بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک طرح تفاضلات متناهی فشرده ضمنی مرتبه چهارم برای حل معادله برگرز یک بعدی ارائه شده است که بر اساس تبدیل هوپف-کول معادله غیرخطی اولیه برگرز را به یک معادله حرارت خطی و شرایط مرزی دیریکله را به شرایط مرزی رابین تبدیل می کند.سپس معادله حرارت خطی با استفاده از طرح تفاضلات متناهی فشرده ضمنی مرتبه چهارم حل شده است.نتایج عددی نشان می دهد که این روش بدون هیچ شرایطی پایدار است و هیچ محدودیتی در اندازه گام زمانی وجودندارد.
واژه های کلیدی: طرح تفاضلات متناهی،معادله برگرز،پایداری
١ مقدمه
معادله برگرز یک بعدی را به صورت زیر در نطر می گیریم]١[ با شرایط اولیه ١ < x < ٠ = f - x - - ٠ u - x;و شرایط مرزی T ] ;٠ - t - = - t - ; t 2 ;١t - = - t - ; u - ;٠u - که در آن Re١ =مشخص کننده اندازه ویسکوزیته می باشد،Reنشانگر عدد ر ینولدز است.معادله برگرز - ١ - یکی از مهم ترین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مکانیک سیالات است]٢.[ در ]٣ [ نویسندگان به جای حل معادله برگرز اصلی یک حل عددی را بر اساس تبدیل هوپف-کول پیشنهاد کرده اند.ابتدا معادله حرارت خطی با استفاده از روش تفاضلات متناهی صریح حل شده است. پس از آن برای به دست آوردن حل معادله برگرز اصلی تغییر اعمال می شود.در این مقاله معادله گرما خطی بر اساس تبدیل هوپف-کول با استفاده از طرح تفاضلات متناهی فشرده ضمنی مرتبه چهارم حل شده است.
طرح تفاضلات متناهی مرتبه چهارم: معادله برگرز را با استفاده از تبدیل هوپف-کول می توان به یک معادله حرارتی تبدیل کرد ]۴[که w - x; t - معادله حرارتی زیر را برآورد می کند:w٢@w @ T ] ;٠ - t 2 ;١ < x < ٠ ; ٢@t = @x پوستر طرح تفاضلات متناهی فشرده ضمنی مرتبه چهارم معادله برگز یک بعدی با شرایط اولیه f - s - x٠= exp ∫ - ٠ w - x;ds٢ و شرایط مرزی رابین ٠ ; t > ٠ t - = ;١t - + - t - w - ;١ wx - ٢ ٠ ; t > ٠ t - = ;٠t - + - t - w - ;٠ wx - ٢با استفاده از الگور یتم کرانک نیکلسون برای رابطه - ٢ - دار یم:در حالی کهx٢ عملگر مرکزی تفاضلات متناهی مرتبه دوم می باشد،که به صورت ١wi + wi ٢ ١ xwi = wi+ تعریف می شود.
الگور یتم کرانک-نیکلسون فشرده و بدون قید و شرط پایدار است.اما تنها در مرتبه دوم در دو بعد زمانی و مکانی دقیق است.یک راه حل برای به دست آوردن یک تقریب مرتبه چهارم با استفاده از مقدار تقریبی پاده با جایگزینی عملگرمرکزی تفاضلات متناهی x با x x ١ انجام می شود و در نهایت به طرح مرتبه چهارم و طرح فشرده زیر منجر می شود.با استفاده از قانون ادغام مرتبه چهارم سیمپسون مقدار تقریبی شرایط اولیه مرتبه چهارم به صورت زیر تقریب زده میشود:برون یابی ریچاردسون: به خوبی شناخته شده است که خطای برشی الگور یتم کرانک-نیکلسون در بعد زمانی دارای یک شکل ۴∆t٢+ c ٢∆t١cاست.بنابراین طبیعی است که اعمال برون یابی ر یچاردسون در اینجا به منظور بهبود دقت در بعد زمانی به کار می رود.ت
قریب فشرده مرتبه چهارم برای :wxبا توجه به این که برای بازسازی wx - x; t - ٢u - x; t - = راه حل های دقیقw - x; t - عددی برای w - x; t - ; wx - x; t - مورد نیاز است .در این جا ما اول معادله حرارتی - ۴ - را با دقت مرتبه چهارم حل می کنیم و پس از آن برای wx - x; t - از مرتبه چهارم فشرده استفاده می کنیم. از آنجایی که t - = - t - ;٠t - = - t - ; u - ;١u - ما باید فقط wx - xi; t - را برای :::; N ;٣ ; ٢ ;١ i =تقریب بزنیم.دوباره عملگر مرکزی تفاضلات متناهی درجه دوم را برای∆x در w - xi; t - به کار می بریم و در نهایت فرمول را به صورت زیر دار یم:که می تواند با دقت مرتبه چهارم حل شود و راه حل wx برای بازسازی راه حل - u - x; t استفاده شود.
طرح تفاضلات متناهی فشرده ضمنی مرتبه چهارم معادله برگز یک بعدی مثال ١.١. ابتدا معادله برگرز با شرایط مرزی و اولیه زیر حل میکنیم:]۴[ در اینجا شرایط اولیه طوری انتخاب شده است که - ٠ w - x;می تواند به صورت زیر مشتق شده و صراحتا بیان شود:]١ ;٠= + cos - x - x 2 [ - ٠ w - x;وشکل بسته راه حل دقیق آن به صورت زیر در دسترس است:با در دسترس بودن فرم بسته راه حل دقیق آن،می توانیم خطا و همگرایی عددی مرتبه را از روش حال حاضر محاسبه کنیم.در جدول ١،خطای حدا کثر بین راه حل عددی توسط روش بالاتر بدون برون یابی ر یچاردسون و حل دقیق برای٢ = ;١ ٠٫ = ;١ T = محاسبه میشود.
برای نشان دادن دقت مرتبه در ابعاد فضایی ∆t به ٠٠٠٠٠١.٠ تنظیم شد. به طوری که اثر خطای برشی از زمان گسسته را می توان نادیده گرفت.به وضوح هنگامی که توسط عامل ٢ کاهش می یابد،خطا توسط یک عامل ۶١ هم کاهش می یابد،که نتیجه ای را که الگور یتم مرتبه چهارم در ابعاد فضایی دقیق است را تایید می کند.برای نشان دادن این که تنها روش مرتبه دوم در بعد زمانی و بدون برون یابی ر یچاردسون دقیق است،ما ٠٠١ ٠٫ H =را برطرف کردیم و ∆Tعامل ٢ را کاهش دادیم.خطاهای حدا کثر با ∆T مختلف در ١ T = در جدول شماره ٢ نشان داده شده است که نتیجه ادعا شده در بالا را تایید می کند.
