بخشی از مقاله
چکیده:
در این مقاله یک سیستم توپ و تیر با دینامیک غیر خطی به کمک نرم افزار matlab مدلسازی شده است.در این پروژه سیستم توپ و تیر را با در نظر گرفتن عوامل غیرخطی مدل کرده و موقعیت توپ را طراحی و کنترل میکنیم، برای این کار ابتدا از یک کنترل کننده PID بکار برده تا بتوان سیستم را کنترل کرد. این کنترلکننده در برابر تغییرات ورودی، عکسالعمل سریعی داردو خطای حالت دائمی را کاهش میدهد و همچنین با انتخاب صحیح ثابت زمانی انتگرالگیر و بهره تناسبی، این کنترلکننده پایداری سیستم را افزایش میدهد.
و در مرحله بعد از یک جبرانساز پسفاز برای نقاطی خارج از روت لاکاس - مکان هندسی - استفاده شده، از این جبرانساز برای اصلاح خطای حالت پایدار سیستم که پاسخ گذرای مناسبی دارد، استفاده میشود در نهایت این نتیجه بدست آمد که کنترلر PID همراه با پسفاز، خطای حالت ماندگار را کاهش داده و سیستم را در حالت پایداری نگه میدارد بدون اینکه پایداری سیستم از بین برود.
مقدمه
سیستم توپ وتیر یکی از مثالهای اصلی سیستم کنترلی غیرخطی و ناپایدار است.این سیستم محبوب و یکی از مدلهای آزمایشگاهی مهم برای آمورش سیستمهای مهندسی کنترل میباشد، که برای مطالعه و پوشش طرحهای متعدد مدرن و کلاسیک استفاده استفاده می-شود. مکانیسم توپ و میله شامل یک تیر و یک توپ سخت بر روی آن است این توپ آزادانه در امتداد میلهها براساس تغییر زاویه میله می غلتد.
موقعیت تیر و میله با استفاده از یک سنسور مسافتسنج اندازهگیری میشود موقعیتی که توپ باید قرار بگیرد به وسیله سیگنال کنترلی الکتریکی که با راهاندازی موتور ایجاد میشود،کنترل میگردد.این تکنولوزی سیستم کنترلی خلقهباز ناپایدار است زیرا خروجی سیستم که موقعیت توپ میباشد،بدون محدودیت با ورودی ثابت - زاویه میله - افزایش مییابد
طرح مسئله
این سیستم تشکیل شده از یک چرخدنده ،یک بازو ، یک سطح شیدار و یک گوی که هدف نگه داشتن تعادل آن میباشد تو روی یک تیر قرار میگیرد با چرخیدن موتور و حرکت چرخدنده متصل به شفت موتور،سطح شیبداربه وسیله بازوی ارتباط دهنده چرخدنده و سطح شیبدار شروع به حرکت کرده و گوی در اثر گرانش روی سطح شیبدار به سمت بالا و پایین حرکت میکند و هدف حفظ تعادل این گوی میباشد.
شکل :1 نمایی از شکل طرح مسئله توپ و تیر
در این مسئله فرض بر این است توپ بدون لغزش میباشد واصطکاک ناچیز میباشد و جرم توپ 0,11 کیلو گرم، شعاع توپ 0,015 کیلوگرم، بازوی ارتباط دهنده 0,03کیلوگرم، شتاب گرانش 9,8 متر بر ثانیه، طول شیار 1,0 متر ، توپ در لحظه سکون 9,9 است. در این مسئله معیار طراحی را با زمان نشست 3 ثانیه و فراجهش 5 >درصد در نظر گرفته شده است.
معادلات حاکم بر مسئله:
مشتق دوم از زاویه ورودی در واقع مشتق دوم r را تحت تاثیر قرار میدهد ولی ما از اثر آن صرفنظر میکنیم.از لاگرانژ برای معادله حرکت توپ داریم:
از خطیسازی این معادله به ازای زاویه: ،تقریب خطی زیر را برای سیستم داریم:
- 2 - این معادله را که مربوط به زاویه چرخدنده میباشد را میتوان توسط معادله زیر به صورت خطی تقریب زد:
- 3 - با جایگذاری در معادله بالا داریم:
- 4 - با تبدیل لاپلاس معادله بالا داریم:
- 5 - تابع انتقال برای زاویه چرخدنده - - , وموقعیت توپ - - - R - sبه صورت زیر میباشد:
