بخشی از مقاله
خلاصه
امروزه روش های مختلف بر اساس نیوتن مانند الگوریتم گرادیان بطور گسترده برای تحلیل هیدرولیکی جریان دائمی در شبکه های آبرسانی بکار برده می شوند. محاسبات بر اساس روش نیوتن به یک دستگاه معادلات خطی منجر می شود که از ماتریس ژاکوبین مربوط به معادلات شبکه تشکیل می گردد. حل دستگاه معادله خطی، بیشترین هزینه محاسباتی روش های گرادیان را تشکیل می دهد بخصوص برای شبکه های بسیار بزرگ که بیش از صدها هزار متغیر داشته باشند.
یکی از روش های مشهور که امروزه برای حل دستگاه معادلات خطی کاربرد فراوانی دارد، روش چند شبکه ای جبری - AMG - است که یک روش سلسله مراتبی است و با استفاده از سیستم هایی با اندازه های کوچکتر تخمین مناسبی از سیستم واقعی ارائه می دهد. برای سرعت بخشیدن به AMG می توان از پیش شرط ساز گرادیان مزدوج در روش های کرایلف استفاده نمود. در این مقاله به کاربرد روش پیش شرط ساز AMG-CG در حل معادلات خطی شده شبکه لوله ها پرداخته می شود که این دستگاه معادله از روش گرادیان بدست آمده است.
شکل ماتریس ژاکوبین در روش گرادیان بصورت یک ماتریس مربعی است که درایه های آن تابع میزان جریان و مقاومت لوله می باشند و قابل حل بوسیله روش چند شبکه ای است. شرایط ماتریس ژاکوبین در روش گرادیان طوری است که با ماتریس قابل حل توسط روش چند شبکه ای منطبق است. هم اکنون در نرم افزار EPANET از روش چولسکی اسپارس به همراه مرتب سازی گره ها برای حل این دستگاه معادلات استفاده می گردد.
.1مقدمه
برای تحلیل شبکه های آبرسانی روش های متعددی ارائه شده است. این روش ها با توجه به شکل مجهولات طبقه بندی می شود. مثلا دستگاه معادلات را میتوان بر اساس مجهولات به سه دسته معادلات دبی، Q، معادلات هد، H و دبی اصلاح شده 4 تقسیم بندی کرد. در معادلات بر حسب دبی Q به تعداد حلقه ها معادلات غیرخطی و به تعداد گره ها معادلات خطی - پیوستگی - وجود دارد.
در معادلات هد H، به تعداد گره ها معادلات غیرخطی و در معادلات 4 به تعداد حلقه ها معادلات غیر خطی وجود دارد. نخستین بار هاردی کراس روشی را بر مبنای معادلات دبی Q در لوله ها ارائه کرد، [1] ، اما همگرایی این روش با بزرگ شدن شبکه بسیار کند بود و در برخی موارد مدل واگرا می شد بعلاوه سرعت همگرایی به مقدار حدس اولیه دبی در لوله ها بستگی پیدا میکرد .[2]
بعدها هاردی کراس روش دیگری بر مبنای معادﻻت انرژی در گره ها ارائه کرد اما این روش نیز به حدس اولیه بسیار حساس بود.[2] راهکار مارتین و پیترز [3] بر حسب معادلات هد H و استفاده از الگوریتم نیوتن-رافسون تا حدودی مشخصه های همگرایی را بهبود بخشید ولیکن ایرادات کلی روش نیوتن-رافسون از قبیل وابستگی روند همگرایی به حدس اولیه، دشوار بودن محاسبه ماتریس ژاکوبین در شبکه های بزرگ و پیچیده، اصلاح ماتریس مذکور در هر تکرار و زمانبری عملیات معکوس سازی ماتریس ژاکوبین همچنان برقرار بود. شامیر و هوارد نشان دادند که از این روش می توان برای شبکه های با پمپ و شیر نیز استفاده نمود .[4]
روش وود [5] به نام تئوری خطی که برای معادلات دبی Q بکار برده شد نیز در مقایسه با روش نیوتن-رافسون همگرایی کندتری داشت. کولینز و جانسون [6] روش المان محدود را برای تحلیل شبکه های آبرسانی ارائه کردند که روشی خطی بر حسب معادلات H می باشد. در این روش با انتخاب حدس اولیه برای دبی، ماتریس ضرایب تخمین زده می شود و با حل دستگاه معادلات خطی حاصله، مقادیر H در هر گره به دست میآید. در مرحله بعد دبی لوله ها با توجه به هدهای گرهی محاسبه شده و ماتریس ضرایب بوسیله ترکیبی از دبی محاسبه شده در این مرحله و دبی موجود در تکرار قبلی بروزرسانی می گردد و این عملیات تا رسیدن به همگرایی مطلوب ادامه می یابد.
تودینی و پیلاتی [7] روش گرادیان سراسری - GGA - را برای تحلیل هیدرولیکی شبکه لوله ها بکار بردند. قبﻻ پاول[8] این الگوریتم را با استفاده از مضارب لاگرانژ برای مسائل بهینه سازی با قیود تساوی ارائه کرده بود. این روش برای معادلات ترکیبی Q-H فرمول بندی می شود و بطور مستقیم مقادیر اصلاح شده مجهولات را در هر تکرار محاسبه می کند.
در این روش معادلات افت انرژی در حلقه ها به صورت تابع هدف و معادلات پیوستگی به صورت قید، در یک مسئله بهینه سازی تعریف می شود. سپس با استفاده از مضارب لاگرانژ مسئله بهینه سازی، بدون قید شده و معادلات حاصله با به کار بردن روش نیوتن- رافسون حل می شود . [9] این روش سرعت همگرایی را بطور قابل ملاحظه ای افزایش می دهد بعلاوه تا حدودی نیز از حدس اولیه مستقل می باشد و اگر نقطه آغازی به اندازه کافی به جواب نهایی نزدیک باشد با مرتبه حداقل دو همگرا می گردد [10] درحال حاضر از این الگوریتم در تحلیل شبکه های آبرسانی بخصوص در نرم افزارهای تجارتی Epanet و WaterGems استفاده می شود.
از الگوریتمهای چندشبکهای در حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی با روشهای تفاضل محدود و المان محدود استفاده میشود. معادلات بیضی لاپلاس و پواسون با روشهای چندشبکهای سازگاری خوبی دارند. بطور کلی روش های چند شبکه ای در حل دستگاه معادلات خطی در صورتی که ماتریس ضرایب، معین و مثبت و اکثر درایه های غیرصفر آن در مجاورت قطر اصلی پراکنده باشند، بسیار موثر هستند.
نخستین بار وبستر [11] از یک روش چندشبکهای برای تحلیل جریان در لولهها استفاده کرد، اما در این تحلیل فرض بر این بود که جریان لایهای است و بنابراین معادلات افت هد خطی بودند. مهدی زاده و جعفرزاده [12] از الگوریتم چند شبکه ای برای تسریع نرخ همگرایی روش نیوتن-رافسون در معادلات H استفاده کردند. ایراد این روش وابستگی به حدس اولیه و روند همگرایی کندتر نسبت به روش تودینی بود.
در تحقیق حاضر از الگوریتم های چند شبکه ای برای تسریع تحلیل شبکه های بزرگ آبرسانی استفاده می شود. این روش با هموار سازی ترم های خطا در شبکه درشت، به عنوان یک الگوریتم شتاب دهنده در حل دستگاه معادلات خطی روش های گرادیان عمل می کند. نتایج نشان می دهد این روش سبب افزایش سرعت همگرایی روش های فوق در شبکه های بزرگ آبرسانی می گردد.
.2 معادلات شبکه های توزیع آب
شبکه های توزیع آب شامل لوله ها، مخازن، پمپ ها و شیرها میباشند. در یک شبکه توزیع آب مجهولات عبارت از دبی و افت هد در لوله ها و مقادیر فشار در گره ها می باشد. در صورتیکه فرض شود شبکه مورد نظر دارای M لوله و N گره باشد، تعداد M+N-1 مجهول وجود دارد، بنابراین به همین تعداد معادله احتیاج داریم. معادلات موجود در شبکه های توزیع آب شامل معادلات پیوستگی و انرژی میباشند. بر اساس معادله پیوستگی جمع جبری جریان های ورودی و خروجی به یک گره j صفر می شود.
4. الگوریتم گرادیان سراسری:
یکی از روش های مشهور حل معادلات شبکه لوله ها، روش گرادیان سراسری GGA است که بر اساس روش نیوتن فرمول بندی می گردد. در تحلیل هیدرولیکی با روش GGA روند حل به دو فرایند تکراری تقسیم می گردد.گام اول - گام داخلی - شامل محاسبه متغیرهای بروز شده می باشد که با حل دستگاه معادلات خطی که از ماتریس ژاکوبین تشکیل شده است، بدست می آید.
گام دوم - گام خارجی - شامل بروزرسانی مقادیر متغیرهای مسئله می باشد. گام داخلی معمولا بیشترین هزینه محاسباتی را در روش GGA دارد. برای تعیین الگوریتم گرادیان سراسری، معادلات اساسی حاکم بر جریان در شبکه لوله ها - معادله - - 4 - را در نظر بگیرید. با مشتق گیری از عبارت فوق رابطه به شکل زیر در خواهد آمد.
