پاورپوینت کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی

اسلاید 2 :

مقدمه ای بر موجک
تقریب توابع یک متغیره با موجک Haar
چگونگی حل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک Haar
نتایج
سرفصل ها

اسلاید 3 :

موجک ها ◀ مجموعه ای از توابع متعامد پایه
کاربردهای زیادی در زمینه­ی ریاضیات، فیزیک، علوم کامپیوتر و مهندسی
برای مثال فشرده­سازی اطلاعات اعم از تصویر، حذف نویز اطلاعات، پردازش سیگنال اعم از تصویر یا صدا، آنالیزهای عددی[1]
استفاده از موجک در آنالیز­های عددی معادلات دیفرانسیل
معمولی یا پاره­ای
در مطالعه ی پدیده های طبیعی و آزمایش های عملی، نتیجه ی آزمایش به حل یک معادله­ی دیفرانسیل منجر می شود.

اسلاید 4 :

موجکHaar به علت سادگی◀ محبوبیت بیشتری نسبت به سایر موجک ها[1]
موجک توانایی همگرایی دقیق­تری در مقیاس محلی دارد.
یکی از دلایلی برتری آنالیز موجک بر سایرتقریب ها ◀ میل سریع ضرایب حقیقی توابع پایه آن به ازای کلاس های مختلف از سیگنال ها
خانواده ی موجک Haar با مقیاس دودویی:
انتقال:
تغییر مقیاس:
انتقال و مقیاس:

تقریب توابع یک متغیره با موجکHaar
 

اسلاید 5 :

خانواده ی موجک مادرHaar:
سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران
تقریب توابع یک متغیره با موجکHaar

اسلاید 6 :

J بیشتر، دقت بیشتر!

تقریب توابع یک متغیره با موجکHaar
تقریب با موجک
تقریب سری فوریه
و پدیده گیبس

اسلاید 7 :

عدم امکان استفاده مستقیم از موجکHaar به علت ناپیوستگی! چاره؟
هموارکردن موجک Haar با استفاده از درون یابی[1] ◀ موجب پیچیدگی زیاد.
تبدیل مشتق ها به انتگرال ها[2] ◀ انتگرال گرفتن (به جای مشتق) ◀ از بین رفتن مشکل ناپیوستگی
لذا میتوان یک معادله ی دیفرانسیل را به یک معادله ی جبری تبدیل کرد.
با مشخص بودن دسته توابع پایه(در اینجا Haar) ◀ میتوان ساختارهایی ایجاد کرد که در هر محاسبه با پیش فرض مشخص بودن آنها به حل معادله پرداخت! ◀ افزایش سرعت محاسبات
برای انجام آنالیز ◀ نیاز به گسسته سازی روی زمان:

حل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک

اسلاید 8 :

دو ماتریس به عنوان ابزار حل معادلات با پایه های موجکHaar معرفی میشود[3]:
ماتریس H : برای خود توابع موجک
ماتریس P : برای ایجاد انتگرال توابع از روی تقریب با ماتریس H
ماتریس :
چند خانواده ی اول:

اسلاید 9 :

ماتریس [1]:
چند خانواده ی اول:

اسلاید 10 :

در نشان [1] داده شده است که می توان ماتریس P را از رابطه ی بازگشتی زیر بدست آورد:

محاسبه ی ماتریس P و H تنها برای بار اول کافی است![2]
با یکبار محاسبه، می توان آنها را برای هر معادله­ی دلخواه بکار برد.

اسلاید 11 :

اگر تقریبی از بر اساس ماتریس ضرایب مجهول باشد:
H : ماتریس پایه های موجک.
X : ماتریس ضرایب.
هدف: بدست آوردن به صورت یک عبارت ماتریسی بر اساس :

اسلاید 12 :

در حالت کلی داریم:

اگر را به عنوان مبدا آنالیز در نظر بگیریم:

با توجه به رابطه فوق ◀ بدیهی است هر ODE را می توان بصورت جبری حل کرد.
X مجهول است!

اسلاید 13 :

معادله ی زیر را در نظر می گیریم:
داریم:

مقادیر مقابل را در نظر بگیرید:

جواب دقیق به این صورت است:

مثال و نتایج

اسلاید 14 :

جواب نهایی به اینصورت است:



نتیجه ی محاسبه ی ماتریسی با استفاده از موجک بصورت زیر است:

مثال و نتایج
2M=128
2M=512

اسلاید 15 :

معرفی کلی موجک ها◀موجک Haar◀ استفاده برای تقریب توابع◀حل ODE
روشی ساده و در عین حال روشی سریع
امکان استفاده از ساختار های محاسباتی اسپارس
امکان ذخیره سازی ماتریس های P و H برای دقت های بالا
قابلیت استفاده برای حل معادله خطی با ضرایب متغیر با زمان
نیازمند آنالیز پایداری برای مرتبه های بالا است ◀به علت خطی سازی محلی[2][1]
گستردگی معادلات انتگرال-دیفرانسیل ◀بررسی دقیق موردی روش ها
امکان ترکیب چنین روشی با سایر روش های عددی وجود دارد:
Wavelet-Galerkin ◀[3] PDE
Wavelet Finite Element Method ◀PDE
…
جمع بندی و کارآینده

اسلاید 16 :

با تشکر از توجه شما!
سوال/پیشنهاد/انتقاد؟