بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله با معرفی نظریه برگ- ویلیامز به بررسی گذار فاز مربوط به سیاهچاله هاي کر در ابعاد زوج بالاتر از چهار بعد خواهیم پرداخت. همچنین اثرات افزایش بعد را بر روي دماهاي بحرانی و نوع گذار فاز مربوط به سیاهچاله ها مطالعه خواهیم کرد.
مقدمه
در سال 1970 به دنبال تحقیقات انجام شده توسط بکینشتینو1همکارانش، هاوکینگ نشان داد که در یک سیاهچاله ایستا2 دما با گرانش سطحی آن در ارتباط است. درها این شرایط سیاهچاله
همانند یک جسم ترمودینامیکی رفتار می کنند. در حضور ثابت کیهانشناسی منفی، سیاهچاله ها به صورت مجانبی به فضاي پاددوسیته میل خواهند کرد. در این فضا بر خلاف فضاي مینکوفسکی، سیاهچاله ها داراي ظرفیت گرمایی مثبت می باشند و بنابراین داراي پایداري ترمودینامیکی هستند. در این شرایطمی توان نشان داد با کاهش دماي سیاهچاله در فضاي پاد دوسیته ناپایداریهایی در آن ایجاد خواهد شد که از جملهبه می توان ناپایداري هاوکینگ-پیج3 که در طی یک گذار فاز مرتبه اول4 می رخ دهد اشاره کرد 4] ،3 ،2 ،. [ 1
یکی از نظریه هاي مطرح در مطالعه پدیده هاي بحرانی که با درنظر گرفتن تقریب میدان میانگین به بررسی گذار فاز موجدرود سیستم هاي ترمودینامیکی می پردازد نظریه لانداو5 می باشد . [5]اگر چه این نظریه در توصیف گذارهاي فاز مرتبهدارايدوم6کاربرد می باشد ولی در بررسی گذار فاز مرتبه اول به دلیل وجود ناپیوستگی در پارامتر نظم در طی گذشتن از دماي بحرانی نیاز به دقت بیشتري داریم. در واقع اگر این تغییر ناپیوسته در پارامتر نظم بزرگ باشد نمی توان یک بسط سري براي انرژي آزاد در نظر گرفت و نیازمند یک نظریه میدانتوصیفمیانگین کامل تري براي این گذار فاز - گذار فاز مرتبه اول - هستیم . نظریه برگ-ویلیامز7یک نمونه از این نوع نظریه هاي مطرح می باشد که براي توصیفهمه گذارهاي فاز منظم و نامنظم داراي کاربرد زیادي است.
درارجاع [6] با استفاده از این نظریه گذارهاي فاز موجود درسیاهچاله هاي باردار رایسنر نوردستروم8 مورد بررسی قرار گرفته است. در این مقاله با استفاده از نظریه برگ-ویلیامز به بررسی گذارهاي فاز موجود در سیاهچاله هاي کر-پاد دوسیته در ابعاد بالاتر اچهار بعد - ابعاد زوج - خواهیم پرداخت و اثرات افزایش بعد را برروي نوع گذار فاز و مقدار دماي بحرانی مربوطه بررسی خواهیم
کرد.سیاهچاله هاي کر در فضاي پادبعديدوسیته -d یکی از حل هاي معادلات اینشتین می باشد. متریک این سیاهچاله ها درمختصاتبویر لینکوییستدر9ابعادزوج و فرد به صورت زیر داده می-شود :[7]
همچنین روابط مربوط به گرانش سطحی و مساحت افق رویدادبراي ابعاد زوج عبارتند از:
بنابراین دماي هاوکینگ T 2 و آنتروپی S 4A مربوط به این سیاهچاله ها را با استفاده از روابط - 3 - و - 4 - می توان به صورتزیر بیان نمود:
روابط مربوط به سرعت زاویه اي Ω و تکانه زاویه اي J نیز به ترتیب عبارتند از:
همچنین به کمک قانون اول ترمودینسیاهچامیکله جرم M این براي ابعاد زوج به صورت زیر بیان می شود:
در ادامه با در نظر گرفتن روابط بیان شده به بررسی گذار فاز موجود در سیاهچالهخواهیمهاي کر در -dبعد - ابعاد زوج - پرداخت.گذارهاي فاز موجود درسیاهچاله هاي کر با ابعاد زوجبه کمک نظریه برگ-ویلیامزدر این بخش با در نظر گرفتن انرژي برآزاد برگ-ویلیامزحسب پارامتر نظم موجود و محاسبه مقدار کمینه این انرژي آزاد می توان به بررسی گذار فاز مرتبه اول در سیاهچاله هاي کر در ابعاد بالا - ابعاد زوج - پرداخت. با استفاده از روابط بیان شده درقسمت قبل، انرژي آزاد برگ-ویلیامز به صورت زیر داده می شود ]: [ 5
بنابراین به کمک روابط - 7 - و - 11 - می توان انرژي را به صورتتابعی از سرعت زاویه اي - Ω - ، پارامتر نظم - - r و بیاندما - T - کرد . همچنین بر اساس تعاریف بیان شده در نظریه برگ-ویلیامز براي گذار فاز مرتبه اول داریم :[5]
از روابط بیان شده در بالا، - 12 - ، براي گذار مرتبه اول و رابطه بهدست آمده براي انرژي آزاد برگ- ویلیامز مقادیر بحرانی دما Tcو rc در ابعاد مختلف قابل محاسبه هستند. این مقادیر بحرانی براي ابعاددر جدول10،،8 استd= 6 1 بیان شده با در نظر گرفتن انرژي آزاد برگ- ویلیامز به عنوان تابعی از Ω ،T و r می توان نمودار انرژي آزاد را بر حسب r براي مقادیر دماي بحرانی Tc بیان شده در جدول 1 و در Ω =0/5 ، l=1 دردماهاي بیشتر و کمتر از دماي بحرانی براي ابعاد 10، 8 ، d= 6رسم کرد.نمودار مربوط به انرژي آزاد بر حسب r براي d=6 ، l=1 و۵/٠Ω= در دماي بحرانی Tc و T Tcو T Tc در شکل 1رسم شده است.
در دماي بحرانی Tc و دماهاي T Tc ، دو مقدار کمینه براي انرژي آزاد نشان داده شده که بیانگر یک گذار فاز ناپیوسته - گذار فاز مرتبه اول - می باشد. در دماهاي کمتر از دماي بحرانی T Tc این مقادیر کمینه و یا به عبارت دیگر این جهش در پارامتر نظم دیده نمی شود.همچنین نمودار مربوط به انرژي آزاد بر حسب r براي ابعاد 10، 8 ، d=6، l=1 و ۵/٠Ω= در دماهاي بحرانی Tc داده شده در جدول 1 براي ابعاد مختلف در شکل 2 نشان داده شده است. با افزایش بعد مقدار rc که در آن انرژي آزاد داراي مقدار کمینهمی باشد کاهش پیدا می کند و این دو مقدار کمینه انرژي آزاد به یکدیگر نزدیکتر خواهند شد. نمودار مربوط به تغییرات پارامتر نظم بحرانی rc بر حسبنیزبعد در شکل 3 نشان داده شده است.
