بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
شبیه سازی عددی جریان سه بعدی سیال اطراف مکعب روی یک سطح با استفاده از روش چند شبکه ای
چکیده
روشهای چند شبکه ای ابزاری مناسب برای سرعت بخشیدن به همگرایی روشهای عددی و در نتیجه کاهش زمان محاسبات می باشند. در این تحقیق جریان سه بعدی سیال در حالت آرام اطراف یک مکعب روی یک سطح به کمک روش عددی حجم محدود مورد بررسی قرار گرفته و معادلات حاکم برای جریان پایدار و غیر قابل تراکم بر اساس الگوریتم SIMPLE بر روی شبکه جابجا شده حل گردید توزیع سرعت و فشار روی یک شبکه با تعداد نقاط ثابت بدست آمده و سپس همان مسئله به کمک روش چند شبکه ای در محدوده اعداد رینولدز مورد بررسی بر اساس ارتفاع مکعب از ۰۰۱تا ۰۰۴ حل گردید. نرخ همگرایی و همچنین دقت حل در دو روش برای شرایط مختلف جریان مقایسه شد.
روش چند شبکه ای اعمال شده در این تحقیق بر اساس الگوریتم (Full-Multigrid, Full Approximation Solution) دارای چهار مرحله شبکه بندی می باشد, بطوریکه تعداد نقاط شبکه در هر جهت هنگام انتقال به یک مرحله بالاتر (شبکه ریزتر) دو برابر خواهد شد. ریزترین شبکه استفاده شده در روش چند شبکه ای همان شبکه بکار گرفته شده برای روش تک شبکه ای می باشد. محدوده محاسباتی به نحوی انتخاب شده تا جوابها مستقل از تغییر محدوده محاسباتی باشد.
نتایج برای میدان سرعت، نواحی جریانهای برگشتی وتوزیع فشار اطراف مکعب برای حالت چند شبکه ای ارائه شده است.
مشاهده گردید که با انتخاب مناسب مراحل شبکه بندی، روش چند شبکه ای در مقایسه با روش تک شبکه ای با دقتی مشابه اما بسیار سریعتر به جواب می رسد.
واﮊه های کلیدی: جریان آرام, حجم محدود, چند شبکه ای, مکعب
١‐مقدمه
شاید به جرأت بتوان گفت که روشهای عددی که اساس آنها الگوریتم ] SIMPLE۱[ می باشد از پرکاربردترین روشهای محاسباتی برای تعیین مشخصه های میدان جریان در مسائل مختلف مهندسی می باشند. با وجود سادگی و قابلیت کاربرد این روشها در مسائلی که شامل انتقال حرارت، انتقال جرم، پارامترهای توربولانسی و ... هستند , معایبی نیز وجود دارد که از جمله مهمترین آنها می توان به کاهش نرخ همگرایی با افزایش تعداد تکرار اشاره کرد . این نقیصه که در اکثر روشهای تکراری مشاهده می شود به کمک آنالیز طیفی قابل ﹺبیان می باشد]۳،۲.[
روش تکراری فقط قادر به کاهش آندسته از مودهای فوریه می باشد که طول موج آنها کوچکتر از اندازه شبکه باشد.
روش چند شبکه ای با انجام تکرار روی شبکه های با اندازه متفاوت محدوده وسیعتری از طول موجها را در بر گرفته و باعث تسریع در روند همگرایی می شود. با انتقال مسئله از یک شبکه ریز به یک شبکه درشتتر مؤلفه های همواره خطا با طول موجهای بزرگ به مؤلفه های نوسانی با طول موج کوچک تبدیل شده و انجام تکرار باعث حذف این مؤلفه ها خواهد شد . بنابراین با حل مسئله روی هر سطح از شبکه آندسته از مؤلفه های خطا که درآن سطح نوسانی هستند حذف شده و به این ترتیب همگرایی سرعت پیدا می کند. با توجه به نحوه تصحیح متغیرها دو روش کاملاﹰ مجزا وجود دارد که عبارتنداز : ذخیره تصحیحات ( ( Correction Storage, CS که در آن مقدار تصحیح روی شبکه درشت مستقیماﹰ محاسبه شده و به شبکه ریزتر درونیابی می شود. دوم ذخیره کامل متغیرها ( ( Full Approximation Solution , FAS که در آن متغیرها به شبکه درشتتر انتقال یافته و اختلاف مقادیر به دست آمده از حل روی شبکه درشت و مقادیر اولیه ای که به شبکه درشت انتقال پیداکرده به عنوان مقدار تصحیح متغیر در نظر گرفته می شود. الگوریتم CS برای مسائل خطی و FAS برای مسائل غیرخطی مناسب می باشند]۴.[
در هریک از دو روش فوق الگوریتمهای متفاوتی برای ترتیب حل شدن مسئله روی سطوح مختلف شبکه وجود دارد. از مهمترین این الگوریتمها می توان به سیکلهای FMG , F, W, V اشاره کرد . در این پژوهش از روش FAS و سیکل FMG یا تکرار جانشینی استفاده شده و نحوه عملکرد آن در شکل ١ آورده شده که k نشان دهنده سطح شبکه می باشد.با افزایش k شبکه ریزتر و با کاهشk شبکه درشت تر می شود. جزئیات بیشتر راجع به روش FMG در بخش٤ آورده شده است .
٢‐معادلات حاکم
برای بررسی جریان سیال و توزیع فشار، تنها معادلاتی که بر جریان سیال حاکم می باشد معادلات پیوستگی و Navier-Stokes هستند. این معادلات به ترتیب قوانین بقای جرم و مومنتوم را بیان کرده وبرای حالت پایدار و با جرم مخصوص و ویسکوزیته ثابت و در مختصات کارتزین بصورت زیر نوشته می شوند:
معادلات بالا می توانند به صورت یک معادله کلی به فرم زیر نوشته شوند:
در معادله (٣) φ متغیرعمومی و Γφ بیانگر ضریب پخش مربوطه و Sφ ترم منبع می باشد . از آنجایکه مقدار ρمعلوم وثابت در نظر گرفته می شود .معادله (٣) تنها برای مؤلفه های سرعت حل شده و در این مورد Γφ و Sφ شامل گرایان فشار می باشد .
٣‐ روش عددی
روش عددی استفاده شده در این تحقیق روش حجم محدود می باشد. در این روش محدوده حل به حجم کنترل های کوچکتری تقسیم شده و با انتگرال گیری از معادله (٣) روی تک تک حجم کنترلها معادله مذکور به صورت زیر تبدیل می شود .
که در این معادله φp مقدار متغیر در حجم کنترل و φnb مقادیر متغیر در حجم کنترل های همسایه را نشان می دهد b ترم منبع وa ضریب متغیرمی باشد که از دو ترم جابجایی و پخش تشکیل شده که هریک به شرح زیر محاسبه می شود .
ترم جابجایی:
و ترم پخش:
که δنشان دهنده فاصله تا مرکز گره همسایه وAp سطح مربوطه می باشد. بسته به نوع تقریبی که بکار می رود ضریب a می تواند ترکیب مختلفی از C p و Dp باشد که بطور مثال درتقریب Power Law مقدار a بصورت زیر محاسبه میشود.
که دراین معادله Pe عدد پلکت می باشد و بصورت زیر محاسبه می شود
همانطور که ملاحظه می شود با اعمال روش حجم محدود معادلات دیفرانسیل حاکم برمسئله به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می شوند که حل این دستگاه نیازمند روشهای خاصی می باشد چرا که ضرایب و ترم های منبع به متغیرها وابسته می باشند. روش SIMPLE روشی مناسب برای حل اینگونه معادلات می باشد که با انجام تکرار روی معادلات موجود مسئله را حل می کند .
در حل عددی معادلات با روشهای تکراری که SIMPLE یکی از انواع آن می باشد نرخ همگرایی ، با انجام تکرار کاهش می یابد که با حل مسئله روی شبکه هایی با اندازه های متفاوت می توان این نقیصه را برطرف کرد. در این پژوهش نیز برای سرعت بخشیدن به همگرایی روش SIMPLE ,از این ترفند استفاده شده است .
٤‐ استفاده از روش چند شبکه ای (MG) جهت تسریع همگرایی روش SIMPLE
با انجام تکرار مؤلفه های فرکانس بالای خطا حذف شده و مؤلفه های فرکانس پایین خطا در حل مسئله باقی می مانند. اگر مسئله از یک شبکه ریز به شبکه ای درشتتر انتقال داده شود مؤلفه ای هموار خطا (فرکانس پایین) ، نوسانی شده وانجام تکرار باعث حذف آنها می شود . این ترفندی است که در روش MG ازآن استفاده می شود . در روش MG پس ازآنکه نرخ همگرایی روی یک شبکه کاهش یافت مسئله به شبکه ای درشتتر منتقل شده تا خطاهایی که انجام تکرار در شبکه ریز قادر به حذف آنها نمی باشد با انجام در شبکه درشتتر حذف شده و پس از آن مسئله مجدداﹰ به شبکه ریز انتقال می یابد.
در روش FMG نخست چند تکرار روی مسئله اصلی و در دشترترین شبکه (k=1) انجام می شود تا بدون صرف زمان محاسباتی زیادی حدس اولیه خوبی برای شبکه ریز بعدی (k=2) مهیا شود، سپس متغیرها به سطح (k=2)منتقل شده وتکرار در این سطح ادامه می یابد . با مشاهده کند شدن روند همگرایی مقادیر مانده ها برای متغیرهای مختلف در تک تک حجم کنترل ها محاسبه شده و متغیرها , ضرایب ، ترمهای منبع و مقادیر مانده ها به سطح (k=1) برونیابی می شوند. معادلاتی که در این مرحله روی سطح((k=1 حل می شوند معادلات مسئله اصلی نبوده بلکه معادلاتی جهت محاسبه تصحیحات می باشند . اگر معادله (٤) که نشانگر معادله مسئله اصلی است در سطح (k=2) درنظر گرفته شود خواهیم داشت
پس از انجام n تکرار این معادله بطور کامل ارضا نشده و باقیمانده ای برابر خواهد داشت که بصورت زیر محاسبه می شود :
حال با برونیابی پارامترهای موجود به سطح k=1 معادله تصحیح شبکه درشت بصورت زیر خواهد شد.
مقادیر زیر خط نشان دهنده مقادیر برونیابی شده از سطح k=2 می باشند . با انجام m تکرار روی معادله (١١) مقدارφ بهφ1, تبدیل شده و مقدار تصحیح بصورت
محاسبه می شود . سپس φ′ به سطح k=2 درونیابی شده و مقدار جدید بصورت زیر محاسبه می شود :
پس از تصحیح متغیرها درسطح k=2 ، تکرار روی معادله (٩) ادامه می یابد . با دستیابی به تقریب مورد نظر درسطح (k=2) متغیرها به سطح k=3 درونیابی شده و تکرار روی این سطح ادامه می یابد و همانند حالت قبل با مشاهده کندشدن همگرایی تصحیحاتی روی سطح k=3 صورت می گیرد .
این روند تا زمان رسیدن به ریزترین شبکه ادامه یافته و پس ازآن یک سیکل V شکل شروع می شود که نحوه تصحیح متغیرها در آن همانند حالت قبل می باشد. سیکل V تا همگرایی کامل مسئله در ریزترین شبکه ادامه می یابد.
٥‐نتایج
بر اساس مدل FMG برنامه عددی, برای حل معادله کلی (۳) به روش حجم محدود اطراف یک مکعب(شکل ۴) نوشته شده است. برای حصول اطمینان از صحت روش عددی، ابتدا جریان سیال در یک محفظه خالی با برنامه عددی شبیه سازی, مطالعه و نتایج حاصله با نتایج قبلی مقایسه گردید .
علت انتخاب محفظه خالی به عنوان محکی برای آزمایش برنامه ، فراوانی مطالعات انجام شده و نتایج حاصل از این مطالعات بوده است. محفظه خالی با وجود هندسه ساده، دارای الگوی جریانی می باشد که پیچیده ترین هندسه ها از خود نشان می دهند. عدد رینولدز مورد بررسی۰۰۴Re= انتخاب شد تا با نتایج پژوهشهای قبل]۶،۵[ در این عدد رینولدز برابر باشد.
شمای کلی محفطه خالی در شکل ٢ نشان داده شده است . جهت جریان آزاد در جهت مثبت محور x و عمق محفظه در جهت محور z درنظرگرفته شده است . در صفحه ABCD شرط مرزی جریان آزاد بصورت u U ∞ , v 0, w 0 و در بقیه صفحات شرط مرزی دیواره ، با عدم لغزش فرض شده است . برای حالت SG یک شبکه ٨٠×٨٠×٨٠ با تمرکز بیشتر در کنار دیواره ها و در حالت MG از یک الگوریتم چهار مرحله ای استفاده شد، بدین ترتیب که درشترین شبکه یک شبکه ١٠×١٠×١٠ بوده و شبکه های ریزتر بعدی به ترتیب ٢٠×٢٠×٢٠ ، ٤٠×٤٠×٤٠ و ٨٠×٨٠×٨٠ می باشند. محاسبات با استفاده از یک کامپیوتر P4 با سرعت 1.3 GH CPU و حافظه 1GB RAM انجام شد که جزئیات بیشتر در جدول ١ آورده شده است. برای محفظه خالی پروفیلهای عمودی و افقی سرعت در صفحه تقارن بدست آمده و با نتایج حاصل از پژوهشهای قبل در شکل۳ مقایسه
