث و بررسی قرار گرفت. روش آنان توسط بعضی از محققان از جمله پیترز (۱۹۹۴)، لوزینسکی و مت لوکا (۱۹۹۵)، تاناکا و لی (۱۹۹۹) وین و همکاران (۱۹۹۹) دنبال شد و گسترش یافت. ییگر (۱۹۸۲)، با رهیافتی متفاوت، سادهترین حالت رگرسیون فازی را مورد بحث قرار داد. وی با قرار دادن مقادیر فازی ( اطلاعات مبهم) به جای متغیرهای مستقل در مدل رگرسیونی (که با استفاده از داده های معمولی بدست آورده شده است) مقدار متغیر وابسته را پیشبینی نمود. حشمتی و کاندل (۱۹۸۵) بعضی از کاربردهای این روش رگرسیون فازی را مورد بحث و بررسی قرار دادند. تجزیه و تحلیل رگرسیون فاصله ای توسط تاناکا و لی (۱۹۹۸) تشریح شد. دیاموند (۱۹۹۸) روشی برای حداقل مربعات رگرسیون فازی ارائه و در آن از اعداد فازی مثلثی استفاده کرد. در ادامه کار وی، کاندل و همکاران (۱۹۹۵) روش او را به اعداد فازی غیر مثلثی تعمیم دادند. برای جزئیات بیشتر درباره انواع رگرسیون فازی می توان به ارقامی (۱۳۷۲) یا طاهری (۲۰۰۲) مراجعه نمود. در مقاله حاضر مدل رگرسیونی را مطالعه می کنیم که در آن ضرائب مدل، فازی فرض می شوند ولی متغیرهای مستقل و وابسته اعداد حقیقی هستند. آنگاه برپایه مجموعه ای از مشاهدات و با استفاده از یک روش برنامه ریزی خطی ضرائب بهینه مدل را به دست می آوریم. براین اساس، مدلی که در این مقاله مورد بحث قرار میگیرد، مدل زیر است :
که در آن Y متغیر وابسته یا اصطلاحاً خروجی فازی است، بردار متغیرهای مستقل یا اصطلاحاً بردار ورودی (با مقادیر حقیقی) یک مجموعه از اعداد فازی است. مسأله ای که در صدد حل آن هستیم به این صورت مطرح میشود :
m نقطه از داده های معمولی به صورت در اختیار داریم. می خواهیم پارامترهای فازی را به گونه ای تعیین کنیم که مدل (۱) بر اساسی برخی از معیارهای نیکوئی برازش، بهترین برازش را به داده های مذکور داشته باشد.
۱.۲ مجموعه ها و اعداد فازی
در این بخش، تعاریف و روابط لازم درباره مجموعه ها و اعداد فازی را به کوتاهی مرور می کنیم. برای جزئیات بیشتر و اثبات روابط می توان به طاهری (۱۳۷۸) رجوع کرد. فرض کنید X یک مجموعه مرجع دلخواه باشد. میدانیم که تابع نشانگر هر زیر مجموعه معمولی A از X، یک تابع از X به مجموعه دو عضوی است که اینگونه تعریف می شود :
حال اگر برد تابع نشانگر را از مجموعه دو عضوی {۰٫۱ } به بازه [۰٬۱] توسعه دهیم، یک تابع خواهیم داشت که به هر عضو از X، عددی را از بازه [۱ و ۰] نسبت میدهد. این تابع را تابع عضویت A مینامیم و ان را با نشان میدهیم . اکنون دیگر A یک مجموعه معمولی نیست بلکه چیزی است که آنرا یک زیر مجموعه فازی از X یا به طور خلاصه یک مجموعه فازی از X مینامیم.
اگر حداقل یک در X وجود داشته باشد که به ازای آن داشته باشیم آنگاه A را یک مجموعه فازی نرمال گوئیم. هائی که برای آنها مجموعه ای (معمولی) تشکیل می دهند که به آن برش مجموعه فازی A گوئیم. مجموعه فازی (اعداد حقیقی) محدب گوئیم هرگاه ܣܝ برشی آن محدب باشد.
عدد فازی : یک مجموعه فازی نرمال محدب از R را یک عدد فازی گوئیم هرگاه:
تکف نمائی باشد، یعنی دقیقاً یک وجود داشته باشد که . در این صورت را نمایی عدد فازی A گوئیم۔
تابعی قطعه به قطعه پیوسته از باشد.
عدد فازی LR : اگر عدد فازی A دارای تابع عضویتی به صورت زیر باشد
که در ان L و R توابعی غیر صعودی از R+ به [0.1] میباشند . 1
در این صورت A را یک عدد فازی LR می نامیم و نشان میدهیم. را (که را به ترتیب پهنای چپ و پهنای راست عدد A می نامیم. L و R، توابع مرجع نامیده می شوند. اگر L = R، آنگاه عدد فازی A را با نمایش می دھیم۔ عدد فازی مثلثی : عدد فازی را عدد فازی مثلئی گوئیم هرگاه
اگر عدد فازی مثلثی A را نامتقارن گوئیم. در این حالت A. با سه مشخصه به صورت یکتا معین شده و به صورت نمایش داده می شود و تابع عضویت آن را با توجه به سه مشخصه می توان به صورت زیر نوشت :
به گونه ای دیگر نیز می توان این تابع عضویت را نمایش داد. یعنی پهنای راست (چپ) را بر حسب پهنای چپ (راست) بیان کرد. به این صورت که در تابع عضویت بالا قرار دهیم که در آن k، که عددی حقیقی و مثبت است را ضریب کشیدگی می نامیم. بنابراین عدد فازی نامتقارن A را می توان با سه تائی, نیز توصیف کرد.
در این حالت تابع عضویت A به صورت زیر در میآید:
اگر آنگاه A را عدد مثلثی متقارن نامیده و آنرا با نمایش میدهیم. در این حالت تابع عضویت A با توجه به دو مشخصه به صورت زیر خواهد بود :
در رابطه (۳)، اگر آنگاه تابع عضویت بالا ( یعنی تابع عضویت عدد فازی متقارن) بدست می آید. بنابراین رابطه (۳) تعمیم رابطه (۴) است که هر دو حالت متقارن و نامتقارن را شامل می شود.
۲. ۲ عملگرهای جبری بر اعداد فازی
عملگرهای جبری بر اعداد فازی بر پایه اصل گسترش تعریف می شوند. برای رعایت اختصار به دو گزاره زیر که در ادامه مقاله به آنها نیاز داریم، بسنده می کنیم. برای اثبات گزاره ها و جزئیات بیشتر می توان به طاهری (۱۳۷۸) یا دابوس و پراد (۱۹۷۸) مراجعه نمود .
گزاره ۱.۲ : فرض کنید دو عدد فازی مثلثی متقارن باشند و به یک عدد حقیقی مثبت، آنگاه :
گزاره ۲. ۲ : فرض کنید دو عدد فازی مثلثی نامتقارن باشند و یک عدد حقیقی و مثبت، آنگاه:
۳ تشریح محاسبات مربوط به مدل رگرسیون
اکنون، با توجه به روابط بخش ۲. ۲، تشریح می کنیم که تابع عضویت خروجی فازی مدل (۱) یعنی Y چگونه محاسبه می شود.
۳. ۱. حالت متقارن
اگر ها اعداد فازی متقارن و ها نیز اعداد حقیقی و مثبت باشند، آنگاه بنا به رابطه (۱) و گزاره ، یعنی خروجی فازی نیز یک عدد فازی مثلثی متقارن به صورت است که در آن نماو پهنای Y است و به صورت زیر به دست می آیند :
به بیان دیگر تابع عضویت خروجی فازی Y عبارت است از:
مثالی ۱ : مدل فازی را در نظر می گیریم. اگر داشته باشیم بردار مشاهدات باشد، آنگاه Y یک عدد فازی متقارن به صورت خواهد بود که در آن :
بنابراین Y، را می توان به صورت نمایش داد. در این حالت، Y توصیفی از تقریبا 9 می باشد.
۳. ۲. حالت نامتقارن
اگر ها اعداد فازی نا متقارن و ها نیز اعداد حقیقی و مثبت باشند، آنگاه بنا به رابطه (۱) و گزاره ۲.۲، Y، یعنی خروجی فازی نیز یک عدد فازی مثلثی نا متقارن به صورت است که در آن نما و پهنای چپ و پهنای راست Y می باشند و به صورت زیر به دست می آیند :
به بیان دیگر تابع عضویت Y عبارت است از:
اگر بخواهیم تابع عضویت بالا را بر حسب ضریب کشیدگی بیان کنیم، قرار می دهیم در این صورت در رابطه (۱۰) به این صورت تغییر می یابد :
اگر در رابطه فوق قرار آنگاه و به رابطه (۷) برای حالت متقارن میرسیم زیرا در این حالت .
مثال :2 مدل فازی را در نظر می گیریم. اگر داشته باشیم آنگاه Yیک عدد فازی نامتقارن به صورت خواهد بود که در آن
بنابراین Y، یک عدد فازی نامتقارن خواهد بود که به صورت نمایش داده می شود و توصیفی از تقریبا ۵ است.
۴ یافتن ضرائب فازی مدل
هدف رگرسیون فازی با داده های غیر فازی تعیین ضرائب درمدل (۱) است به صورتی که
اولا : خروجی فازی یعنی Y برای تمامی مقادیر ز حداقل دارای درجه
