بخشی از مقاله
چکیده
معادلات خطی و روشهای حل آن نقش مهم و خلاقی در جبر خطی عددی ایفا میکند. در واقع بسیاری از مسائل آنالیز عددی با حل دستگاهی از معادلات خطی آمیخته شده است، مثلا در حل یک معادله با مشتات جزئی پس از گسسته سازی ناچار به یافتن جواب دستگاه معادلات خطی با بعد زیاد میشویم که برای حل آن با روشهای رایج مانند روش حذفی گاوس مجبور به صرف زمان و منابع زیادی خواهیم بود. لذا از دیدگاه محاسباتی اهمیت روشها و الگوریتمهایی که در جبر خطی عددی برای حل دستگاه معادلات خطی Ax=b کاربرد دارند غیر قابل انکار خواهد بود یکی از معادلات ماتریسی مهم در جبرخطی عددی معادلات سیلوستر - درحالت خاص معادلات ماتریسی لیاپانو - میباشد.
معادله ماتریسی سیلوستر در طیف گستردهای از کاربردهای ارتباطات، مسائل مقدار ویژه بزرگ و بسیاری از مسائل کنترل بهینه مورد استفاده قرار میگیرد. به عنوان مثال میتوان به بهینه سازی طراحی کنترل در دستگاههای خطی، پردازش سیگنالها، فیلترینگ، بازسازی تصاویر، بهبود تصویر، تکنیکهای جداسازی در معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات با مشتقات جزئی، و قطری سازی بلوکی ماتریسها اشاره کرد.
مقدمه
معادلات ماتریسی سیلوستر و لیاپانو در نظریه کنترل و بسیاری از شاخههای مهندسی مهم هستند. روشهای ارائه شده برای حل این معادلات عبارتاند از:
1. روش بارتلز-استوارت: روش بارتلز-استوارت [1] روش انتخابی برای حل معادلات سیلوستر و لیاپانو اندازه کوچک به متوسط است. این روش به نام روش شور نیز شناخته میشود که یکی از اصلیترین روشهای مستقیم حل معادلات ماتریسی سیلوستر و لیاپانو است.
2. روش هسنبرگ شور: این روش ماتریس A را به شکل یک ماتریس بالا هسنبرگی و ماتریس B را به فرم شور حقیقی کاهش داده میدهد.
3. روش هامارلینگ با استفاده از تجزیه چولسکی: به مدت بیست سال روش هامارلینگ [2] تنها منبع روش مستقیم با استفاده از تجزیه چولسکی برای حل مسائل با اندازه کوچک به متوسط باقی ماند.
استفاده از ضرب کرونکر: در این روش معادله داده شده به صورت معادلهای از یک دستگاه خطی بزرگ هم ارز Zx=y بازنویسی میشود، که Z ضرب کرونکر متناظر با عمل سیلوستر است. که در آنx {vec - X - ,vec - X,Y - } هستند.
پس به این ترتیب در حالت کلی ضرب کرونکر به دلیلی اینکه ابعاد مسأله را بسیار بالا میبرد پس ما در اینجا صرفا برای حل هسته معادله از آن استفاده میکنیم، به این گونه که در هر مرحله از تکرار ضرب کرونکر یک جواب برای یک بلوک 1× 1 یا 2 × 2 را محاسبه میکند. اما برای اینکه کلیه بلوکها به درستی محاسبه شوند در هر مرحله از تکرار ما ماتریس سمت راست را بروز رسانی میکنیم به این شکل که ابتدا ستون و سپس سطر ماتریس را بروز رسانی کرده و بعد دوباره با جایگزاری در هسته معادله با استفاده از ضرب کرونکر بلوک بعدی را محاسبه میکنیم. با استفاده از این روش همانطور که در روند محاسبه معادله - 20 - ملاحظه کردید در هر تکرار ماتریس با شروع از بلوک جنوب غربی به صورت بلوکی شروع به پرشدن میکند و این روند تا آخرین بلوک شمال شرقی ادامه پیدا میکند.
نتایج عددی
در این بخش زمان و خطای محاسباتی روش ضرب کرونکر و روش بلوکی صریح برای معادله سیلوستر زمانپیوسته به شکل AX-XB=C را مقایسه می کنیم . برای بررسی این دو روش از ماتریسهای اختیاری به شکل , , B A C استفاده میکنیم. برای مشاهده بهتر روند تغییرات m=n در نظر گرفتهایم. علامت - در روش ضرب کرونکر زمانی رخ میدهد که حافظه مورد نیاز برای محاسبه بسیار بالا رود و متلب قادر به پاسخگویی نباشد.
