بخشی از مقاله
خلاصه
به طور کلی با سه دیدگاه متفاوت لاگرانژی، اویلری و ترکیب لاگرانژی و اویلری می توان مسائل هیدرودینامیک را تحلیل کرد. انتخاب هر کدام از سه شیوه فوق برای تحلیل مساله بستگی به ماهیت مساله و ویژگی های آن دارد. استفاده از روش های عددی موجود که عمدتا مبتنی بر تولید شبکه هستند برای تحلیل این گونه مسائل می تواند زمان بر و مشکل باشد و همچنین خطای پخش عددی که در روش های با ماهیت اویلری در اثر گسسته سازی ترم های انتقال در معادلات ناویر- استوکس به وجود می آید می تواند تاثیر منفی در دقت نتایج داشته باشد.
با توجه به این مشکلات به نظر می رسد روش های عددی کاملا لاگرانژی بدون شبکه بندی یک گزینه مناسب برای تحلیل مسائل هیدرودینامیک باشند. هدف ازاین تحقیق شبیه سازی عددی امواج ضربه ای ناشی از حرکت مرزهای جامد با استفاده از روش هیدرودینامیک ذرات هموار - I-SPH - می باشد. این حرکت میتواند بصورت حرکت مرزهای جامد در بستر، حرکت در جهت عمودی در داخل سیال و حرکت مرزهای لغزشی در زمین لغزشهای رو سطحی و زیر سطحی باشد.
در این مقاله پس از تبیین معادلات حاکم بر جریان با سطح آزاد و اصول روش لاگرانژی بدون شبکه بندی هیدرودینامیک ذرات هموار - SPH - ، مد ل سازی ترم های گرادیان و لاپلاسین، اعمال شرایط مرزی، چگونگی تشکیل دستگاه معادلات خطی بخش های مختلف موضوع مورد مطالعه تشریح خواهدشد. در انتها نیز یک روش استاندارد پیش بینی- تصحیح برای حل معادلات ناویر- استوکس ارائه خواهدگردید.
1. مقدمه
امواج سطحی از مهمترین عوامل تغییرات سطح آب می باشند.اگر سطح آب در اثر عوامل خارجی دچار آشفتگی شود، نیروهای ثقلی و کششهای سطحی برای بازگرداندن سطح آب آشفته شده به وضعیت تعادل اولیه خود وارد عمل میشوند و در نتیجه سطح آب نوسان می کند. این نوسانات باعث آشفتگی سطح آب مجاور می شود.از جمله این عوامل می توان به باد، جاذبه خورشید، ماه و دیگر ستارگان و همچنین حرکت کشتی ها در نزدیکی آب های کم عمق ساحل اشاره کرد.
از دیگر عوامل ایجاد امواج سطحی که توجه به آنها در سالهای اخیرگسترش یافته است، عوامل ضربه ای همچون فرو ریزش و گسیختگی توده ای از خاک، زمین لغزشهای روسطحی و زیر سطحی یا حتی سقوط بهمن در آب هستند که می توانند امواج سطحی تحت عنوان امواج ضربه ای ایجاد کنند.[1] امواج ضربه ای در اثر زمین لرزه ها و فوران آتشفشان های زیر دریایی در اقیانوسها به وجود می آیند. به این امواج اصطلاحا سونامی گفته می شود.
در روشهای عددی سنتی مانند روش تفاضل های محدود و روش اجزاء محدود، شبکه بندی میدان جریان از اهمیت بسزائی برخوردار است. در مسائل سه بعدی و مسائلی که هندسه آنها پیچیده است، شبکه بندی زمان زیادی را به خود صرف کرده و هزینه محاسبات را بالا می برد. علاوه بر این در صورتی که مسئله مرز متحرک داشته باشد در هرگام زمانی نیاز به شبکه بندی جدیدی است. برای رفع چنین مشکلی در سالیان اخیر تلاشهای زیادی صورت گرفته است و روشهای جدید عددی توسعه یافته اند که از آنها به عنوان روشهای بدون شبکه بندی یاد می شود.
در این روشها برای گسسته سازی معادلات حاکم احتیاج به هیچ گونه شبکه بندی نیست که این ویژگی امکان تحلیل دسته بزرگی از مسائل را به وجود می آورد.[2] علاوه بر این، دیدگاه لاگرانژی را در روشهای بدون شبکه بندی به راحتی می توان به کار برد که باعث خواهد شد که بتوان ترم های انتقال در معادلات ناویر-استوکس را مستقیما محاسبه کرده و خطای پخش عددی را کاملا حذف کرد.
این روش برای اولین بار توسط Lucy در زمینه مسائل اختر فیزیکی به کار گرفته شد. از دیگر پیشگامان این روش می توان بهMonaghan اشاره کرد که علاوه بر مسائل اختر فیزیکی برای اولین بار این روش را برای تحلیل جریانهای با سطح آزاد به کار گرفت و نتایج قابل قبولی نیز کسب کرد. با توجه به قابلیت این روش در شبیه سازی تغییرات زیاد مربوط به سطوح مشترک از جمله پخش شدگی و به هم پیوستن ذرات اکنون در محدوده وسیعی از مطالعات از جمله، مطالعه جریان چگال ، برخورد سیال با سازه های جامد و همچنین برخورد اجسام جامد با موفقیت به کار گرفته شده است. Monaghan با استفاده از روش C SPH وبا فرض تراکم پذیر بودن سیال توانست مساله شکست سد را به خوبی حل کند. Shao بر خلاف روش C SPH با اعمال قید تراکم ناپذیری سیال به معادلات ناویر-استوکس توانست همین مساله را با دقت قابل قبولی شبیه سازی کند. Mosqueria و همکارانش نیز با اصلاح روش C SPH نیز مساله مشابهی را با موفقیت حل کردند
2. معادلات حاکم
معادلات بقای جرم و بقای مومنتم که معادلات حاکم بر جریان سیالات می باشند که به ترتیب به صورت زیر بیان میشوند.
3. اصول روش هیدرودینامیک ذرات هموار - SPH -
روش SPH در واقع یک روش میانگین گیری وزنی برای برآورد کمیت یک پارامتر است بدین صورت که برای برآورد کمیت یک پارامتر در یک نقطه معین فرض می شود که نقاط مجاور، هر کدام با توجه به یک تابع درون یابی، سهمی در تخمین مقدار این پارامتر در نقطه مورد نظر دارند. محدوده اطراف یک نقطه مشخص که نقاط واقع در این محدوده در درون یابی مقدار کمیت یک پارامتر در نقطه مورد نظر دخیل هستند را ناحیه تاثیر آن نقطه میگویند و هرچه این محدوده بزرگتر باشد تعداد نقاط بیشتری در درون یابی دخالت می کنند. درشکل - 1 - منحنی تغییرات یک متغیر فرضی مانند f نسبت به متغیری مانند r نشان داده شده است. همچنین ناحیه تاثیر اطراف یک نقطه مشخص مانند r0 به تصویر کشیده شده است. با توجه به مفاهیم اساسی روش SPH مقدار کمیت f در این نقطه برابر است با:
که W یک تابع درون یابی و h طول هموار است که ناحیه تاثیر اطراف یک ذره را مشخص می کند.
با توجه به معادله - 3 - مشخص است که تعداد نقاط درون یابی برای تخمین مقدار یک کمیت برای یک نقطه مرکزی بی نهایت می باشد. در محاسبات عددی استفاده از معادله - 3 - امکان پذیر نیست و عملا تعداد محدودی نقاط درون یابی وجود دارد بنابراین با تعداد متناهی از نقاط باید معادله - 4 - را تقریب زد:
که a ذره مرکزی، b بیانگر ذرات مجاور ذره مرکزی، m جرم، ρ چگالی و Wab W - | ra r b |, h - است.
اگر در معادله - - 4 به جای f کمیت چگالی را قرار دهیم آنگاه خواهیم داشت :
شکل -1 نمودار معرفی اصول اساسی روش SPH
4. تابع درون یابی
توابع درون یابی در روش SPH نقش کلیدی دارند زیرا این توابع چگونگی تقریب زدن مقدار یک کمیت و همچنین اندازه ناحیه تحت تاثیر هر ذره را بیان می کنند. توابع درون یابی که در این روش مورد استفاده قرار میگیرند باید شرایط خاصی را ارضاء کنند که عبارتند از:[
اگر ناحیه متاثر از ذره مرکزی a را با I وخارج از این ناحیه را با O نشان دهیم:
الف- درناحیه I 0 W - r, h -
ب- درناحیه O 0 W - r, h -
ج- یک خاصیت معمول 1 W - r, h - .d
د- توابع درون یابی باید به طور یکنواخت برروی ناحیه I نزولی باشند به طوری که در مرکز حداکثر و در مرز این ناحیه مقدار صفر داشته باشند.
شرایط اول و دوم باعث می شوند که یک نقطه با تعداد محدودی از نقاط مجاور خود برهمکنش داشته باشد و این شرایط ما را قادر می سازد که تقریب کمیت یک نقطه را در یک تعریف محلی صورت دهیم. شرط سوم در واقع شرط پایداری است ولی این شرط نمی تواند پایداری فرم گسسته تقریب را تضمین کند. شرط چهارم بیان می کند که نقاط نزدیکتر به نقطه مرکزی تاثیر بیشتری در درون یابی دارند. با توجه به خصوصیات ارائه شده، تعداد زیادی توابع می توانند به عنوان توابع درون یابی استفاده شوند. با این وجود تعداد محدودی از توابع به عنوان توابع درون یابی در این روش مورد استفاده قرار گرفته اند. رایج ترین فرم توابع درون یابی به صورت توابع جند جمله ای مرتبه 2 و3 هستند. تابع درون یابی درجه 3 که توسط Monaghan پیشنهاد شده است به صورت زیر بیان می شود که r / h q و r فاصله بین ذرات است. طول هموار - - h شعاع تاثیر اطراف ذره a را تعیین می کند.
5. طول هموار
طول هموار - - h در روش SPH در واقع بیان کننده ناحیه تاثیر اطراف یک ذره مرکزی است که با ذرات واقع در این ناحیه بر هم کنش دارد به عبارت دیگر می توان گفت که ناحیه تاثیر یک ذره، دایره ای است با مرکزیت ذره مورد نظر و به شعاع . 2h مقدار طول هموار تاثیرمستقیمی بر روی کارآیی و دقت این روش دارد. اگر این طول خیلی کوچک باشد، ممکن است که تعداد کافی ذرات در ناحیه تاثیر ذره مرکزی وجود نداشته باشد که باعث کاهش دقت نتایج می شود. اگر طول هموار - - h زیاد باشد تمام جزئیات ذرات و خصوصیات محلی ممکن است ازحالت هموار خارج شوند که تاثیر منفی در نتایج خواهد داشت و در این صورت تعداد ذرات واقع در ناحیه تاثیر ذره مرکزی و حجم محاسبات افزایش خواهند یافت بنابراین باید در انتخاب این پارامتر دقت زیادی به خرج داد.
