بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کنترل بهینه مدل شکارچی-شکار با استفاده از الگوریتم بهینه سازي ذرات
خلاصه.در این مقاله سعی بر این شده است تا با استفاده از الگوریتم بهینه سازي ذرات((psoبه کنترل بهینه دینامیک شکارچی- شکار بپردازیم.براي این منظور مدل ساده شکارچی-شکار لوتکا ولترا را در نظر می گیریم و یک تحلیل ساده براي پایداري آن بیان می شود.سپس سه حالت کنترلی را مورد بررسی قرار می دهیم،یعنی ورودي تنها به دینامیک شکار یا تنها به دینامیک شکارچی اعمال شود و حالتی که ورودي به هر دو یعنی شکارچی و شکار اعمال شود.در پایان نتایج شبیه سازي ارائه خواهد شد.
-1 مقدمه
دینامیک هاي جمعیتی در خیلی از مسائل واقعی مانند اقتصاد زیستی،سرطان،تومور،تخریب زیستگاهی [1-5] کاربرد دارند.ساده ترین مدلی که می توان براي سیستم هاي شکارچی- شکار بیان کرد مدلی است که توسط لوتکا و ولترا[5,6]ارائه شده است.در این مدل تعامل بین دو گونه زیستی با ساده ترین پارامترها بیان شده است که بعدها با در نظر گرفتن رشد لوجستیک و پاسخ تابعی هاي دیگر این مدل تعامل بین دو گونه را واقعی تر نمایش می دهد.پاسخ تابعی که توسط هولینگ[7]ارائه شده است به پاسخ تابعی نوع 2 یا پاسخ تابعی نوع هولینگ معروف می باشد که رشد شکارچی را محدود می کند.ساختار مدل شکارچی-شکار لوتکا ولترا یک مدل بسته می باشد که وابسته به مرگ و تولید گونه ها می باشد.مدل هاي شکارچی- شکار دیگري با ساختارهاي دیگري مثل مدل شکارچی-شکار با ساختار طبقه اي،ساختار غیر همگن،تصادفی و شبکه اي تصادفی[8-11] در نظر گرفته شده است. با توجه به مواردي که ذکر گردید در مقالات مختلف مدل هاي شکارچی-شکار با مواردي همچون کنترل بهینه،دوشاخه اي،تاخیر زمانی و پارامترهاي نامشخص بحث شده است.در مقاله حاضر هدف بررسی روش
جدیدي براي کنترل این مدل ها می باشد که به جاي استفاده از کنترل بهینه از الگوریتم بهینه ذرات (pso) براي بدست آوردن ورودي مطلوب استفاده شده است.براي این منظور از مدل ساده شکارچی- شکار استفاده شده است.
در سال هاي اخیر، هوش جمعی((swarm intelligence به عنوان شاخه اي از تکنیک هاي هوش مصنوعی مطرح شده است و توجه بیشتر محققین را به خود جلب نموده و براي حل مسائل مختلف موفق بوده است.یک swarm را می توان به عنوان یک گروه از عامل ها که با یک الگو رفتاري معین براي رسیدن به برخی اهداف با یکدیگر هماهنگ شده اند در نظر گرفت.[12] مدل هاي مختلفی از هوش جمعی تحقیق و پیشنهاد شده اند ، که در این میان مدل هایی مانند کلونی مورچه ها [13,14]،بهینه سازي ازدحام ذرات [15,16] ،الگوریتم زنبور عسل [17,18] و کاوش میکروبی[19,20] بیشتر استفاده شده اند.
در واقع هوش جمعی با مدل هایی سروکار دارد که عامل ها به طور ساده و محلی با یکدیگر و محیط خودشان تعامل دارند که منجر به ایجاد طرح تابعی همسان نوظهور می گردد.[21]این مدل ها از رفتار اجتماعی حشرات و دیگر حیوانات الهام گرفته اند.[22]از دیدگاه محاسباتی هوش جمعی الگوریتم هاي محاسباتی هستند که براي مسائل بهینه سازي توزیع شده مفید می باشند.مبانی اصلی هوش جمعی مبتنی بر الگوریتم هاي جستجوي احتمالی می باشد.همه مدل هاي هوش جمعی یک تعداد خصوصیات عمومی را ارائه می کنند.[23]هر وجود از یک swarm از یک عامل ساده ساخته شده است.ارتباط بین عامل ها در واقع غیرمستقیم و کوتاه است. هماهنگی میان عامل ها به صورت توزیع شده و بدون یک مکانیزم کنترل مرکزي می باشد.این خصوصیات مدل هاي هوش جمعی را براي توسعه دادن آسان می سازد،به طوري که درجه بالایی از سختی((robustness حاصل می شود.در این مقاله از روش الگوریتم بهینه سازي ذرات((PSO براي بهینه سازي استفاده شده است که در بخش 3 به تشریح آن می پردازیم.
بخش هاي مختلف این مقاله به این ترتیب می باشد که،در بخش 2 به بیان مدل ساده شکارچی-شکار لوتکا ولترا می پردازیم و تحلیل ساده اي از پایداري این مدل مطرح می شود.در بخش 3 به بیان الگوریتم PSO پرداخته و در بخش 4 کاربرد این الگوریتم را در مدل شکارچی-شکار بیان می کنیم.در بخش 5 در پایان شبیه سازي هاي انجام شده ارائه می شود.
-2 مدل شکارچی-شکار لوتکا ولترا
در این بخش به بیان مدل ساده شکارچی-شکار لوتکا ولترا می پردازیم.در مقاله آقاي [24] SAN GOHاین مدل بیان شده است و از کنترل بهینه براي کنترل آن استفاده شده است.معادلات دینامیکی مدل در (1) به شرح زیر بیان شده است:
اعداد ثابت مثبت هستند. . و متغیرهاي حالت
سیستم می باشند که بیان کننده تغییرات فراوانی شکارو شکارچی را در تعامل با یکدیگر بیان می کند.نقطه تعادل سیستم
می باشد.اگر حالت سیستم در نقطه P باشد سطح جمعیت در نقطه P باقی می ماند.تغییرات گونه هاي سیستم با پارامترهاي و شرایط اولیه به صورت شکل((1 می باشد:
شکل(:(1تغییرات شکار و شکارچی
حال یک تحلیل ساده براي پایداري سیستم در نظر می گیریم.دو حالت ماندگار بدیهی در (2) و حالت ماندگار داخلی در (3) در نظر می گیریم:
(3) ماتریس ژاکوبین به صورت زیر است:
(4) اگر حالت ماندگار بدیهی را بررسی کنیم معادله مشخصه و مقادیر ویژه به صورت زیر بیان می شود:
(7) با توجه به مقادیر ویژه در (7) مشخص می شود که حالت ماندگار بدیهی یک نقطه زینی براي همه پارامترها می باشد.اگر حالت ماندگار داخلی را مورد بررسی قرار دهیم معادله مشخصه و مقادیر ویژه به صورت زیر بیان می شود:
با توجه به مقادیر ویژه بدست آمده چون مقادیر ویژه موهومی خالص می باشند،حالت ماندگار داخلی یک مرکز خنثی می باشد.همانطور که در معادلات((1 مشخص است مدل ساده شکارچی-شکار لوتکا ولترا تنها بیان کننده تغییرات فراوانی هاي دو گونه در تعامل با یکدیگر می باشد و مواردي مانند تاخیر زمانی،رشد لوجستیک و پاسخ تابعی نوع 2 لحاظ نشده است.در بخش 4 استراتژي کنترل مدل مورد نظر به تشریح بیان خواهد شد.
-3 الگوریتم بهینه سازي ذرات((PSO
الگوریتم Pso بوسیله کندي و ابرهارت[25] ارائه شده است.مکان و سرعت هر جزء بوسیله معادلات زیر بروزرسانی می شود:
در اینجا C1و C2ثابت هاي آموزش، و R2 وR1عددهاي تولید شده تصادفی بین 0 تا 1 هستند،g مکان سراسري بهترین جزء است(یعنی جزء با بهترین مقدار در همه گروه) و p مکان با بهترین مقدار ثبت شده بوسیله جزء تا کنون می باشد.محاسبه g درگیر با بازبینی همه مقادیر دیگر جزء هاي گروه است.مدل سراسري بهتر((gbestمدلی است که همه جزء ها با هم در ارتباط هستند و می توانند انتقال اطلاعات داشته باشند و این اصولا مدل اصلی الگوریتم Pso می باشد.
اصلاحات دیگري براي Pso اضافه شده اند که براي بهبود همگرایی آن می باشد. بیشترین تغییرات در رابطه با اصلاح محاسبه سرعت می باشد.معادله (11) روش اصلی محاسبه سرعت را نشان می دهد.ابرهارت و شی([26](shi مدل وزن اینرسی((inertia weight را معرفی کردند که سرعت هر جزء در تکرار t ام قبل از محاسبه سرعت در تکرار t+1 ام در یک پارامتر ثابت ضرب می شود ؛معادله (13)
اگرچه ضریب براي این مدل ثابت فرض شد ولی ابرهارت و شی در [27] بیان کردند که وزن اینرسی کاهشی به طور خطی باعث بهبود همگرایی الگوریتم Pso می شود.مقدار وزن اینرسی براي تکرار ام با استفاده از معادله زیر محاسبه می شود که و مقادیر اولیه و پایانی می باشند:
که مجموع تعداد تکرارها می باشد.کلرك و کندي( Clerc and [28](Kennedyاصلاحات دیگري را براي محاسبه سرعت به نام مدل فاکتور فشار را ارائه کرده اند.در این مدل سرعت با معادله((15 محاسبه می شود:
ثابت فاکتور فشار به صورت زیر محاسبه می شود:
که و یک ثابت قراردادي بین 0 و 1 می باشد.مقدار است.
در الگوریتم PSO استاندارد هر ذره براي حل بهینه فضاي تابع هدف را جستجو می کند.مکان و سرعت هر ذره به طور دینامیکی بروز می شود.بهترین مکان ذره تاکنون Pbest و بهترین مکان بین تمام ذرات gbest نامیده می شود.پروسه زیر را می توان براي الگوریتم استاندارد PSO در نظر گرفت :
(1 مکان و سرعت هر ذره مقدار دهی اولیه می شود.
(2 مقدار تابع هدف براي هر ذره محاسبه می شود.
Pbest (3 و gbest محاسبه می شود
(4 سرعت هر ذره با استفاده از معادله (11)،((13 و یا (15) بروز می شود
(5 مکان هر ذره با استفاده از معادله (12) بروز می شود.
(6 اگر تکرارها تمام شده یا به مقدار مطلوب رسیده باشد برنامه تمام است در غیر اینصورت گام 2
-4 کاربرد PSO در مدل شکارچی-شکار لوتکا ولترا
طبق [24] سه استراتژي کنترل را در نظر می گیریم.یعنی متغیر کنترل تنها به دینامیک شکارچی اعمال شود یا تنها به دینامیک شکار اعمال شود یا به هر دوي شکارچی و شکار اعمال شود.قبل از اینکه به این استراتژي ها بپردازیم در مورد پارامترهاي PSO و نحوه اعمال آن به دینامیک مورد نظر می پردازیم.براي اینکه بتوان از PSO به عنوان ابزار کنترلی براي یافتن ورودي بهینه استفاده کنیم دینامیک سیستم را با استفاده از روش رانگ-کوتا مرتبه 4 نمونه برداري می کنیم تا بتوانیم ورودي هایی که با PSO تولید می شود را به صورت لحظه به لحظه به دینامیک سیستم اعمال کنیم و با توجه به شاخصی که براي یافتن ورودي بهینه تعریف می شودحرکت ذرات را به سمت انتخاب بهترین ورودي سوق دهیم.به دلیل اینکه از رانگ-کوتا استفاده کرده و نمونه برداري می کنیم شاخصی که به صورت انتگرالی تعریف شده است تبدیل به مجموع شده سپس مقادیري که براي شاخص در هر لحظه بدست می آید با لحظه قیل جمع شده تا مقدار شاخص براي ورودي مرتبی که توسط PSO تولید شده است بدست آید.
مقدار گام نمونه برداري T=0.1 انتخاب شده است.مقادیر پارامترهاي PSO به شرح زیر می باشد:
ابتدا متغیر کنترل را فقط به دینامیک شکار اعمال می کنیم که معادلات سیستم و شاخص در (18) به صورت زیر می باشد:
متغیر کنترل می باشد و و زمان شروع و پایان می باشد.در مورد بعدي تنها متغیر کنترل به دینامیک شکارچی اعمال می شود که معادلات سیستم و شاخص در (19) بیان شده است:
در اخرین مورد متغیر کنترل به هر دو دینامیک اعمال می شود که در (20) نشان داده شده است:
متغیر کنترل بیان کننده میزان حذف هر گونه می باشد.با توجه به حالت هاي کنترلی که در نظر گرفته شد در بخش بعد نتایج شبیه سازي ارائه می گردد.
-5 شبیه سازي
با توجه به حالت هایی که در بخش 4 مطرح گردید و الگوریتم PSO بیان شده شبیه سازي هاي انجام شده به صورت زیر می باشد:
پارامترهاي وشرایط اولیه می باشند.اگر متغیر کنترل فقط به شکار تنها اعمال شود،میزان همگرایی شاخص،تغییرات دینامیک گونه ها و ورودي بهینه در شکل هاي (2) و (3) و (4) مشخص شده است:
اگر متغیر کنترل فقط به شکارچی تنها اعمال شود میزان همگرایی شاخص،تغییرات دینامیک گونه ها و متغیر کنترل در شکل هاي (5) و (6) و (7) نمایش داده شده است:
