مقاله کاهش ارتعاشات یک سیستم غیر خطی با استفاده از جاذب خطی در حالت تشدید اولیه

بخشی از مقاله

چکیده

در مقاله حاضر به منظور کنترل غیرفعال1 ارتعاشات تشدید اولیه یک سیستم غیر خطی ضعیف بدون میراگر خاص2، از یک جاذب دینامیک ارتعاشی خطی استفاده شده است. جاذب مورد نظر یک جرم متمرکز می باشد،که به وسیله یک فنر خطی و یک میراگر خطی به سیستم اصلی متصل شده است. جرم جاذب بسیار کمتر از جرم سیستم غیرخطی می باشد، و میزان ضرایب سختی و میرایی نیز نسبت به سیستم غیرخطی بسیار ناچیز هستند. بعد از مدل کردن ریاضی سیستم، معادلات حرکت براي دو حالت، سیستم با جاذب خطی و سیستم غیرخطی اصلی بدست می آیند. جهت حل معادلات از روش مقیاس هاي چند گانه زمانی3 با درنظر گرفتن دو گام زمانی استفاده شده است. فرضیات مورد نظر براي حل عبارتند از:

١. فرضیات مربوط به حالت تشدید اولیه

٢. ناچیز بودن جرم جاذب نسبت به جرم نوسانگر غیرخطی. از حل معادلات مذکور، دو معادله پاسخ فرکانسی به دست می آیند، که یکی مربوط به سیستم غیرخطی اصلی و دیگري مربوط به سیستم با جاذب خطی می باشد.

سپس اثر تغییرات جرم، ضرایب سختی و میرایی جاذب، بر پاسخ فرکانسی سیستم غیرخطی مورد بررسی قرار می گیرد، و در مورد مقادیر بهینه پارامتر هاي ذکر شده جهت رسیدن به عملکرد مناسب بحث می شود. نتایج نشان می دهند که در صورت غیر خطی ضعیف بودن سیستم اصلی و تنظیم مناسب مقادیر پارامترهاي جاذب، می توان با اطمینان از یک جاذب خطی با جرم و ضرایب سختی و میرایی بسیار کم نسبت به سیستم اصلی، جهت کنترل ارتعاشات تشدید اولیه یک سیستم غیر خطی استفاده کرد. ضمنا جهت اعتبارسنجی روابط به نتایج مرجع [11] اعتماد شده است.

مقدمه

در یک سیستم غیر خطی ضعیف یک درجه آزادي، اگر فرکانس تحریک به فرکانس طبیعی خطی متناظر سیستم غیر خطی بسیار نزدیک باشد، تشدید اولیه اتفاق می افتد. علاوه بر این، پاسخ اجباري حالت پایدار سیستم رفتارهاي دینامیکی غیر خطی، شامل چند شاخگی5، پدیده هاي پرش6 و پسماند7 را از خود به نمایش خواهد گذاشت.[1] این رفتار ها به همراه دامنه نسبتاً بزرگ ارتعاشات تشدید در بسیاري از کاربرد ها نامطلوب هستند. بنابراین این رفتارها و پدیده هاي خطر ناك باید با استفاده از روش هاي مناسب از منظر کنترل ارتعاشی، ضعیف شده و کنترل شوند.

در طول دهه گذشته، براي کنترل ارتعاش هاي تشدید غیر خطی روش هاي کنترل فعال گسترش پیدا کرده اند.[2] اما قابل ذکر است که به دلیل محدودیت هاي مانند هزینه و یا نیاز به ذخیره انرژي به صورت مستقل، همیشه امکان استفاده از روش هاي کنترل فعال وجود ندارد. علاوه بر این، هنگامی که سیستم هاي کنترل فعال دچار عیب شوند، سیستم هاي کنترل غیر فعال به عنوان یک پشتیبان به کار می روند.[3] یکی از روش هاي کنترل غیر فعال، اضافه کردن یک سیستم ارتعاشی نوسانی دیگر به سیستم اصلی است.[4] هدف از اضافه کردن نوسانگر دوم، انتقال فرکانس تشدید ایجاد شده در سیستم مکانیکی، به نوسانگر دوم است.[5,6] اگر فرکانس تحریک ثابت باشد، جاذب خطی راه مؤثري براي میرا کردن ارتعاشات سیستم هاي خطی است.

از طرفی، طی تحقیقاتی ثابت شده است که براي بالا بردن عملکرد جاذب ها می توان از فنرهاي جاذب غیر خطی استفاده کرد.[7] اما متاسفانه به دلیل وجود عوامل غیر خطی، گاهی اوقات استفاده از این فنرها ناپایداري دینامیکی را به همراه خواهد داشت و به جاي کاهش ارتعاشات باعث افزایش آن می شود. به طور کلی این چنین شرایطی در دو حالت رخ خواهند داد:

١. فرکانس تحریک تقریباً برابر متوسط دو فرکانس طبیعی خطی متناظر باشد.

٢. دو فرکانس خطی متناظر به دست آمده تحت رزونانس داخلی - ١:١ - باشند.

تا به حال بحث اصلی استفاده از جاذب هاي خطی و غیر خطی براي کنترل ارتعاشات سیستم هاي خطی بوده است، و همچنین استفاده از جاذب هاي غیر خطی براي سیستم هاي ارتعاشی غیر خطی ، اما اخیراً با یک مطالعه تجربی که توسط بونسل [9] انجام شد، وي نشان داد، یک جاذب ارتعاشی خطی براي کنترل تشدید هاي اولیه و ثانویه یک تیر تکه اي خطی8 توانا و قابل اعتنا است. بعد از این جی[10] با در نظر گرفتن یک جاذب خطی این ادعا را برروي یک سیستم غیر خطی ساده با میراگر اثبات کرد.

از ویژگی هاي سیستم هاي غیر خطی که جاذب خطی دارند می توان به تغییرات اندك در مقادیر فرکانس هاي خطی متناظر و ضریب میرایی و بازه فرکانسی براي حالت تشدید اولیه اشاره کرد. جاذبی که در این مقاله در نظر گرفته شده است، داراي جرم بسیار کم نسبت به جرم سیستم غیر خطی اصلی است. این جرم توسط یک فنر و میراگر کاملاً خطی به جرم اصلی متصل شده است.

در نهایت با رسم منحنی پاسخ فرکانسی براي سیستم بدون جاذب و با جاذب و مقایسه آن ها نشان داده می شود که این جاذب کوچک خطی در کاهش ارتعاشات تشدید اولیه یک سیستم غیر خطی که شامل یک جرم، یک فنر خطی سري شده با یک فنر خطی غیرخطی از مرتبه سوم9 و همچنین بدون میراگرمیباشد، کاملاً مؤثر بوده است. این جاذبها، حجم سیستم و هزینه ها را به شدت کاهش داده و از پیچیدگی هاي جاذب هاي ارتعاشی غیر خطی می کاهند.

مدل ریاضی و تعیین معادله حرکت

معادله حرکت سیستم با تغییر متغییر y − xu وبااستفاده از مرجع [11] و اضافه کردن جرم دوم عبارت است ازk1 و k4 فنرهاي خطی، k2 بخش خطی و k3 بخش غیرخطی فنردوم سیستم اصلی می باشند.

شکل:1 سیستم غیر خطی به همراه یک جاذب خطی

مثال عددي و بحث

به منظور بررسی تاثیر، تغییرات پارامتر هاي جاذب خطی - جرم، ضرایب سختی و میرایی - بر منحنی پاسخ فرکانسی سیستم غیرخطی، با استفاده ازروابط - ۴ - و - ۵ - و با ثابت قراردادن دو پارامتر، اثر پارامتر سوم را بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که، مقادیر پارامترها بر اساس این فرض که جرم ، ضرایب سختی و میرایی جاذب نسبت به سیستم اصلی ناچیز است، انتخاب شده اند. مقادیر پارامترهاي سیستم غیر خطی اصلی عبارتند از:

حالت اول: اگر m2  0.2kg ، k4 1.5 - N / m - ، به ازاي سه ،مقدار مختلف براي C تغییرات در شکل - ٢ - نشان داده شده است.

شکل٢: بررسی اثر تغییرات C به ازاي m2  0.2kg ، - k4 1.5 - N / m

حالت دوم: اگر m2  0.2kg ، C0.06 - N.s / m - ، به ازاي پنج مقدار مختلف براي k4 تغییرات در شکل - 3 - نشان داده شده است.

شکل٣: بررسی اثر تغییرات k4 به ازاي m2  0.2kg ، - C 0.06 - N.s / m

حالت سوم: اگر C  0.1 - N.s / m - ، k4  2 - N / m - ، به ازاي چهار مقدار مختلف براي m2 تغییرات در شکل - ۴ - نشان داده شده است.

در حالت اول با افزایش ضریب میرایی، دامنه ارتعاشات کاهش می یابد، اما در حالت هاي دوم و سوم نظم خاصی وجود ندارد . در واقع نمی توان معیار مطلقی را براي تعیین مقادیر بهینه جرم و ضرایب سختی و میرایی جاذب مطرح کرد. اما با توجه به اینکه جمله h1 در منحنی پاسخ فرکانسی - - 5 بیشترین تاثیر را در کاهش دامنه نوسانات دارا می باشد، و از طرفی h1 نیز به F0 ، m و μ2 وابسته است، به بررسی بیشتر h1 می پردازیم. اگر h1 را ساده کنیم خواهیم داشت:

که درآن m - جرم سیستم اصلی - داراي مقداري مشخص و ثابت است. بنابراین تاثیر اصلی مربوط به C و F0  1 − - ω12 / ω2 2 - است. C با فرض هاي انجام شده باید داراي مقدار کوچکی باشد، از طرفی با توجه به وابستگی مقدار F0 به نسبت ω2 / ω1 و اینکه ω2 / ω1 به مقادیرm2 و k4 وابسته است، با انجام شبیه سازي عددي به ازاي مقادیر مختلف m2 ، k4 وC و با استناد به مرجع [10]  می توان گفت، که اگر ω2 / ω1 بین ٠٫٧ تا ٠٫٩ باشد، می توان انتظار یک عملکرد مناسب را داشت.

ضمنا این نسبت با دور نگهداشتن فرکانس جاذب از فرکانس خطی متناظر سیستم بعد از اضافه شدن جاذب، از ایجاد تشدید داخلی - 1:1 - جلوگیري می کند. به عنوان مثال اگر براي سیستمی که دراین مقاله مورد بررسی قرارگرفته است، یک جاذب با جرم 0.2kg و k4  2.5 - N / m - و C  0.1 - N.s / m - در نظر بگیریم، در این حالت ω2 / ω1  0.877 می باشد، یک عملکرد مناسب را شاهد خواهیم بود - شکل۵ - . در شکل ۵ مشاهده می شود که پدیده پرش و همچنین دو شاخگی نقطه زینی حذف شده و رفتارسیستم غیرخطی به صورت شبه خطی در آمده است. ضمنا بازه فرکانسی به اندازه 0.6719 - rad/sec - به سمت چپ منتقل شده است.

شکل:4 بررسی اثر نغییرات جرم جاذب به ازاي c  0.1 - N.s / m - و k4  2 - N / m - بر پاسخ فرکانسی

شکل: 5 مقایسه پاسخ فرکانسی سیستم غیرخطی باو بدون جاذب