بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
کنترل پیش بین و پایداری
اسلاید 3 :
فهرست
معرفی کلی
کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت
شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت
نتایج اولیه
پایداری مجانبی
مثال حل شده
بحث های دیگر
اسلاید 4 :
1 - معرفی
پایداری حلقه بستهی یک سیستم امری حیاتی برای ادامهی کار آن سیستم میباشد.
حتی در حالتی که الگوریتم بهینهسازی برای مسئله یک پاسخ بهینه پیدا کند، این امر پایداری حلقه بسته سیستم را تضمین نخواهد کرد (حتی اگر مدل مورد استفاده بسیار دقیق باشد).
مثالهای متعددی نشان میدهند که الگوریتمهای کنترل پیشبین میتوانند ناپایدار شوند.
تکنیکها برای تضمین پایداری سیستم کنترل شده بر اساس پیشبینی مدل :استفاده از
جریمههای نهایی Terminal Penalty))
قیود (Constraints )
توابع لیاپانوف (Lyapunov functions)
مجموعههای نامتغیر (Invariant sets)
اسلاید 5 :
پیشنهادات اصلی دربرخورد با مشکل پایداری MPC :
افق بینهایت (Keerthi and Gilbert) :
افزایش افقهای پیشبینی و کنترل تا بینهایت
به علت بینهایت بودن متغیرهای تصمیمگیری در هر زمان نمونه برداری : غیر قابل اعمال به صورت مستقیم
قیود نهایی (Keerthi and Gilbert) :
با اضافه کردن یک قید روی حالت نهایی به فرم پایداری تضمین میشود.
بااین قید در پایان افق محدود حالت صفر خواهد شد و در نتیجه ورودی کنترلی نیز صفر خواهد بود و (اگر اغتشاش وجود نداشته باشد) سیستم در مبدا میماند.
هزینهی محاسباتی اضافه میکند و باعث افزایش محدودیت ناحیهی عملکرد میگردد.
اجرای عملی آن مشکل است.
کنترل دوگانه (Michalska and Mayne) :
دراینایده یک ناحیه حول حالت نهایی تعریف میشود که سیستم میتواند با استفاده از یک کنترل کنندهی فیدبک حالت خطی حالت نهایی را داخلاین ناحیه هدایت کند و به مبدا برساند.
افق شبه بینهایت (Chen and Allg¨ower)
اسلاید 6 :
هدف : ارائه ی یک کنترل پیش بین غیر خطی با پایداری مجانبی تضمین شده
این روش می تواند هم به سیستم های پایدار و هم ناپایدار اعمال شود.
مسئله ی MPC در حلت کلی : حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز با افق محدود و براساس دینامیک سیستم (خطی یا غیر خطی) و قیودی که شامل حالت ها و ورودی ها هستند.
این فرم کلی MPC پایداری حلقه بسته را به خودی خود تضمین نمی کند.
پایداری حلقه بسته می تواند با انتخاب مناسب پارامتر های طراحی، مانند افق پیش بینی، افق کنترل و ماتریس های وزنی حاصل گردد.
2 - کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت
اسلاید 7 :
آنچه در این جا ارائه می شود :
معرفی یک MPC غیر خطی با افق شبه بی نهایت
تابعی هدف : شامل یک هزینه با افق محدود و یک هزینه ی نهایی
قیود : دینامیک سیستم، قیود روی ورودی و یک قید ناساوی برای حالت نهایی
امکان پذیری قید حالت نهایی یعنی: حالت ها در پایان افق محدود در یک ناحیه نهایی از پیش مشخص شده ای قرار می گیرند.
حالت های نهایی چنان جریمه می شوند که هزینه ی نهایی، هزینه ی افق نامحدود سیستم غیر خطی کنترل شده با یک فیدبک حالت خطی محلی مفروض را محدود می کند.
کنترل کننده ی پیش بین غیر خطی پیشنهاد شده یک افق پیش بینی شبه بی نهایت دارد! اما دنباله ی ورودی کنترلی که قرار است محاسبه شود طبیعت محدود دارد.
اسلاید 8 :
اگر ژاکوبین خطی ساز سیستم غیر خطی ای که قرار است کنترل شود پایدار پذیر باشد، ان گاه پاسخ یکتا و مثبت معین متقارن یک معادله ی لیاپانوف مناسب می تواند به عنوان ماتریس جریمه ی نهایی در هزینه ی نهایی استفاده شود.
و یک همسایگی از مبدا می تواند به عنوان ناحیه ی نهایی به صورت خارج از خط محاسبه گردد.
پایداری مجانبی حلقه بسته : با امکان پذیری مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز در زمان t=0 تضمین می شود.
به صورت معمول در MPC، کنترل حلقه بسته با حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه در هر زمان نمونه برداری و بدون توجه به این که حالت ها داخل یا خارج از ناحیه ی نهایی قرار دارند محاسبه می شود.
هیچ سوئیچی بین کنترل کننده ها لازم نیست.
فیدبک حالت خطی محلی تنها برای محاسبه ی خارج از خط ماتریس جریمه ی نهایی و ناحیه ی نهایی استفاده می شود.
به همین علت روشی که در این جا ارائه می شود در مقایسه با سایر روش ها کلی تر بوده و از لحاظ محاسباتی بسیار جالب است.
اسلاید 9 :
3 - شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت
معرفی سیستم هایی که قرار با این روش کنترل شوند :
فرض های کلی :
فرض فرض محدود کنندهای نیست. زیرا اگر میتوان مبدا سیستم را به منتقل نمود.
فرض دیگر : قابل اندازهگیری بودن همهی حالتهای سیستم (چون در طراحی فیدبک حالت نیاز داریم.)
اسلاید 10 :
نماد گذاری :
اسلاید 11 :
مسئلهی بهینه سازی کنترل حلقه باز در زمان t و با حالت اولیهی x(t) :
: مسیر سیستم که توسط به دست میآید.
برای سادگی افق کنترل و پیشبینی یکسان در نظر گرفته میشوند.
مقدار اولیه در پیش بینی آینده : حالات واقعی سیستم در زمان واقعی t یعنی x(t)
قید ناساوی آخر حالتها را در پایان افق پیشبینی ، مجبور میکند که دریک همسایگی از مبدا (ناحیهی نهایی) قرار گیرند.
Q&P :Positive Definite Symmetric Weighted Matrix
Tp : Finite Prediction Horizon
Ω : Terminal Region
هزینه ی استاندارد افق محدود برای عملکرد کنترلی مطلوب
هزینه ی نهایی برای جریمه حالت ها در پایان افق محدود
اسلاید 12 :
Ω به گونه ای انتخاب می شود که برای سیستم غیرخطی کنترل شده توسط یک فیدبک حالت خطی محلی، نامتغیر باشد.
، هزینهی افق نامحدود سیستم غیرخطی که از Ω آغاز میشود و توسط فیدبک حالت خطی محلی کنترل میشود را محدود میکند، یعنی :
و نشان داده می شود که پایداری حلقه بسته به این صورت تضمین می شود.
ماتریس جریمه ی نهایی P همراه با ناحیه ی نهایی Ω به صورت خارج از خط به گونه ای تعیین می شود که ویژگی نامتغیر بودن Ω حفظ شده و قیود ورودی در Ω برآورده شوند.
اسلاید 13 :
هزینه ی افق نامحدود :
با جایگذاری داریم :
بنابراین افق پیشبینی کنترل کنندهی پیشبین پیشنهاد شده به شبه بی نهایت گسترش داده میشود.
پاسخ بهینه برای مسئلهی بهینه سازی (در صورت وجود پاسخ) :
مقدار هدف متناظر :
اسلاید 14 :
در چهارچوب MPC کنترل حلقه باز می تواند در دوگام در نظر گرفته شود :
روی یک افق محدود، یک دنباله ی ورودی بهینه با حل مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز به دست می آید که مدل سیستم غیرخطی را به ناحیه ی نهایی می برد.
یک کنترل فیدبک خطی محلی به گونه ای در نظر گرفته می شود که سیستم را به مبدا هدایت می کند.
نکته : فیدبک حالت خطی هیچ گاه مستقیما به سیستم اعمال نمی شود بلکه دنباله ورودی حاصل از کنترل پیش بین اعمال می گردد.
این فیدبک حالت تنها برای تعیین ماتریس جریمه ی نهایی P و ناحیه ی نهایی Ω ، به صورت خارج از خط استفاده می شود.
با شرط δ
اسلاید 15 :
4- نتایج اولیه
هدف : بیان نتایج اولیه در مورد ناحیه ی جذب و یک کران روی سیستم غیرخطی کنترل شده توسط فیدبک حالت خطی محلی برای تعیین ناحیه ی نهایی و ماتریس جریمه ی نهایی و اثبات پایداری مجانبی حلقه بسته
ژاکوبین خطی ساز سیستم (1) در مبدا :
اگر این ژاکوبین خطی ساز پایدار پذیر باشد آنگاه یک فیدبک حالت خطی میتواند به گونهای در نظر گرفته شود که پایدار مجانبی باشد.
اسلاید 16 :
لم 1 - فرض کنید ژاکوبین خطی ساز سیستم (1) در مبدا پایدار پذیر باشد. آنگاه :
معادلهی لیاپانوف ، یک پاسخ مثبت معین متقارن یکتا P به دست میدهد به طوریکه مثبت معین و متقارن است و شرط زیر را برآورده میکند :
یک ثابت چنان وجود دارد که یک همسایگی از مبدا را به فرم زیر مشخص میکند:
به طوریکه :
برای همهی داریم (یعنی کنترل کنندهی فیدبک خطی قیود ورودی را در برآورده میکند).
برای سیستم غیر خطی (1) که با فیدبک حالت خطی محلی کنترل میشود نامتغیر است.
برای هر هزینهی افق بی نهایت :
بر اساس سیستم غیر خطی (1) که از آغاز میشود و با فیدبک حالت خطی محلی کنترل میشود از بالا به صورت زیر کران دار است :
اسلاید 17 :
اثبات :
اسلاید 18 :
داریم :
چون نامساوی آخر بیان می کند که برای سیستم (1) کنترل شده با فیدبک حالت محلی نامتغیر است.
و هر مسیر از که در آغاز می شود در باقی مانده و به مبدا همگرا می شود.
اسلاید 19 :
در واقع نتایج موجود در لم 1 همان چیزیست که به دنبالش بودیم!
با قرار دادن داریم :
پاسخ P از معادله ی و ناحیه ی می تواند به عنوان ماتریس جریمه ی نهایی و ناحیه نهایی به کار گرفته شوند.
اسلاید 20 :
اکنون میتوان یک روند برای تعیین P و (بزرگترین مقدار ممکن برای ) به صورت خارج از خط ارائه داد :
گام 1) مسئلهی کنترل را بر اساس ژاکوبین خطی ساز برای به دست آوردن بهرهی فیدبک حالت خطی پایدار ساز K حل میکنیم.
گام 2) ثابت را به گونهای انتخاب میکنیم که نامعادلهی برآورده شود و سپس معادلهی لیاپانوف را برای به دست آوردن ماتریس متقارن و مثبت معین P حل میکنیم.
گام 3) برزگترین مقدار ممکن برای را به گونهای مییابیم که برای همهی داشته باشیم :
گام 4) – بزرگترین مقدار را به گونهای مییابیم که نامساوی زیر در برقرار باشد :
