بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله با استفاده از تکنیکهای محاسبات عددی یک کنترل-کنندهی تناسبی-انتگرالی-مشتقی برای یک سیستم دینامیکی با چند ورودی و چند خروجی طراحی شده و تنظیم1 بهرههای کنترلی با استفاده از الگوریتم ژنتیک صورت گرفته است.
سیستم دینامیکی مذکور یک ربات با چهار درجه آزادی است که با استفاده از کنترل بهینهی حاصل، مسیرهای بهینهی مفصلی برای آن تولید شدهاند. معیارهای مورد نظر بهینگی در این مقاله کاهش زمان و انرژی مصرفی، فراهم ساختن رفتار دینامیکی پایدار با کاهش میزان فراجهش و زمان صعود سیستم و بالا بردن دقت انجام کار با توجه به میانگین مربع خطای حالت ماندگار، است که با تکنیکهای محاسبات عددی به مسأله اعمال شدهاند.
.1 مقدمه
امروزه با توجه به پیشرفت روزافزون صنعت و تکنولوژی، بسیاری از فعالیتهای صنعتی بهراحتی انجامپذیر نبوده و با توجه به میزان صرفهی اقتصادی و ایمنی کار و نیز بهجهت کاهش هزینهها، نیازمند آناند تا بدون دخالت عوامل انسانی عملی شوند. در این راستا رباتها نقش خود را به خوبی ایفا کردهاند. کلمهی ربات برای گسترهی وسیعی از ابزارهای مکانیکی بهکار میرود که برای انجام بسیاری از فعالیتهای صنعتی، مورد استفادهاند. کارهایی از قبیل جابهجایی و حمل اشیاء، جوشکاری، نقاشی و غیره که انجام آنها توسط ربات مقرون بهصرفهتر است. لذا باید بهدنبال راههایی برای بالا بردن بازدهی و کارایی ربات بود تا موارد مطلوب کاربر فراهم شود.
یکی از مسائلی که امروزه برای نیل به این هدف، بسیار مورد توجه است مسألهی تولید مسیرهای بهینه برای ربات است. بهاین-صورت که نیازمند آن هستیم تا مفاصل ربات در هر لحظه از بازه ی زمانی انجام کار، در راستایی جهتگیری کند که کار مورد نظر به نحوی بهینه انجام شود. طراحی مسیر حرکتی مطلوب نیازمند طراحی یک سیستم کنترلی مناسب برای تولید این مسیرها در فضای کاری ربات در عبور از یک نقطه و رسیدن به مقصد نهایی است.
کنترل بازوی مکانیکی ماهر از جمله مفاهیم گستردهای است که هنوز محققان برای حصول نتایج بهتر در صنعت به آن میپردازند.[1] یکی از سادهترین سیستمهای کنترلکننده برای بازوهای مکانیکی ماهر، کنترلکنندهی تناسبی-انتگرالی-مشتقی 2 - PID - است
کنترلکنندهی PID یکی از استراتژیهای کنترلی قابل توجه است که بهطور گستردهای در فرآیندهای صنعتی مانند نفت و گاز، صنایع پتروشیمی، مکانیک، الکترونیک و غیره استفاده میشود. کنترل کنندهی PID به جهت قابل اطمینان بودن، سادگی مفاهیم و قابل درک بودن آن، تحمیل هزینههای کمتر و راحتی در اجرا [1]، بسیار مورد استفاده است. اما باید توجه داشت که بهکارگیری پارامترهای نامناسب بهرههای کنترلی PID، ممکن است منجر به تولید پاسخهای نامطلوب از سیستم شده و کاربر را متضرر هزینه سازد و بعضاً پاسخ سیستم به جای آنکه پاسخی پایدار با حداقل اغتشاشها و نوسانها باشد، پاسخی ناپایدار همراه با نوسانهای شدید بوده و در نهایت منجر به تخریب سیستم شود ؛ لذا این امر محققین را بر آن میدارد تا بهدنبال راههای بهتری برای استخراج پارامترهای بهینهی PID باشند. بهطور کلی یکی از مهمترین عوامل در طراحی کنترل کنندهی PID، تنظیم پارامترهای آن است که اساساً یک مسألهی بهینه سازی است.
روشهای بسیاری برای استخراج پارامترهای بهینهی PID پیشنهاد میشود. زیگلر و نیکولس [5]، کاهن و کان [6] جزء اولین پیشگامان در بیان این روشها محسوب میشوند. از جمله روشهای پیشنهادی آنها روشهای آزمایشگاهی و سعی و خطا بر اساس منحنیهای پاسخ سیستم است؛ اما زمانی که سیستمهای پیچیده-تری مانند سیستمهایی با مرتبهی بالاتر و سیستمهای غیر خطی و یا سیستمهایی با چند ورودی و چند خروجی 3 - MIMO - پیش رو است، میتوان گفت این روشها چندان کارا نخواهد بود.
به عنوان مثال روش زیگلر-نیکولس برای سیستمهای مرتبهی بالاتر، فراجهش بالا، رفتار نوسانی شدید و زمان نشست طولانیتری فراهم میآورد و روش کاهن-کان برای سیستمهایی معتبر است که پاسخ پله به فرم سینوسی دارند
لذا برای فائق آمدن به اینگونه مشکلات می-توان به روشهای پیشنهادی دیگری پرداخت. از جمله بهکارگیری مفاهیم هوش مصنوعی مانند شبیهسازی شبکههای عصبی و منطق فازی [8,7] و تکنیکهای بهینهسازی ترکیبی و الگوریتمهای تکاملی مانند الگوریتم ژنتیک، بهینهسازی ازدحام ذرات و الگوریتم پرواز پرندگان
با توجه به اینکه ربات مورد نظر در این مقاله یک ربات با چهار درجه آزادی است لذا با یک سیستم MIMO مواجه هستیم که روابط دینامیکی آن بهشدت به یکدیگر وابستهاند و به ازای هر مفصل باید یک دسته از بهترین پارامترهای PID را استخراج شود. بنابراین روشهای معمول سنتی همچون سعی و خطا و تصمیمگیری بر مبنای نتایج آزمایشگاهی روش مفیدی برای استخراج کنترلکنندهی بهینه نیست و از آنجا که عملیات مورد نظر شامل محاسبات عددی پیچیده است، لذا مناسبترین روش، بهکارگیری الگوریتمهای تکاملی از جمله الگوریتم ژنتیک است؛ چرا که الگوریتم ژنتیک دارای مقاومت بالایی در فرار از توقف در اکسترممهای محلی بوده و به دلیل خاصیت جستوجوگرانهای که در فضای جواب دارد، نمیتوان گفت که جواب حاصل از آن یک جواب بهینهی سراسری است بلکه جوابی نزدیک به جواب بهینهی مطلق و قابل قبول است [1]؛ لذا در این مقاله جواب حاصل را بهعنوان جواب بهینه میپذیریم.
پس از معرفی مختصری از کنترل PID در بخش اول، در بخش دوم مدل دینامیکی از بازوهای مکانیکی ماهر و ربات مورد نظر ، و در بخش سوم مدل کنترل کنندهی PIDی سیستم مذکور ارائه شده است. در بخش چهارم با بیان مفهوم مختصری از الگوریتم ژنتیک، مدلسازی مسألهی بهینهسازی و بیان معیارهای بهینگی مسیر در غالب تابع هدف انجام شده است. در بخش پنجم نتایج حاصل از شبیهسازی ارائه شدهاند و در بخش آخر نتیجهی حاصل از این مقاله بیان شده است.
.2 مدل دینامیکی ربات
معادلات دینامیکی یک ربات با n درجه آزادی، با مجموعهای از معادلات دیفرانسیلی مرتبهی دوم به فرم زیر مشخص میشود
بردارهایn×1 از زوایای مفصلی، سرعتهای مفصلی و شتابهای مفصلی هستند. بر این اساس و با توجه به شکل - 1 - سیستم دینامیکی ربات با استفاده از روش لاگرانژ به صورت رابطهی - 2 - حاصل شده است.
ممان اینرسی بازوی اول ربات و ممان اینرسی بازوی دوم ربات نسبت به محور y است که دوران حول آن صورت میگیرد، M جرم میز - Deck - ، m0 جرم پایهی ربات، m1 جرم بازوی اول، m2 جرم بازوی دوم و m جرم جسم مورد نظر برای جابجایی است. بیانگر پارامتر مفصل دورانی پایه است، d پارامتر مفصل کشویی است، x و y نیز پارامترهای مکانی حاصل از حرکت میز توسط نقالهی متصل به آن است
شکل :1 شماتیک جانبی ربات و نیروهای مؤثر بر آن.
.3 کنترل کنندهی PID
قانون کنترلی PID برای هر مفصل به صورت زیر تعریف میشود.
با در نظر گرفتن بردار 4×1 که مؤلفههای آن میباشند و ماتریسهای قطری Kp، Kd وKi که درایههای قطر اصلی همان بهرههای کنترلی برای هر مفصل میباشد، قانون کنترلی MIMO بهصورت زیر در نظر گرفته میشود.
.4 الگوریتم ژنتیک
الگوریتم ژنتیک که نمونهی اولیهی آن توسط جان هلند در سال 1973 ارائه شد، تکامل طبیعی را در سطح ژن و کروموزوم شبیه-سازی میکند. در الگوریتم ژنتیک، تکامل یک پروسهی بهینهسازی مبتنی بر تغییرات تصادفی تدریجی نمونههای مختلف در یک جمعیت و انتخاب احسن آنها است.
با مدلسازی این پروسه میتوان یک تکنیک بهینهسازی آماری بهدست آورد که امروزه در مسائل پیچیده و مختلف و بهخصوص مسائل طراحی، کارایی خود را نشان داده است. در این الگوریتم نمونههایی که در پروسه تکاملی قرار می-گیرند، نقاط مختلف فضاهای جواب هستند. متناظر هر جواب - نقطه در فضای جواب - یک نمود ژنتیکی بهصورت یک رشته از کاراکترها - ژنها - نسبت داده میشود. الگوریتم ژنتیک در هر تکرار محاسباتی - نسل - روی جمعیتی از رشتهها عمل میکند.
الگوریتم ژنتیک بهعنوان یک الگوریتم محاسباتی بهینهسازی با در نظر گرفتن مجموعهای از نقاط فضای جواب در هر تکرار محاسباتی، به نحو مؤثری نواحی مختلف فضای جواب را جستجو میکند و هیچ محدودیتی برای تابع بهینه شونده، مثل مشتقپذیری یا پیوستگی وجود ندارد لذا میتواند برای مسائل مختلف اعم از خطی، غیر خطی، پیوسته یا گسسته استفاده شود و به سهولت با آنها قابل تطبیق است.
1.4 مدلسازی مسأله
در این بخش با استفاده از مفاهیمی که تا کنون بیان شد و نیز با توجه به اینکه ارزیابی کارایی هر رشته یا کروموزم در الکوریتم ژنتیک بر اساس تابع هدف صورت میگیرد، مسأله مدلسازی میشود.
با توجه به رابطهی 6 - - ، کروموزم های هر نسل در الگوریتم ژنتیک شامل دوازده پارامتر PID است. با توجه به رابطه ی - 2 - و با استفاده از شرایط اولیهی سیستم که با محاسبات عددی پاسخهای سیستم را تولید میکنند، تابع هدف مدلسازی میشود. باید توجه داشت که در هر نقطه از فضای کاری نمیتوان به جستوجوی پاسخ-های مسأله پرداخت. با توجه به محدودیتهای فیزیکی و فضای کاری ربات، قیدهای - 7 - ، - 8 - و - 9 - برای مسأله در نظر گرفته شدهاند.
با در نظر گرفتن رابطهی - 8 - بهعنوان یکی از قیدهای مسأله ماتریس M یک ماتریس قطر غالب و در فضای کاری ربات همیشه معکوس-پذیر است.
2.4 معیارهای بهینگی در این بخش شاخصهای مورد نظر بهینگی مسیرهای مفصلی در
قالب تابع هدف به مسأله اعمال میشود و الگوریتم ژنتیک بر اساس این معیارها به انتخاب بهترین دسته از بهرههای کنترلی میپردازد.
تکنیکهای بسیاری برای مدلسازی تابع هدف معرفی شدهاند به نحوی که هر یک بسته به نیاز کاربر، هدف مورد نظر را برآورده میسازند. از جمله این اهداف میتوان مینیممسازی زمان مصرفی در طول انجام کار، بهبود دینامیک رفتاری ربات و حتی مینیمم سازی انرژی نام برد
به طوریکه MP ماکزیمم فراجهش، ts زمان نشست، tr زمان صعود، عامل وزنی است که به انتخاب طراح بستگی دارد و Ess نیز خطای حالت ماندگار است، قادر به تامین اهداف کاربر برای فراهم کردن رفتار بهینهی سیستم هستند. برای مینیممسازی انرژی مصرفی بر اساس تابع ارائه شده در [12] رابطهی - 12 - مورد توجه است.
با توجه به این الگوها تابع هدف مسأله برای یک سیستم MIMO مدلسازی شده است، بهطوریکه ارزیابیها بر اساس تابع هدف، بر پایهی محاسبات عددی صورت میگیرد. از جمله شاخصهای بهینگی مورد نظر در این مقاله کاهش انرژی مصرفی، زمان نشست و خطای حالت ماندگار است که برای آن میانگین مربع خطا را مورد توجه است. بهعنوان دو شاخص دیگر فراجهش مسیرهای مفصلی و زمان اوج آنها کاهش یافته است.
3.4 تابع هدف در این قسمت ساختار تابع هدف با استفاده از نتایج عددی که از حل رابطه ی - 2 - به ازای هر کروموزم حاصل میشوند، شکل میگیرد. انرژی: به منظور مینیممسازی انرژی مصرفی، مقدار عددی انتگرال - 11 - به ازای هر گام زمانی برای هر مفصل محاسبه میشود. این محاسبات با حل سیستم - 2 - که به ازای هر نسل از بهره های کنترلی که توسط الگوریتم ژنتیک به کار گرفته میشوند، امکانپذیر است.
