بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
فصل سوم- روش سختی در تحلیل ماتریسی سازه ها
1- مقدمه:
-گفتیم که اگر هدف اصلی تحلیل سازه، تعیین تغییر مکان های دو انتهای عنصر یا به عبارت دیگر مشخص کردن تغییر مکان های مربوط به گره های سازه باشد، در این صورت تحلیل سازه به روش تغییر مکان ها (Displacement Method) یا روش سختی (Stiffness Method) انجام می گیرد.
- در روش سختی مجهولات شامل تغییر مکان های گره ها است و تعداد معادلات حاصل برابر درجه آزادی کل گره های سازه می باشد.
- بنابراین در روش سختی ابتدا تغییر مکان های نقاط مشخص به طور اخص در گره های سازه تعیین می شود و سپس نیروهای داخلی محاسبه می شوند.
- در روش سختی معادلاتی بین نیروها و تغییر مکان های سازه در دو سطح عنصر و کل سازه ایجاد می شوند .
-
اسلاید 2 :
- پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر است:
Ø تعیین یک مجموعه از تغییر مکان های سیستم سازه ای
Ø نوشتن روابط نیرو- تغییر مکان
Ø ارضای شرط تعادل
Ø ارضای شرط سازگاری
Ø یافتن معادلات سازگاری
Ø حل معادلات و به دست آوردن تغییر مکان های سیستم سازه ای
Ø به دست آوردن نیروهای اعضاء و واکنش های تکیه گاهی
در تحلیل ماتریسی سازه ها به روش سختی در واقع معادلات مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادلات ماتریسی شامل بردار نیرو و بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه سازه، خواص هندسی و خواص مصالح اعضاء، نوع اتصالات موجود در سازه، تکیه گاه ها، نحوه اتصال اعضا و ... دارد.
اسلاید 3 :
2- تعیین معادله روش سختی:
- جسم تغییر شکل پذیری (Deformable body) را در نظر بگیرید که تحت اثر نیروهای Pi قرار دارد (بارگذاری از صفر شروع شده و به طور خطی به مقدار نهایی خود Pi رسیده است) (i نقاطی از سازه می باشند که نیروهای Pi بر آن نقاط وارد می شوند).
- در اثر بارگذاری مذکور سازه تغییر مکان های Δi را متحمل می شود (Δi در راستای اعمال نیروهای Piمی باشند).
- با توجه به فرض رفتار خطی سازه، کار انجام شده توسط نیروهای وارد بر سازه (Pi) ناشی از تغییر مکان های سازه (Δi) به صورت زیر خواهد بود (کار انجام یافته مذکور معادل انرژی تغییر شکل جسم است):
اسلاید 4 :
- فرض کنید که در یکی از تغییرمکان ها (مثلاً Δ1) تغییر کوچکی داده می شود، در این صورت تغییرات انرژی تغییر شکل جسم نسبت به تغییرات در Δ1 به صورت زیر درمی آید (لازم به ذکر است که سایر تغییر مکان ها ثابت نگه داشته می شوند):
- اما با توجه به قضیه اول کاستیلیانو داریم:
- حال اگر عمل فوق را برای تمامی تغییرمکان ها (Δi) انجام دهیم به طور کلی به رابطه زیر خواهیم رسید:
اسلاید 5 :
- اکنون ببینیم مفهوم اعضای ماتریس مربعی چیست؟
اگر در نقطه 1، تغییر مکان کوچک Δ1 وارد شود و از تغییر مکان تمام نقاط دیگر جلوگیری به عمل آید، نیروی لازم برای ایجاد تغییر مکان کوچک Δ1 در نقطه 1 معادل و نیروی لازم برای جلوگیری از تغییر مکان نقاط دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:
و اگر در نقطه i، تغییر مکان کوچک Δi وارد شود و از تغییر مکان تمام نقاط دیگر جلوگیری به عمل آید، نیروی لازم برای ایجاد تغییر مکان کوچک Δi در نقطه i معادل و نیروی لازم برای جلوگیری از تغییر مکان نقاط دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:
اگر تغییر مکان Δi برابر واحد باشد، در این صورت نیروی لازم برای ایجاد تغییر مکان واحد در نقطه i خواهد بود و نیروی مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان نقطه 1، و نیروی مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان نقطه n، خواهد بود.
اسلاید 6 :
- بنابراین یک روش برای تعیین ماتریس سختی سازه بدین صورت است که در هر دفعه تغییر مکان واحد برای گره ها (برحسب نوع سازه، مثلاً برای خرپای مسطح تغییر مکان واحد در جهت xها و تغییر مکان واحد در جهت yها- برای خرپای فضایی، تغییر مکان واحد در جهت xها و تغییر مکان واحد در جهت yها و تغییر مکان واحد در جهت zها- برای قاب مسطح تغییر مکان واحد در جهت xها و yها و دوران واحد در جهت zها و برای قاب فضایی تغییر مکان های واحد در جهت z ,y ,x و دوران های واحد در جهت z ,y ,x) در نظر گرفته شده و نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییر مکان و نیروهای نگه دارنده گره های دیگر در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.
-
اسلاید 7 :
مثال 1) مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:
هنگامی که تغییر مکان تعمیم یافته Δ2=1 را به گره 2 اعمال می کنیم، نیروی K22 برای ایجاد آن مورد نیاز است و نیروهای K21 و K23 وK24 برای جلوگیری از تغییر مکان های گره های 1 و 3 و 4 مورد نیاز می باشند و تاثیری در گره های 5، 6 و 7 ندارند؛ بعبارت دیگر , K52 K62 و K72 همگی مساوی صفرند. بنابراین به روشنی دیده می شود هنگامی که بین دو گره iو jعضوی وجود نداشته باشد Kij مساوی صفر است.
اسلاید 8 :
- به نظر می رسد که تشکیل ماتریس سختی به این طریق دارای نکات ضعف عمدهای میباشد:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر (خصوصاً برای سازه هایی با درجات آزادی بالا)،
ب) پیاده سازی آن در یک برنامه کامپیوتری بسیار دشوار (یا حتی غیر ممکن) است.
- بنابراین باید به دنبال روشهایی برای تشکیل ماتریس سختی سازه بود که:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر نداشته باشد،
ب) قابل پیاده سازی در یک برنامه کامپیوتری باشد،
پ) به صورت ساده تر و مؤثرتر ماتریس سختی سازه را تشکیل نماید.
- باتوجه به اینکه ماتریس سختی سازه (K) از ترکیب معقول و متناسب ماتریس های سختی هرکدام از اعضای سازه(k) تشکیل شده است، به نظر می رسد که بتوان به صورت ساده تر و مؤثرتر با استفاده از ماتریس های سختی هرکدام از اعضاء و انجام عملیات ماتریسی، ماتریس سختی سازه را تشکیل داد.
-
اسلاید 9 :
3- تعیین ماتریس سختی عضو سازه(Member) :
- یک عضو با دو گره (Node) مشخص می شود:
- در حالت کلی (در فضای سه بعدی) هر گره عضو دارای شش درجه آزادی است. به عبارت دیگر در فضای سه بعدی فیزیکی، بردار مشخص تغییر مکان ها در یک گره دارای شش مؤلفه مستقل است، سه مؤلفه خطی و سه مؤلفه دورانی.
- دستگاه مختصات کلی زیر را در نظر می گیریم:
(Global Coordinate System)
-
اسلاید 10 :
- بنابراین در مجموع یک عضو در فضا دارای 12 درجه آزادی است. بنابراین ماتریس سختی یک عضو، ماتریسی 12×12 است. می توان ماتریس سختی یک عضو را به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی محاسبه نمود. طبیعی است که در این صورت ماتریس سختی عضو را با وارد کردن تغییر مکان ها (یک به یک) در امتداد هر یک از محورهای مختصات کلی سیستم و محاسبه نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییر مکان در امتداد آن محور خاص و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد.
- به نظر می رسد که اولاً محاسبه ماتریس سختی عضو به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی سیستم هم طولانی و هم وقت گیر خواهد بود.
- همچنین در این حالت نیروهای داخلی حاصل در انتهای اعضاء که در پایان محاسبات بدست می آیند در دستگاه مختصات کلی بیان شده و الزاماً نشانگر نیروی محوری، برشی و یا لنگر خمشی عضو نخواهد بود. بنابراین در انتهای عملیات برای یافتن این مولفه ها که در عمل بیشتر مورد لزوم هستند تبدیل مختصات ضروری خواهد بود.
- بنابراین برای سادگی و نیز طولانی و وقت گیر نبودن محاسبات بهتر است که ماتریس سختی عضو در یک دستگاه مختصات مخصوصی که دستگاه مختصات محلی نامیده می شود، محاسبه شود و سپس تبدیل مختصات روی آن انجام گیرد.
