بخشی از مقاله
خلاصه
روش عددی منیفلد یک روش عددی قدرتمند در حل مسایل گوناگون مهندسی میباشد. در این روش، مدلسازی با تعریف شبکه های ریاضیاتی و فیزیکی بصورت جداگانه انجام میگیرد. شبکه هایریاضیاتی، توابع جابجایی را تعریف و شبکه فیزیکی مرز فیزیکی جسم را مشخص میکند.
در این روش توابع جابجایی برحسب نیاز میتوانند به هر شکل دلخواهی تعریف گردند و شبکههای ریاضیاتی با همدیگر همپوشانی داشته باشند و هم چنین با مرز فیزیکی تلاقی پیدا کنند . در مقاله حاضر، روش عددی منیفلد درجات بالا بصورت اجمالی معرفی میگردد، سپس به منظور نمایش دقت و قدرت این روش، مثال هایی با استفاده از المان های منیفلد درجات بالا در حالات یک و دو بعدی استاتیکی با آنالیز خطی و غیرخطی حل شده و نتایج با روش اجزاء محدود و حل تحلیلی مقایسه می گردد.
.1 مقدمه
روش عددی منیفلد برای اولین بار توسط [1] Shi معرفی و توسعه یافت. روش منیفلد از یک سیستم شبکه بندی دوگانه بهره می برد. با استفاده از این سیستم شبکه بندی، روش منیفلد قادر به مدلسازی مسائل گسسته و پیوسته بصورت همزمان میباشد. Wang و همکاران [2] از تئوری های تقریب در روش منیفلد استفاده کردند و به منظور صحت سنجی، رفتار دینامیکی یک میله را تحت بارگذاری سریع با حل تحلیلی مقایسه کردند. . Shyu و همکاران [3] از المان های ایزوپارامتریک چهارگرهی شبکه المان محدود در روش منیفلد استفاده گردند.
آنها به بررسی رفتار یک تیر لایه ای تحت تغییر شکل های کوچک و بزرگ پرداختند و دریافتند که روش منیفلد قادر به محاسبه بهتر تغییر شکل ها و تصحیح میدان های تنش می باشد. . فرمول بندی روش منیفلد درجات بالا توسط Chen و همکاران [4] بصورت دقیق ارائه شد. هم چنین یک روش انتگرال گیری ساده و برنامه نویسی منیفلد درجات بالا توسط Su و همکاران [5] ارائه و مطالعه شد.
Cheng و همکاران [6] با استفاده از روش باقی مانده وزنه دار در روش منیفلد به بررسی رفتار یک تیر دو سر ساده، پدیده ترک در یک صفحه فولادی تحت کشش و جریان آب زیر زمینی پرداختند.
Terada و همکاران [7] با استفاده از روش منیفلد به مدلسازی غیرخطی یک تیر کنسول پرداختند و متوجه شدند که نتایج به ناپایداری عددی می رسند.
همچنین بحث وابستگی خطی طی یک مقاله توسط قاسم زاده و همکاران [8] مطالعه و برای حذف این مشکل، روش کاهش تعداد ضرایب مجهول ارائه شد. Fan و همکاران [9] به بررسی روش منیفلد درجات بالا با استفاده از المان های مثلثی 9 گرهی پرداختند. آنها به مطالعه یک ورق سوراخدار تحت کشش، و تیر کنسول تحت بار خارجی پرداختند.
هم چنین Fan و همکاران [10] روش عددی منیفلد را بر اساس درجات آزادی مشتقاتی و بدون وابستگی خطی پیاده کردند. آنها به مطالعه یک تیر کنسول مستطیلی و مثلثی با استفاده از المان های منیفلد درجه2 تصحیح شده پرداختند و جابجایی نقاط و هم چنین منحنی های تراز تنش در سطح تیر را تصحیح نمودند.
.2 معرفی تئوری منیفلد درجات بالا
در روش عددی منیفلد به منظور مدلسازی محیط از شبکه بندی دوگانه ریاضیاتی و فیزیکی بصورت همزمان استفاده می گردد. شبکه های ریاضیاتی، توابع جابجایی را مشخص می کنند که می توانند به هر فرم دلخواهی باشند. شبکه فیزیکی نیز مرز فیزیکی جسم، نوع بارگذاری، قیدهای سیستم و خواص مصالح را دربر میگیرد. پوشش های فیزیکی از همپوشانی پوشش های ریاضیاتی و المان های منیفلد از همپوشانی پوشش های فیزیکی بوجود می آیند
شکل -1 نمایش الف: پوشش های ریاضیاتی، ب: پوشش های فیزیکی و ج: المان های منیفلد [10]
توابع جابجایی با استفاده از روش افراز واحد برای تعداد پوشش ریاضیاتی دلخواه بصورت رابطه زیر دیده می شوند.
که در آن u تابع جابجایی، w i تابع وزن و u i تابع جابجایی پوشش ریاضیاتی -iام می باشند. تابع وزن، مشابه روش المان محدود بصورت زیر تعریف می گردد.
باید توجه داشت که به ازای تعداد پوشش ریاضیاتی رابطه زیر برای توابع وزن برقرار است:
حال اگر شبکه مش بندی پوشش های ریاضیاتی به شکل مثلث فرض گردد، پوشش های ریاضیاتی به شکل یک شش ضلعی تشکیل میگردند. با توجه به شکل 2 مشاهده می گردد که از همپوشانی سه پوشش ریاضیاتی شش ضلعی یک المان منیفلد مثلثی تشکیل میگردد. یک پوشش ریاضیاتی بوسیله علامت ستاره مشخص شده است.
شکل -2 همپوشانی سه پوشش ریاضیاتی شش ضلعی و تشکیل المان مثلثی منیفلد
با توجه به بحث قبلی، توابع وزن را می توان بصورت خطی در نظر گرفت.
باید توجه داشت که مقدار هر تابع وزن در پوشش متناظر آن برابر واحد و در غیر اینصورت برابر صفر خواهد بود.
