بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، به ارائهی روشی برای کاهش مرتبهی سیستم های چند ورودی- چند خروجی - - MIMO، توسط زیرفضای کرایلف گویای تطبیقی، الگوریتم تکراری آرنولدی بلوکی، توابع متعامد لاگر و الگوریتم ژنتیک پرداخته شده است. در این روش، تابع انتقال سیستم بر مبنای توابع متعامد لاگر، به ازای مقادیر مختلف پارامتر تابع لاگر بسط داده شده و از ضرایب بسط لاگر و یک الگوریتم آرنولدی بلوکی اصلاح شده برای تشکیل زیرفضای کرایلف گویا استفاده شده است.
مقادیر مختلف برای پارامتر تابع لاگر، از طریق بیشینه کردن خطای ماندهی ماتریس ورودی سیستم و توسط الگوریتم ژنتیک تعیین میشوند. با تعیین ماتریس پایه ی زیرفضای کرایلف با استفاده از الگوریتم آرنولدی، فضای حالت سیستم مرتبهی بالا به زیرفضای کرایلف تصویر شده و سیستم مرتبه ی بالا تقریب زده میشود. این روش دارای مزایای زیادی از قبیل تضمین پایداری، حفظ پسیو بودن سیستم و همچنین دقت بالا در حوزهی فرکانس میباشد. در پایان یک مدل ابعاد وسیع با استفاده از روش پیشنهادی کاهش مرتبه داده شده و با روشهای پیشین مقایسه شده است. نتایج نشان دهندهی دقت بالای روش پیشنهادی میباشد.
-1 مقدمه
امروزه در بسیاری از حوزههای مهندسی توصیف دقیق سیستمهای پیچیده، منجر به معادلات دیفرانسیل با مرتبهی بالا میشود که شبیه سازی، بهینه سازی، آنالیز و یا طراحی کنترل کننده برای چنین سیستمهایی غیرعملی و یا حتی ناممکن میشود. یک رهیافت برای غلبه بر چنین مشکلاتی، کاهش مرتبهی سیستمها میباشد.کاهش مرتبهی سیستم منجر به کاهش پیچیدگیهای محاسباتی، پیچیدگیهای سخت افزاری، کاهش زمان شبیه سازی و در نتیجه کاهش زمان طراحی و تحلیل سیستم میگردد.
تاکنون روشهای متعددی برای کاهش مرتبهی سیستم های ابعاد وسیع ارائه شده است. روشهای مبتنی بر تصویرسازی مانند برش متعادل، روش نرم هانکل و روشهای زیرفضای کرایلف1، گستره ی وسیعی از روشهای کاهش مرتبهی سیستم را شامل میشوند
در این روشها فضای حالت سیستم ابعاد وسیع با استفاده از ماتریسهای تصویرساز به یک زیرفضا با ابعاد کوچکتر تصویر میشود. روش برش متعادل و روش هانکل دقت بالایی دارند و پایداری سیستم مرتبه کاهش یافته را تضمین میکنند، اما به دلیل نیاز به محاسبهی تحقق بالانس شدهی سیستم و همچنین محاسبهی گرامیانهای کنترل پذیری و رویت پذیری و حل معادلات ماتریسی لیاپانوف، حجم محاسبات و پیچیدگی این روشها بالا میباشد. یکی از موفق ترین روشها برای کاهش مرتبه سیستمهای ابعاد وسیع،روشهای مبتنی بر زیرفضای کرایلف است.
در این روشها نیازی به محاسبهی تحقق بالانس شدهی سیستم نیست و برای تعیین مدل کاهش یافته از عملیات برداری - ماتریسی و الگوریتمهای تکراری استفاده میشود. لذا این روشها از نظر محاسباتی ساده ترند. در روش کاهش مرتبه از طریق زیرفضای کرایلف، بسط سری تیلور تابع انتقال سیستم ابعاد وسیع حول یک فرکانس تعیین میشود. ضرایب بسط سری تیلور یک زیرفضای کرایلف تشکیل میدهند. سپس با استفاده از الگوریتمهای تکراری مانند الگوریتم آرنولدی2 یک ماتریس پایه برای زیرفضای کرایلف تعیین میشود. سپس از این ماتریس پایه به عنوان ماتریس تصویرساز برای کاهش مرتبه سیستم استفاده میشود.
در روش زیرفضای کرایلف گویا3 با انتخاب چند فرکانس و انجام بسط تیلور حول آنها، خطای بین مدل ابعاد وسیع و مدل کاهش یافته در فرکانس های انتخاب شده کاهش مییابد. بنابراین این روشها دقت بالاتری دارند 3@،.>2 در روشهای زیرفضای کرایلف گویای تطبیقی4، برای انتخاب فرکانسها از یک تابع خطا استفاده میشود. تابع خطا، تقریبی از خطای بین مدل ابعاد وسیع و مدل مرتبه کاهش یافته را در هر تکرار از الگوریتم نشان میدهد. در این حالت به منظور کاهش خطای تقریب، فرکانسها در نقاطی انتخاب میشوند که نرم تابع خطا در این نقاط بیشینه است
روش تطبیقی نسبت به سایر روشهای فضای کرایلف دقت بالاتری دارد. همچنین نیازی به انتخاب اولیه فرکانسها نیست. روشهای کاهش مرتبه مبتنی بر زیرفضای کرایلف برای سیستمهای SISO و MIMO ارائه شده است. در حالت کلی برای کاهش مرتبه سیستمهای چند ورودی - چند خروجی با استفاده از زیر فضای کرایلف، الگوریتم آرنولدی بلوکی5 پیشنهاد شده است.
فرم بلوکی الگوریتم آرنولدی باعث وابستگی خطی ستونهای ماتریس پایه زیر فضای کرایلف میشود. از آنجایی که زیر فضای اسپن شده توسط ستونهای ماتریس پایهی زیرفضای کرایلف، رفتار ورودی - خروجی مدل کاهش یافته را تعیین می-کند، بنابراین تعدادی از ستون های ماتریس پایه به دلیل وابستگی خطی، تاثیری در کاهش خطای تقریب مدل ندارند. با استفاده از الگوریتمهای deflation میتوان تعدای از ستونها را حذف کرد. یک رهیافت ارائه شده برای حل این مسئله، استفاده از تجزیهی مقادیر تکین برای حذف ستون های وابسته خطی میباشد
با وجود اینکه روشهای فضای کرایلف از نظر محاسباتی سادهاند و دقت خوبی دارند اما در حالت کلی پایداری سیستم را تضمین نمیکنند. یک رهیافت ارائه شده برای حل این مسئله، استفاده از توابع متعامد به جای سری تیلور در بسط تابع انتقال سیستم میباشد.
در این رهیافت، بسط لاگر تابع انتقال به ازای یک پارامتر آلفا - پارامتر تابع لاگر - تعیین میشود. سپس با استفاده از روش فضای کرایلف کاهش مرتبه انجام می شود. با استفاده از بسط لاگر پایداری سیستم تضمین شده و پسیو بودن سیستم نیز حفظ میشود. در این روش دقت تقریب به انتخاب پارامتر آلفا بستگی دارد.
در این مقاله با استفاده از بسط لاگر و روش زیرفضای کرایلف گویای تطبیقی و الگوریتم ژنتیک به ارائهی روشی برای کاهش مرتبه سیستمهای ابعاد وسیع چند ورودیی - چند خروجی پرداخته شده است. در این روش از
توابع لاگر برای بسط تابع انتقال سیستم استفاده شده است. سپس از ضرایب لاگر و یک الگوریتم آرنولدی بلوکی اصلاح شده برای ساخت زیرفضای کرایلف گویا استفاده میشود. برای ساخت زیرفضای کرایلف گویا، مقادیر مختلفی از پارامتر تابع لاگر مورد نیاز است. برای این منظور خطای ماندهی6 ماتریس ورودی سیستم برآورد شده، سپس با استفاده از الگوریتم ژنتیک، مقدار پارامتر تابع لاگر در نقطهای انتخاب میشود که خطا بیشینه شود. برای نشان دادن توانایی و دقت روش پیشنهادی، یک مدل ابعاد وسیع با استفاده از روش پیشنهادی کاهش داده شده است و با برخی روش های رایج کاهش مرتبه مقایسه شده است.
در ادامه مقاله به شرح ذیل سازماندهی میشود:
در بخش 2 مروری بر روش کاهش مرتبه بر مبنای تصویرسازی، زیرفضای کرایلف و الگوریتم آرنولدی صورت گرفته است. در بخش 3 به معرفی توابع لاگر، بسط لاگر تابع انتقال سیستم و زیرفضای کرایلف بر مبنای توابع لاگر پرداخته شده است. در بخش 4 روش پیشنهادی برای کاهش مرتبه ارائه گردیده است. در بخش 5 شبیه سازی و نتایج ارائه گردیده است و در بخش 6 نتیجه گیری ارائه شده است.
-2 کاهش مرتبه بر مبنای تصویرسازی
سیستم ابعاد وسیع نشان داده شده در ساختار فضای حالت زیر را در نظر بگیرید:
x - t - بردار متغیر حالت مدل ابعاد وسیع و دارای بعد n میباشد. در روش کاهش مرتبه بر مبنای تصویرسازی، بردار متغیر حالت - x - t با یک بردار با بعد q تقریب زده میشود:
ماتریس V ، ماتریس تصویرساز است. معادلات دینامیکی سیستم کاهش یافته به صورت رابطهی - 3 - است:
یک روش برای بدست آوردن ماتریسهای تصویر ساز، روش زیرفضای کرایلف میباشد. در سیستمهای SISO، با استفاده از ماتریس A در نمایش فضای حالت سیستم و بردار ورودی سیستم،b، زیرفضای کرایلف به صورت رابطهی - 4 - ساخته میشود:
بردار b ،بردار آغازگر است. نماد زیرفضای کریلف و m بعد زیر فضای کرایلف است. برای سیستم های چند ورودی - چند خروجی از زیرفضای کرایلف بلوکی به صورت رابطهی - 5 - استفاده میشود.
چون سیستم چند ورودی است، در این حالت p بردار آغازگر وجود دارد.
درکاهش مرتبه به روش تصویرسازی و با استفاده از زیرفضای کرایلف، ماتریس پایهی زیرفضای کرایلف محاسبه شده و به عنوان ماتریس تصویرساز استفاده میشود. برای بدست آوردن ماتریس پایهی زیر فضای کرایلف الگوریتمهای تکراری مانند الگوریتم آرنولدی پیشنهاد شده است
-1-2 الگوریتم آرنولدی بلوکی
یک الگوریتم تکراری برای محاسبه ماتریس پایه زیرفضای کرایلف، الگوریتم آرنولدی میباشد. با استفاده از الگوریتم آرنولدی یک پایهی متعامد برای زیرفضای کرایلف تعیین میشود. برای متعامدسازی از الگوریتم گرام - اشمیت7 استفاده شده است.>2@ الگوریتم آرنولدی بلوکی در جدول - 1 - آورده شده است. ماتریسهای A و B ، ماتریسهای فضای حالت سیستم و m ، مرتبهی مدل کاهش یافته و بعد زیرفضای کرایلف است. V ∈ Rn ×m ماتریس پایهی زیرفضای کرایلف است.
جدول:1 الگوریتم آرنولدی بلوکی
در هر تکرار از الگوریتم آرنولدی، یک بلوک که شامل p بردار است به ماتریس پایه اضافه میشود. p ، برابر با تعداد ورودیها در سیستم MIMO است. هر کدام از این بردارها یک جهت را برای سیستم تعیین میکنند و زیرفضای اسپن شده توسط این بردارها رفتار ورودی - خروجی مدل کاهش یافته را تعیین میکند
در صورتی که این بردارها وابسته ی خطی باشند، تعدادی از بردارها در انعکاس ویژگیهای اصلی مدل ابعاد وسیع به زیرفضای کرایلف مورد نظر و در نتیجه کاهش خطای تقریب، نقشی ندارند و حاوی اطلاعات تکراری هستند. یک راهکار ارائه شده برای رفع این مشکل، استفاده از تجزیهی مقادیر تکین برای کاهش و یا حذف وابستگی خطی بردارها میباشد. طبق این راهکار، در اولین تکرار از الگوریتم آرنولدی، ماتریس پایه برابر با V =[ b1 b2 ....b p ] است. در تکرار دوم، p کاندید برای بردار بعدی ماتریس پایه وجودارد:
به منظور کاهش وابستگی خطی، از بین این p بردار، برداری انتخاب می-شود که کمترین میزان وابستگی خطی با بردارهای ماتریس پایه حاصل از تکرار اول را داشته باشد. بر اساس راهکار ارائه شده، تجزیهی مقادیر تکین را برای ماتریس V =[ b1 b2 ....b p Abi ] به ازای i =1,2,....,pمحاسبه میکنیم. کوچکترین مقدار تکین حاصل از این تجزیه را به عنوان معیار ناوابستگی خطی در نظر میگیریم. سپس برداری را انتخاب میکنیم که کوچکترین مقدار تکین بزرگتری دارد. جدول - 2 - این الگوریتم را نشان می دهد. ماتریس های A و B ، ماتریسهای فضای حالت سیستم و m ، مرتبه ی مدل کاهش یافته و بعد زیرفضای کرایلف است
