بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله به مطالعهی پدیدهی غلظت دوقطبی در یک لولهی دوبعدی با گرفتگی متقارن محوری تحت شرایط جریان آرام و پایا پرداخته شده و مدل دیوار-آزاد برای حل معادلهی انتقال جرم انتخاب شده است. پارامترهای همودینامیکی موثر بر شروع و گسترش بیماری تصلب شریان ازجمله غلظت سطحی ماکرو مولکول-ها ، تنش برشی، نرخ فیلتراسیون دیواره و رینولدز ورودی مورد بررسی قرار گرفتهاند. طبق نتایج بدست آمده؛ وجود گرفتگی و افزایش نرخ فیلتراسیون دیواره باعث افزایش غلظت سطحی ذرات روی سطح رگ شده و افزایش سرعت جریان ورودی از مقدار آن می-کاهد.
1. مقدمه
تصلب شریان1 یک لغت یونانی است؛ آترو به معنای ناتوان کردن و سکلروسیس به معنای سفت شدگی بافت معمولا در رگهای با اندازهی بزرگ و متوسط به آرامی شروع و گسترش مییابد.
این بیماری در اثر انباشته شدن تودهای از لیپیدها، سلولهای عضلانی صاف و ملتهب، فیبرهای بافتی بههم متصل و رسوبات کلسیم در دیوارهی رگ بهوجود میآید. انسداد رگ باعث محدود کردن جریان خون در نواحی گرفتگی و در نتیجه بروز کمخونی، تضعیف دیوارهی عروق بهطور موضعی، تغییر ساختار پاییندست رگ، افزایش چسبندگی پلاکتها به دیواره، کاهش انعطافپذیری جداره و بالا رفتن فشار پمپاژ قلب برای خونرسانی خواهد شد.
در مراحل پیشرفتهتر تصلب شریان، انسداد و لخته شدن خون، باعث عدم رسیدن اکسیژن و مواد غذایی به بافت مورد تغذیهی رگ و بروز سکته میشود.
سه مشکل اساسی در مدلسازی جریان در رگهای خونی وجود دارد که عبارتند از: توصیف هندسی دقیق رگ خونی، کوپل کردن درست معادلات حاکم و انتخاب شرایط مرزی مناسب. پروسی و همکاران[3] مدلهای مورد استفاده در مدلسازی ریاضی انتقال ماکرومولکولها را به چند گروه اصلی تقسیم کردهاند؛ مدل سادهای که تا مدتها کاربرد فراوانی داشت دیوار آزاد2 بود که در آن دیوارهی رگ خونی در قالب یک شرط مرزی به معادلات حاکم اضافه میشود.
این مدل اطلاعاتی دربارهی انتقال جریان درون رگ و غلظت و تنش برشی دیواره را بدست میدهد اما میزان انتقال جرم ماکرومولکولها از آنرا شامل نمیشود. مدل واقعیتر، حفره- دیواره3 است که جابجایی4و دیفیوژن5 در حفره و دیوارهی رگ را با هم کوپل میکند. در این مدل، دیوارهی رگ خونی تک لایهی متخلخل همگن فرض میشود. واقعیترین مدل، مدل چند لایه ای است که دیوارهی رگ خونی را به چند زیر لایه تقسیم میکند: اندوتلیوم6، اینتیما7، لایه ی الاستیک داخلی8، مدیا9 و ادونتیشا.10 در شکل 1 طرحوارهای از لایههای رگ خونی آمده است
شکل :1 طرحوارهی دیوارهی رگ خونی
بیشتر بودن فشار هیدرواستاتیک در حفرهی رگ خونی نسبت به سطح خارجی آن منجر به فیلتر شدن جریان در عرض دیواره و انتقال جرم بین جریان خون و دیوارهی رگ میشود. مقدار فیلتراسیون به عواملی از جمله فشار، مقاومت اندوتلیوم و بافتهای زیرین آن ارتباط داشته و افزایش آن منجر به تشدید انتقال جرم در عرض دیوار خواهد شد. کلسترول در خون توسط LDL1 ها حمل شده و هر گونه انباشتگی این ماکرومولکول در اینتیما منجر به تصلب شریان خواهد شد.
غلظت LDL در پلاسمای خون و نرخ دریافت آن توسط بستر رگ مواردی هستند که برای حفظ سلامتی همواره بایستی کنترل شوند. انتقال جرم که درون دیوارهی رگ خونی اتفاق میافتد توسط دو مکانیزم صورت میگیرد: . 1 جابجایی ناشی از اختلاف فشار جریان انتقالی دیواره و . 2 دیفیوژن جرم ناشی از گرادیان غلظت موجود در دیواره که ناشی از وجود متابولیسم و پروتئینسازی در سلولهای بافت است.
سافمن [6] نشان داده است که وقتی یک ذره کوچک به موازات و در نزدیکی یک سطح فیلترکننده حرکت میکند، اگر در یک میدان تنش برشی یکنواخت باشد، جریان فیلتراسیون در عرض دیوار فیلترکننده، ذره را به سمت دیوار برده و در آنجا تهنشین میکند. ذراتی که نزدیک دیوار رگ هستند، یک نیروی دافعهی - لیفت - عمود بر خطوط جریان از طرف سیال، که خنثی کنندهی دراگ حاصل از فیلتراسیون است، تجربه میکنند که بهصورت رابطهی زیر بیان می-شود که S نرخ برش و R شعاع ذره است:
بنابراین، مهاجرت یک ذره که نزدیک سطح نفوذپذیر حرکت میکند، به اندازه نسبی این دو نیرو بستگی دارد. چون نیروی دافعهی سیال متناسب با توان دوم شعاع ذره است، اگر ذره به اندازه کافی کوچک باشد، یعنی تا حدی که نیروی دافعه سیال روی آن، در مقایسه با نیروی دراگ قابل صرفنظر کردن باشد، ذره به سمت سطح فیلترکننده حرکت میکند بهطوریکه غلظت ذره بر روی دیوار فیلترکننده، بیشتر از غلظت ذره در تودهی سیال خواهد شد. این پدیده به عنوان غلظت دوقطبی2 در انتقال جرم شناخته شده است.
شکل :2 لایهی اندوتلیوم دیوارهای نفوذپذیر با نرخ فیلتراسیون ثابت است×
بک و همکارانش [8] انتقال اکسیژن را در رگ دارای انسداد قلبی با شبیهسازی عددی مورد بررسی قرار دادند. آنها برای بررسی فرآیندهای جابجایی و دیفیوژن اکسیژن در حفرهی رگ و تعیین تغییرات واقعی نرخ جریان و خون و میدان سرعت در طی سیکل قلب، معادلات ناویر-استوکس ناپایا را در حفرهی رگ حل کرده از عبارت غلظت اکسیژن بیبعد شده در جریان آزاد و داخل حفره استفاده کردند.
وادا و کارینو [9] این مدل را برای مطالعهی غلظت دوقطبی LDL در سطح حفرهی رگ بهکار بردند. آنها رگ خونی را صلب و نفوذپذیر به آب در نظر گرفته و سرعت نفوذ به آب را 4×10- 5 mm/s که پیش از این برای نفوذ آب به دیوارهی رگ طبیعی بهدست آمده بود، مورد استفاده قرار دادند. در این مطالعه آنها جریان پایای خون را با یک معادلهی ادوکسیون-دیفیوژن3 که بیانگر انتقال LDL است حل کردهاند. شرط مرزی به کار گرفته شده در این کار بصورت زیر می-باشد:
غلظت ماکرومولکولها روی سطح حفرهی رگ بوده، ضریب انتقال جرم کلی در دیوارهی رگ، جهت عمود بر سطح و K ضریب جذب کلی ذرهی مورد بررسی است. این شرط مرزی بیان میکند که نفوذ ذرات به دیوارهی رگ برابر اختلاف مقادیری از ماکرومولکولها است که بهدلیل سرعت فیلتراسیون بهسمت دیواره رفته و میزانی از آنها که در اثر ادوکسیون به جریان مرکزی رگ باز میگردد
دلیل اینکه چرا تصلب شریان فقط در سرخرگها اتفاق میافتد و نه در سیاهرگها را میتوان اینطور بیان کرد که تنش برشی در رگهای خونی خیلی کمتر از سیاهرگها است. سیاهرگها نقاط چندشاخگی و اتصال زیادی دارند که جریان خون در آنجا آشفته شده و مناطق بازچرخش رخ میدهد. فشار درسیستم خونرسانی سرخرگها بسیار بالا بوده و تحت چنین شرایطی چربیها راحتتر در دیوارهی سرخرگ نشت میکنند.
از طرف دیگر دیوارهی رگهای خونی نسبت به سیاهرگها ضخیمتر بوده و چربیها بهسختی میتوانند در عرض دیوار رگ عبور کرده تا توسط سیستم لنفاوی1 به ادونتیشا دفع شوند - سیستم لنفاوی در دیوارهی رگ کار زهکشی2 را انجام داده و فقط در لایهی ادونتیشا واقع است - . در نتیجهی این موارد تجمع چربی در دیوارهی رگهای خونی رخ میدهد. بههمین دلیل در پژوهش حاضر به بررسی پدیدهی غلظت دوقطبی در لولهی مستقیم دچار گرفتگی با ویژگیهای هندسی یک سرخرگ پرداخته شده است. خون سیالی تراکم ناپذیر و نیوتنی فرض شده و از روش حجم محدود و نرمافزار Ansys CFX 14 برای حل معادلات حاکم استفاده شده است.
.2 بیان مساله
هدف بررسی میزان نفوذپذیری از دیوارهی لولهی دچار گرفتگی متقارن محوری است. لولهای استوانهای شکل با قطر و طول کلی به-ترتیب 5 و 68 و L=1.5 میلیمتر که در شکل 3 نشان داده شده است. ابعاد بر اساس مقادیر واقعی در بدن انتخاب شدهاند.[12] جریان پایای خون از سمت چپ وارد لوله میشود. جریان دوبعدی در نظر گرفته میشود.
شکل :3 هندسهی مورد بررسی[12]
.3 معادلات حاکم
قطر بزرگترین ذره - گلبول سفید - در خون 20-16 میکرومتر بوده و کوچکترین قطر رگ خونی 4-3/5 میلیمتر گزارش شده است. بنابراین در بدترین حالت قطر رگ حدود 200 برابر بزرگترین ذره بوده و معادلات مکانیک محیطهای پیوسته برقرار است.
خون سیالی تراکم ناپذیر و نیوتنی با خواص ثابت =1058 kg/m3 و =0/0035 kg/ms در نظر گرفته میشود. معادلات حاکم برای جریان آرام پایا با صرفنظر از نیروی حجمی ناشی از گرانش زمین عبارتند از بقای پیوستگی و مومنتم و غلظت که بصورت زیر بیان میشوند:
لزجت سینماتیکی، D ضریب دیفیوژن است که در این پژوهش ثابت در نظر گرفته میشود. عدد اشمیت نسبت لایه مرزی مومنتم به لایه مرزی جرمی را نشان میدهد که در این مقاله در محدودهی - 6/6- 1/6 - ×105 بررسی میشود. با تعریف بالا معادلهی 5 به فرم بیبعد زیر بازآرایی میشود:
اگرچه این معادله دیفرانسیل جزئی، سرراست بهنظر میرسد، اما حل عددی آن در حالت خطی بسیار پیچیده است. به این دلیل که وقتی ادوکسیون و دیفیوژن با هم اتفاق میافتند، دو پدیده کاملاً متفاوت را نشان میدهند. معادلات ادوکسیون-دیفیوژن، توصیف کنندهی انتقال یک کمیت اسکالر مثل گرما یا جرم در سیال هستند. ادوکسیون، نشان دهندهی انتقال از طریق حرکت توده سیال است در حالیکه دیفیوژن مربوط به مولکولهایی است که توسط حرکت تصادفی تودهی سیال منتقل میشوند.
کل انتقال در نتیجهی رویهم قرار گرفتن دیفیوژن و ادوکسیون است. از نظر ریاضی معادلات ادوکسیون-دیفیوژن شامل یک مؤلفهی هذلولی - سمت چپ - و یک مؤلفهی سهموی - سمت راست - میباشند. طرح عددی باید بهطور همزمان این دو اپراتور مختلف را در بر بگیرد. در پکلتهای پائین، مؤلفهی دیفیوژن غالب بوده و معادله سهموی میشود. زمانی که عدد پکلت افزایش مییابد، ترم ادوکسیون غالب شده و در غیاب ترم چشمه یا چاه، چنانچه عدد پکلت بهسمت بینهایت برود، معادله هذلولی و ادوکسیون خالص را نشان میدهد.
بهطور کلی در مسئلهی شریان، به علت اینکه این ذرات از عدد اشمیت بالایی برخوردار هستند - در انتقال جرم ذرات LDL محدوده 105 تا - 108 جزء مسائل پکلت بالا یا ادوکسیون غالب هستند، در نتیجه لایه مرزی انتقال جرم بسیار نازکی که روی دیواره تشکیل میشود، نیاز به شبکهبندی بسیار ریز در نزدیک دیوار دارد که این بار هزینهی محاسباتی را به-خصوص درمسائل ناپایا، سنگین میکند.
دیواره به ذرات LDL نفوذناپذیر بوده و سرعت مکش ثابت برای پلاسمای خون در نظر گرفته شده است - . - 4e-8 m/s سرعت ورودی یکنواخت با مقدار ثابت Uin= 0/119 m/s و نرخ جریان متوسط 275 ml/min اعمال شده است. در خروجی، فشار نسبی صفر بوده و برای دیواره شرط عدم لغزش و سرعت مکش شعاعی در نظر گرفته شده است. غلظت LDL در ورودی مقدار ثابت - 1300 kg/m3 - C0 و در خروجی شرط مرزی نوع سوم خواهد بود که بیانگر صفر بودن گرادیان غلظت در خروجی لوله است
