پاورپوینت محاسبات عددی

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 2 :

نــام درس: محاسبات عددی
تعداد واحد: 2 واحد

اسلاید 3 :

فهرست
فصل اول : خطاها
فصل دوم: حل معادلات غیر خطی
فصل سوم: حل معادلات چند جمله ای
فصل چهارم : درونیابی
فصل پنجم: مشتق گیری وانتگرالگیری
فصل ششم: حل عددی معادلات دیفرانسیل

اسلاید 4 :

برای تعیین جواب یا جوابهای یک مسئله واقعی باید مدل ریاضی آن را بسازیم
و پس از تعیین راه حلی مناسب برای رسیدن به جواب، با انجام محاسبات لازم
جواب را به دست آوریم. در این فرایند خطاهایی پیش می آید که انواع متفاوت
دارند. آشنایی با منشاء این خطاها ، نحوه بروز آنها و کنترل آنها موضوع این
فصل است.
فصل اول
خطاها
مقدمه

اسلاید 5 :

هدفهای کلی
شناخت منابع خطا و تشخیص آنها در هر مسئله

بررسی منابع خطا و راه های کمینه سازی آنها

شناخت انواع خطاها و رابطه آنها با دقت یک تقریب

جلوگیری از رشد خطاها در محاسبات عددی

شناخت روش های محاسبه پایدار و ناپایدار

محاسبه مقدار تقریبی توابع.

اسلاید 6 :

هدفها:
پس از مطالعه این فصل باید بتوانیم :

منشا خطاها را در یک مسئله واقعی تعیین کنیم
بسط اعداد را در مبنا های مختلف بنویسیم و از بسط اعشاری یک عدد، تقریبی
مناسب انتخاب کنیم.
انواع خطاها را بشناسیم و ارتباط آنها را با دقت یک تقریب بدانیم
یک محاسبه عملی را چنان ترتیب و به انجام برسانیم که رشد خطاها حداقل باشد.
محاسبه توابع و سری ها را با حداقل خطا و عملیات انجام دهد.

اسلاید 7 :

الف) خطای مدل
این خطا شامل صرفنظر کردنها، چشم پوشیها و ساده نویسیها جهت تعیین مدل ریاضی مسئله است.
ب) خطای داده ها
این خطا به هنگام اندازه گیری و برآورد مفروضات مسئله پیش می آید.
پ) خطای نمایش اعداد
نمایش اعشاری یا دودوئی اکثر اعداد با تعدادی متناهی رقم امکان پذیر نیست. از این رو، انتخاب تعدادی متناهی از ارقام بسط یک عدد سبب این خطا می شود.
ت) خطای اعمال حسابی
حاصل بعضی اعمال بر دو عامل عددی دارای تعداد نامتناهی رقم است و انتخاب
تعدادی متناهی از این ارقام سبب این خطا می شود.
ث) خطای روشروشهای عددی عموما تکراری هستند و تقریبی از جواب دقیق را به دست می دهند.
دقت این تقریب به نوع روش و مرحله توقف آن بستگی دارد.

اسلاید 8 :

تبصره
اگر ضمن انجام عملیات بر روی عدد 233 ، آن را233 منظور کنیم یک اشتباه
مرتکب شده ایم نه خطا .همچنین اشکالاتی که در اثر تغییر ناگهانی و شدید ولتاژ
برق برای کامپیوتر پیش می آید. و بعضاً موجب نتایج عددی غلط می شود را خطا
نمی نامیم. در این فصل تنها به بررسی خطاها می پردازیم .
از پنج منبع خطایی که ذکر شد خطای مدل و خطا ی داده ها به نوع مســـئله

بستگی دارند.و افرادی که در رشته های مختلف به تعیین مدل مسئله می پردازند

مسئول آنها هستند. اما، سه خطای بعدی مربوط به آنالیز عددی است.

در این فصل خطای نمایش اعداد وخطای اعمال حسابی را مورد بررسی دقیق قرار

می دهیم.معمولاً خطای هر روش هنگام بررسی آن روش مورد بحث قرار میگیرد

و کران بالایی برای خطای جواب های تقریبی به دست می آید.

اسلاید 9 :

1-2 نمایش اعداد
در اکثر مسائل، که درآنها جواب عددی مورد نظر است،معمولاً تعداد عملــیات

و نوع آنها به گونه ای است که انجام آنها با دست و به کمک قلم وکاغذ بســـیار

مشکل و گاهی غیر ممکن است.برای تعیین جواب عددی مسائل از ماشـــــین

حساب یا کامپیوتر استفاده می شود، که از این به بعد به آنها وسایل محاسباتی
می گوییم .
همانطورکه می دانید کار با کسرهای متعارفی و اعداد گنگ ( اصم) توسط ماشین

حساب و کامپیوتر عملی نیست(البته کار با کسرها به طور محـــدود در ماشین

حساب ها امکان دارد)،ولی براحتی می توان با اعداد اعشاری کار کرد.

اسلاید 10 :

1-2-1 بسط اعشاری اعداد
منظور از بسط اعشاری یک عدد مثبت نمایش آن به شکل

است که در آن
بسط فوق برای اعداد صحیح و اعشاری راحت است. مثلا،
اما برای اعداد کسری و کنگ باید وجود و نحوه به دست آوردن بسط اعشاری
را توضیح دهیم. در مورد وجود و یکتایی بسط اعشاری برای هر عــدد حقیقی
مثبت قضیه زیر را داریم.

اسلاید 11 :

که در آن و بی نهایت بار . شرط بی نهایت بار
برای یکتائی بسط لازم است زیرا ، طبق فرمول حد مجموع یک سری هندسی داریم:
1-2-2 قضیه
اگر A عددی حقیقی و مثبت باشد دارای بسط اعشاری منحصر به فرد زیر است:
یعنی اگر شرط مذکور را بر داریم برای عدد دو بسط اعشاری خواهیم داشت. همچنین داریم.

اسلاید 12 :

1-2-3 مثال
منظور از 142857 آن است که دسته ارقام 142857 ، با همین ترتیب ، مرتباً تکرار می شوند، همچنین در مورد6.
و بطور کلی ، هر عدد اعشاری مختوم (با تعدادی متناهی رقم) دارای دو بسط اعشاری خواهد بود.
در مثالهای بالا بسط مختوم و بسط بقیه اعداد نامختوم است. بسط نامختوم و متناوب است اما بسط نامختوم است ولی متناوب نیست(به قضیه زیر و نتیجه آن توجه کنید).

اسلاید 13 :

1-2-4 قضیه
اگر بسط اعشاری عدد Aمختوم یا نامختوم و متناوب باشد ، A یک عدد گویاست.
برهان
ابتدا فرض می کنیم که بسط اعشاری A مختوم باشد. مثلا،


که در آن ارقام قسمت صحیحA و ارقام بعد از ممیز هستند.
با این توضیحات داریم:

اسلاید 14 :

چون صورت و مخرج کسر اعداد صحیح هستند A گویـــاست.

حال فرض کنید بسط اعشاری A نامختوم و متناوب باشد. مثلا
طبق قرارداد قبلی ارقام مرتبا تکرار می شوند (توجــه کنید که ممکن
است m یا n صفر باشدکه در ایـن صورت یا وجــود نخواهـــد داشت). از (7.1) نتیجه می شود:

اسلاید 15 :

ضمنا داریم:

حد مجموع سری داخل پرانتز برابر است با
بنابراین،
در نتیجه ،
(1. 8)
که نشان می دهد A گویاست. (چرا؟)
عکس نقیض قضیه 1-2-4 نتیجه مهم زیر را به دست می دهد.

اسلاید 16 :

5-2-1 نتیجه
اگر A عددی کنگ باشد بسط اعشاری آن نامختوم است ولی متناوب نیست.
یکی از مسائلی که در این قسمت مطرح می شود نوشتن کسر مساوی یک عدد اعشاری نا مختوم و متناوب است . نحوه به دست آمدن این کسر در قضیه زیر آمده است.
1-2-6 قضیه
اگر آنگاه
(1. 9)

اسلاید 17 :

بنابر قضیه 1-2-4:
برهان
واضح است که ، و حکم ثابت شده است.

اسلاید 18 :

1-2-7 مثال
1- کسر مربوط به عدد اعشاری را به دست آورید.
بنابر رابطه (8.1) داریم:
و یا بنابر رابطه (9.1):
2- کسری را به دست آورید که بسط اعشاری آن باشد.

با توجه به قضیه 1-2-6 داریم:

اسلاید 19 :

بنابر (9.1):

اسلاید 20 :

با توجه به اینکه تعدادی محدود از ارقام بســــــط هر عدد در مبنای دو قابل نگهداری در حافظه وسایل محاسباتی است، نتیجه می گیریم که تقریبا تمامی اعداد غیر صحیح به طور تقریبی در حافظه این وسایل ذخیره می شوند و این یکی از ضعفهای مهم این وسایـــــل است که در عمل باعث مشکلات زیادی می شود .
بعدا خواهیم دید که خطای جزئی که در ذخیره اعداد پیش می آید گاهی سبب به دست آوردن جوابهای غیر قابل قبـــول برای بعضی مسائل می شود. یکی از مباحث بسیار مهم در آنالیز عددی نیز پیش بینی اثرات خطای نمایش اعداد در نتایج عددی است. در قسمتهــــای بعدی این فصل به برخی از این اثرات اشاره خواهیم کرد.