بخشی از مقاله
چکیده
یکی از مباحث مهم و مورد توجه در مبحث پردازش سیگنالِدیجیتال، طراحی فیلترهای دیجیتال میباشد که به دلیل شاخصههای با اهمیتی مانند پاسخ فرکانسی مطلوب، قابلیت اطمینان بالا و امکان انجام پردازش چند نرخی امروزه بیشتر مورد توجه طراحان میباشند. یک رویکرد در طراحی فیلترهای دیجیتال، تبدیل طراحی فیلتر دیجیتال به یک مساله بهینه سازی میباشد.
در طراحی فیلترهای دیجیتال با پاسخ ضربه نامحدود - IIR - در این رویکرد، باید قیودی مانند پایداری، مینیمم فاز بودن و فاز خطی نیز به مساله بهینه سازی اضافه شود. حل مساله بهینه سازی با قیود زیاد توسط روشهای بهینه سازی مبتنی بر گرادیان چندان کارآمد نمیباشد. در این مقاله از یک تابع برازندگی طراحی شده با قیود ذکرشده و استفاده از الگوریتمهای بهینه سازی تکاملی PSO - و - GA جهت پیدا کردن ضرایب بهینه فیلتر IIR استفاده شده است. نتایج گزارش شده برتری روش پیشنهادی در طراحی فیلترهای دیجیتال را نسبت به سایر روشهای رایج - به ویژه روشهای بهینه سازی مبتنی بر گرادیان - نشان میدهد.
.1 مقدمه
در عصر جدید، پردازش سیگنالِدیجیتال[1] به دلیل کاربردهای وسیع آن به بخشی جدایی ناپذیر از زندگی بشر تبدیل شده و رشد چشمگیری در زمینههای مختلفی از قبیل سیستمهای کنترل، سیستمهای پردازش تصویر و صوت، سیستمهای مخابراتی، پزشکی و غیره پیدا کرده است. یکی از ابزارهای با اهمیت در مبحث پردازش سیگنال دیجیتال فیلترهای دیجیتال میباشند.
فیلترها در دو نوع دیجیتال و آنالوگ طراحی و بکار برده می شوند، اما فیلترهای دیجیتال بدلیل مزیتهایی که نسبت به نوع آنالوگ دارند بیشتر ترجیح داده میشوند. از مزیتهای فیلترهای دیجیتال میتوان به دقت زیاد - فرکانس قطع شارپ - ، قابلیت اطمینان بالا، اندازه فیزیکی کوچک، کم بودن حساسیت اجزا، فاز خطی و دقیق و امکان انجام پردازش چند نرخی اشاره کرد.
فیلترهای دیجیتال قابلیت پردازش سیگنالهای باریک باند از جمله سیگنالهای حیاتی، گفتار، موسیقی و زمین لرزه را دارند و نتایج موثر وکارایی را در این زمینهها بدست میدهند. مشخصههای یک فیلتر دیجیتال میتواند بسادگی با دستکاری جزیی رجیسترها تغییر کند بدون اینکه نیازی به تغییر سخت افزار فیلتر باشد، این در حالی است که در فیلترهای آنالوگ باید بخشهایی از مدار را با المانهای جدید جایگزین کرد.
فیلترهای دیجیتال به دو دسته فیلترهای با پاسخ ضربه متناهی - - FIR1 و فیلترهای با پاسخ ضربه نامتناهی - IIR2 - طبقه بندی میشوند. دو رویکرد در طراحی فیلترهای IIR وجود دارد : -1 استفاده از دانش طراحی فیلترهای آنالوگ. -2 تبدیل مساله طراحی فیلتر به یک مساله بهینه سازی.
مزایای رویکرد استفاده از دانش طراحی فیلترهای آنالوگ پیچیدگی محاسباتی کم و تضمین پایداری فیلتر و عیب آن عدم امکان حصول فاز خطی میباشد. در این مقاله جهت تعیین ضرایب بهینه فیلتر از رویکرد مبتنی بر بهینه سازی استفاده شده است. یکی از مشکلات اساسی در این رویکرد وجود قیدهایی مانند پایداری، مینیمم فاز بودن و فاز خطی میباشد. وجود این قیود باعث میشود روشهای مبتنی بر گرادیان عملکرد مناسبی نداشته باشند.[2] از این رو استفاده از روشهای بهینه سازی تکاملی که توانایی خوبی جهت مدیریت کردن این قیود و فرار از بهینههای محلی دارند، مورد استفاده قرار گرفتهاند
الگوریتمهای بهینه سازی با الهام از طبیعت پایهریزی شده و بهصورت جمعیتی عمل میکنند. هرچند ممکن است زمان محاسباتی طولانیتر این الگوریتمها به دلیل گستردگی فضای جستجو در مقایسه با روشهای مبتنی بر گرادیان یک نقص بهحساب آید اما با توجه به اینکه بسیاری از پردازشها آفلاین صورت میپذیرند محدودیت زمانی زیاد مطرح نیست.
الگوریتمهای بهینه سازی تکاملی نیازی به اطلاعات گرادیان ندارند و تنها از مقدار تابع برازندگی برای هدایت جستجو استفاده میکنند و اگر تابع برازندگی بهدرستی طراحی شود ما را به پاسخ مطلوب خواهند رساند. از این نمونه الگوریتمهای بهینه سازی میتوان به الگوریتم وراثتی با الهام از علم وراثت و تکامل [4] - 1975 - ، الگوریتم ایمنی با شبیه سازی سیستم دفاعی انسان [5] - 1986 - ، الگوریتم جستجوی جمعیت مورچگان [6] - 1991 - ، الگوریتم جستجوی گرانشی [7] - 2008 - و الگوریتم بهینه سازی جمعیت ذرات با تقلید از رفتار اجتماعی پرندگان [8] - 1995 - اشاره کرد.
در زمینه طراحی فیلترهای دیجیتال به وسیله الگوریتمهای تکاملی کارهای معدودی صورت گرفته است که در بیشتر این موارد به فیلترهای FIR کهذاتاً پایدارند بسنده شده است و در مواردی هم که هدف طراحی فیلتر IIR بوده نیزصرفاً تمرکز بر پایداری سیستم بوده و پارامترهایی نظیر کمینه فاز بودن سیستم و داشتن تأخیر گروهی ثابت و کمینه، مورد توجه خاص نبوده است و اگر هم همه پارامترها جهت طراحی فیلتر در نظر گرفتهشدهاند آنگاه روش طراحی مبتنی بر بهینه سازی و الگوریتمهای تکاملی نبوده است. در مراجع [12],[11],[10],[9] به تعدادی از این موارد اشاره شده است.
در این مقاله از الگوریتم ابتکاری بهینه سازی PSO3 که شایستگی خود را در رسیدن به بهترین جواب ممکن در کمترین زمان در بسیاری از مسائل ثابت کرده است جهت تعیین ضرایب بهینه یک فیلتر IIR با بهینه سازی تابع برازندگی استفاده شده است.
در این مقاله سعی شده است با طراحی یک تابع برازندگی جامع، فیلترهای IIR با پاسخ فرکانسی مطلوب و با خواص مهمی مانند پایداری، مینیمم فاز بودن و فاز خطی طراحی شود.
سازماندهی مقاله بدینصورت میباشد که در بخش دوم الگوریتم PSO و روابط حاکم بر آن مرور میشود. در بخش سوم تابع برازندگی پیشنهادی جهت طراحی فیلترهای IIR ارائهشده و کاربرد الگوریتم PSO در بهینهسازی تابع برازندگی آورده شده است. در بخش چهارم نتایج آزمایشها با روش پیشنهادی و سایر روشهای رایج گزارششده است. نهاتاًی در بخش پنجم جمعبندی کار ذکرشده است.
.2 الگوریتم بهینهسازی تکاملی PSO
الگوریتم PSO الهام گرفتهشده از حرکت جمعی ذرات و تقلید رفتار اجتماعی پرندگان میباشد . این تکنیک بهینهسازی نخستین بار توسط کندی و ابرهارت در سال 1995 ارائه شدPSO .[8] بسیار ساده و سریع است و با چند خط کد قابلیت پیادهسازی دارد. PSO بر اساس همکاری سازنده بین ذرات بنا شده و یک الگوریتم با حافظه میباشد به این صورت که هر ذره، بهترین موقعیت خود را بهخوبی بهترین موقعیت کل جمعیت به خاطر میسپارد، به همین خاطر قابلیت حل مسائل بهینهسازی چندبعدی را داراست.
PSO با یک جمعیت تصادفی تولیدشده از ذرات که در آن موقعیت - x - و سرعت - v - هر ذره مشخص است آغاز بکار میکند سپس موقعیت و سرعت هر ذره مطابق روابط - 1 - و - - 2 بهروزرسانی شده و با مقایسه برازندگی آنها باحالت اولیه در صورت بهتر بودن جایگزین خواهند شد. برازندگی بهتر در مسائل کمینه یابی از رابطه - 3 - به دست میآید. بدینصورت در هر تکرار پاسخ به دست آمده بهبود یافته و یا حفظ خواهد شد و درنهایت به جواب مطلوب دست خواهیم یافت.
در رابطه - 1 - ، xi و xb e s t به ترتیب بهترین موقعیت هر ذره و بهترین موقعیت تابحال کل جمعیت را نشان میدهند.
xi موقعیت فعلی ذره i ام و rand1 و rand2 اعداد تصادفی در بازه [0,1] میباشند، همچنین دوثابت c1 و c2 حقیقی و مثبت اند.n w ضریب اینرسی تکرار n ام است که برای همگرایی بهتر و کاوش بیشتر الگوریتم، بهصورت خطی کاهشی در نظر گرفته میشود. fit در رابطه - 3 - نشانگر تابع برازندگی است. شبه کد این الگوریتم در جدول 1 آورده شده است.
جدول -1 شبه کد مربوط به الگوریتم PSO
.1 مقدار دهی اولیه آرایش جمعیتی ذرات با موقعیتها و سرعتهای تصادفی
.2 محاسبه تابع برازندگی هر ذره و تعیین pbest و gbest
3. سرعت و موقعیت هر ذره بر اساس روابط - 1 - و - 2 - بروز رسانی شود
4. اگر شرط توقف برقرار نشده به مرحله 2 برو
5. پایان
