بخشی از مقاله
*** اين فايل شامل تعدادي فرمول مي باشد و در سايت قابل نمايش نيست ***
طراحی بهینه سازه بلیسک توربین در روتور یک موتور مینی توربوجت
چکیده
با توجه به موقعیت و شرایط کاری سخت دیسک توربین و کمپرسور به عنوان اجزای اصلی روتور در موتور توربین گاز هوایی، طراحی این ادوات اهمیت ویژه ای پیدا می کند. این دیسکها از یک طرف تحت بار گریز از مرکز قرار دارند که با افزایش سرعت دوران روبه افزایش می نهند و از طرف دیگر تحت بار حرارتی قرار دارند که با افزایش گرادیان حرارتی به ویژه در اجزای تحت دمای بالا در روتور افزایش می یابد. در این بین، لازم است تا وزن روتور جهت بهبود رفتار دینامیکی، کاهش بار یاتاقان ها و کاهش وزن کل موتور به عنوان یک بخش اصلی وسیله پرنده کمینه گردد. سرعت دورانی، عملکرد در دمای بسیار بالا، گرادیان حرارتی شدید و نیاز به کاهش وزن، شرایط و الزاماتی برای روتور موتورهای توربینی هوایی است که طراحی آن را با مشکل مواجه می سازد. تحلیل استحکامی پیش نیاز تحلیل عمر در یک روتور است؛ زیرا ابتدا باید مقاومت قطعه در برابر بارگذاری استاتیکی قبل از بارگذاری سیکلی محقق شود. هدف این مقاله، طراحی بهینه وزنی سازه دیسک پره دار یکپارچه (بلیسک) توربین در روتور یک موتور مینی توربوجت است. برای این منظور، مشخصات طراحی ائروترمودینامیکی از جمله هندسه، تعداد و موقعیت قرارگیری پرهها، توزیع بارهای آئرودینامیکی، توزیع حرارت و فشار روی روتور و سرعت دورانی به عنوان ورودی مسئله طراحی بهینه بلیسک تحت قیود استحکامی و هندسی در نظر گرفته شده اند. در ادامه، برنامه های مربوط به طراحی و تحلیل بلیسک با استفاده از روش های عددی تدوین و نتایج خروجی با مقایسه با موارد بیان شده در مقالات معتبر اعتبارسنجی شده و در پایان سازه بلیسک توربین یک موتور مینی توربوجت خاص طراحی بهینه شده است.
واژگان کلیدی موتور مینی توربوجت، بلیسک توربین، طراحی بهینه، تحلیل
۱. مقدمه
عضوهای دواری که تحت عنوان روتور شناخته می شوند در توربوماشین ها و ماشین های حرارتی و هیدرولیکی مولد قدرت یا مصرف کننده قدرت (توربینهای توربوپمپها، توربوشارژرها، پمپ های سانتریفیوژ، کمپرسورهای سانتریفیوژ، فنها، پمپهای مولکولی، سانتریفیوژها)، توربوژنراتورهای توربو الترناتورها، دینامهای دوار، شمار زیادی از ماشین های الکتریکی سنکرون و آسنکرون انواع مشخصی از وسائل پرنده (هلی کوپترها، اتوجایروها یا جایروپلن ها) استفاده میشوند [۱]. دیسکهای دوار سرعت بالا به عنوان بخشی از سازه روتورها در بسیاری از کاربردهای عملی از جمله در روتور موتورهای توربین گاز هوایی، زمینی و دریایی، روتور توربین بخار، فلایویل، کمپرسورهای محوری و پروانه های کشتی کاربرد گسترده دارند. مقدار و توزیع تنش ها در این دیسکهای دوار، عامل محدودکننده اصلی طراحی است. امروزه این مسئله توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است.
طراحی موتورهای هوایی، فرایندی بسیار تکراری، چندرشته ای و پیچیده است [۲]. برای حل مسائل دیسکهای دوار دو روش تحلیلی و عددی وجود دارد. برای دیسکهای دوار، ضخامت ثابت کاملا غیراقتصادی است [۳]. استودولا پروفیل هایپربولیک را برای سطح مقطع این دیسک ها پیشنهاد کرد (۴). پتروفسکی یک روش تقریبی را بیان کرد که دیسک را با یک سری دیسک ضخامت ثابت جایگزین می کند که تنشهای گریز از مرکز و حرارتی در توربین به صورت رضایت بخش از این روش قابل محاسبه اند [۵]. دوناس و گرامل ۴ این روش را توسعه دادند [۲] کاربرد دیسکها با ضخامت متغیر عمدتا به دلیل در نظر گرفتن ملاحظات اقتصادی و به منظور بهبود عملکرد مکانیکی در حال افزایش است. گوپتاه و همکاران برای حل تحلیلی دیسکهای دوار با ضخامت یکنواخت راه حلی پیشنهاد کردند. ارسلان و اركان» راه حلی نظری قابل قبولی برای تحلیل دیسک دوار با ضخامت نمایی متغیر معرفی کردند [۶]. ارسلان و همکاران نیز حد مجاز سرعت زاویه ای را برای دیسکهای دوار با ضخامت متغیر محاسبه کردند، که تغییرات ضخامت در آن از تابع توانی تبعیت می کند [7].
در میان قطعات مورد استفاده در ساخت موتورهای جت، دیسک توربین از اهمیت ویژهای برخوردار است؛ زیرا در کنار تجربه سرعت های دورانی بسیار زیاد، گرادیان حرارتی بسیار زیادی را نیز به خود می بیند. در عین حال دیسکهای دوار موجود در موتور جرم قابل توجهی را به خود اختصاص می دهند و طراحی بهینه آنها جهت بهبود رفتار دینامیکی، کاهش بار یاتاقانها و کاهش وزن كل موتور به عنوان یک بخش اصلی از سازه وسیله پرنده از اهمیت خاصی برخوردار است.
سیرگ^ و سورانا به منظور محاسبه تنش های محیطی و شعاعی داخل دیسک غیر همگن دوار که در سرعت های بالا دوران می کند آن را به چندین دیسک تقسیم و با بیان روابط تعادل برای هر دیسک، که ضخامتی ثابت دارد، مقادیر تنش را محاسبه نمودند [۸]. این پژوهشگران با در نظر گرفتن مسائل بهینه سازی مختلف به حل بهینه دیسک پرداختند. مسائلی که به دست آنها بررسی شد عبارت اند از: کمینه کردن بیشترین تنش مماسی، کمینه کردن میانگین تنشهای مماسی، کمینه کردن بیشترین تنش معادل، کمینه کردن بیشترین تنش برشی، کمینه کردن اختلاف بین بیشترین و کمترین تنش مماسی و کمینه کردن ترکیب وزنی حجم دیسک، بیشترین تنش مماسی و تنش مماسی میانگین. آنها در حل خود آثار گرادیان حرارتی را در نظر نگرفتند. بهاریکاتی و راماکریشنان از یک روش برنامه ریزی غیرخطی به منظور بهینه سازی پروفیل هندسه دیسکهای دوار استفاده کردند [۹] آنها فرض کردند که پروفیل هندسه دیسک از یک تابع چند جمله ای از مرتبه پنج تبعیت کند، سپس با فرض اختلاف بیشترین و کمترین تنش محیطی به عنوان تابع هدف ضرایب این چند جمله ای را در جهت کاهش این تابع هدف به دست آوردند. همچنین از تحلیل های اجزای محدود جهت محاسبه تنش در داخل پروفیل استفاده کردند. ری۱۲ و سینها ۱۳ ابتدا یک دیسک دوار ضخامت متغیر را به چندین حلقه تقسیم نمودند، سپس با تعریف دو تابع هزینه به بهینه سازی آن پرداختند [۱۰]. آنها در گام نخست از اختلاف بین ماکزیمم و کمینه مقدار تنش مماسی به عنوان تابع هزینه استفاده کردند و در گام بعد، ماکزیمم مقدار تنش مماسی را به عنوان تابع هزینه در نظر گرفتند. در هر دو حالت هدف یافتن مقداری حداقلی برای توابع هزینه بود. لوچی ۱۴ و همکاران نیز برای کمینه کردن وزن دیسک توربین گازی از یک الگوریتم بهینه سازی برمبنای روش مختلط ۱۵ استفاده کردند [۱۱] آنها مقدار ضخامت در چندین نقطه از دیسک را یافته و با اتصال این نقاط به یکدیگر پروفیل کلی را استخراج نمودند. همچنین در هر گام حل با استفاده از مش مثلثی شکل مقادير تنش و جابه جایی در داخل دیسک را محاسبه نمودند. فرشی و همکاران مقادير تنش در یک دیسک غیر همگن که تحت تأثیر گرادیان حرارتی نیز قرار دارد را با استفاده از تقسیم دیسک به چندین حلقه محاسبه نموده و سپس از روش ابر کرههای مخاطی به بهینه سازی پروفیل هندسه دیسک دوار پرداختند [۱۲]. در این روش قطر ابر کره محاطی به گونه ای به دست می آید که تمامی قيود، از جمله قید استحکام، برآورده کردند. جاهد و همکاران با استفاده از روش حلقه کردن دیسک، به ارائه روشی نیمه تحلیلی برای بهینه سازی وزن دیسک غيرهمگن دوار که تحت گرادیان های حرارتی نیز قرار دارد پرداختند [۱۳]. شهریاری و همکاران نیز دیسک ردیف دوم توربین موتور توربین گاز هوایی J85 - 21 - GE که پیرامون شعاع خارجی خود دارای قلابهای نگه دارنده پره می باشد را با استفاده از یک الگوریتم بهینه سازی ترکیبی بهینه سازی وزنی نمودند [۱۴]. کایرو۱۹ و سرجنت۲۰ با حمایت نیروی هوایی آمریکا طرحی مبتکرانه را برای روتور توربین های پیشرفته ارائه کردند که می تواند تأثیری شگرف در موتورهای آینده داشته باشد و آن استفاده از دیسک دوجانه ۲۱ است که وزن روتور را کمینه می کند [۱۵]. گوتزویلر ۲۲ بهینه سازی دیسک های توربوماشین متقارن محوری را بر اساس مدل تنش صفحه ای و قید استحکام استاتیکی به کمک الگوریتم ژنتیک ارائه نمود [۱۶]
در این مقاله، ابتدا دیسک توربین گازی به چندین دیسک با ضخامت ثابت تقسیم می شود تا بتوان جرم کلی دیسک را تخمین زد. در ادامه با نوشتن معادلات تعادل برای هر یک از دیسک ها و ترکیب آنها با هم سیستم معادلات تعادل برای کل دیسک استخراج و با استفاده از آن تنش های موجود در دیسک محاسبه می گردد. پس از تعیین جرم و تنشها در داخل دیسک، تابع هزینه و توابع قید سینماتیکی و سینتیکی برای بهینه سازی جرم دیسک بیان و فرمول بندی و پروفیل بهینه دیسک استخراج می گردد.
٢. انتخاب اتصال مناسب پره به دیسک رهیافت معمول جهت اتصال مکانیکی پره ها به دیسک، از طریق شکلهای ریشه صنوبری یا دم چلچله ای است که به علت وجود شکافهای محدود کننده عمر روی ریم دیسک، که نتیجه آنها ایجاد تمرکز تنش در این شکافهاست، سرعت روتور را محدود می کند. مشکل بزرگ تر این است که قلاب های باقیمانده روی ریم دیسک، که در مقابل نیروی پردها عمل می کنند، وزن مردهای به دیسک تحمیل می کنند. پیامد سرعت بیشتر دیسک، نیروی اعمالی بیشتر پره است که نیازمند قلاب دیسک عمیق تر یا پهن تر جهت نگهداری پره است که این مورد به نوبه خود نیازمند دیسک با ضخامت بیشتر است تا قلاب دیسک عمیق تر و بار مرده بیشتر را تحمل کند. راه حل ایجاد یک روتور پره دار یکپارچه ۲۳ است که در آن پرهها با دیسک یکپارچه میشوند (۱۷)
ردیف روتور توربین (به ندرت ردیف کمپرسور) محوری که در آن دیسک و پرهها از یک جنس و به شکل یکپارچه ساخته شدهاند را بلیسک۲۴ می نامند [۱۸]. در برخی از منابع به این نوع روتور، روتور پره دار یکپارچه گفته میشود. ساختار غیریکپارچه، روتور توربین را از حالت جمع و جور دور می کند؛ پیچیدگی منجر به دوام کم شده که به شدت هزینه را برای مشتریان افزایش میدهد [۱۹]. عملکرد و قابلیت اطمینان بالاتر نیازمند مزایای بلیسک توربین است که پرههایش از قطعه فلزی یکسان با دیسک بوده و در ادامه دیسک ایجاد شده اند. شاید نخستین کاربرد بلیسک مربوط به کمپرسور محوری (با ۱۷ پره) موتور هوایی 29- J69 - T در اواخر دهه ۱۹۶۰ م باشد. بلیسکها به طور چشمگیری پیچیدگی و وزن را کاهش می دهند و ساختار بسیار بادوام آنها منجر به عملکرد بهتر و هزینه های سخت افزاری بسیار کمتر میشود. به دلیل این مزایا پروژه جنگنده تاکتیکی پیشرفته ۲۵ در امریکا، فناوری بلیسک را به عنوان یک فناوری اصلی مهم شناسایی کرد و پروژه فناوری موتور توربین عملکرد بالای یکپارچه ۲۶ مقرر کرد که همه روتورهای توربین جنگنده های امریکا تا سال ۲۰۲۰ م از موتورهای بلیسکی استفاده کنند. چالش ها در ساخت بلیسک، گرانی و پیچیدگی فرایند ماشینکاری است [۲۰] بزرگترین مزیت استفاده از بلیسک این است که دیسک سبکتر میشود. اما بلیسک به تلرانس های ماشینکاری بسیار حساس است و اختلافات در هندسه یک پره نسبت به پره دیگر غیر قابل اجتناب است که یکی از دلائل ویژه آن سایش ابزار در طی فرایند ماشینکاری است [۲۱). چندپارچه سازی موتور یا اجزای اصلی آن نظیر توربین که منوط به استفاده از اتصالات غیردائم می باشد، امکان بازرسی قطعات و پایش آسان تر وضعیت آنها را فراهم می سازد. این ویژگی برای موتورهایی که به عنوان هسته مرکزی سایر موتورها استفاده می شوند و موتورهای سنگین و با ابعاد بزرگ که میزان مواد مورد استفاده در اجزای آنها بالاست و خرابی یک بخش کوچک موتور در صورت امکان تعویض تنها آن بخش سبب کاهش شدید هزینه ها می شود حائز اهمیت است. در مورد موتورهای کوچک (میکرو توربو و تا اندازهای مینی توربوها) که تعداد قطعات آنها و حجم آنها پایین است و اجزای اصلی مثلا توربين غالبا تک ردیفه هستند و بازرسی آنها آسان و تعویض کل قطعه در صورت واماندگی مقرون به صرفه است، اجزای اصلی موتور به صورت یکپارچه ساخته می شوند. به طور کلی از مزایای استفاده از بلیسک می توان به کاهش ناچها و در نتیجه کاهش نقاط ایجاد تمرکز تنش و افزایش دوام، کاهش وزن، کاهش نابالانسی، عیب یابی آسان، کاهش پیچیدگی، کاهش هزینه و کاهش زمان مونتاژ با کاهش تعداد قطعات اصلی اشاره کرد. چون پره های موتورهای جدید به صورت سه بعدی (دارای پیچش و کجی) بوده و ممکن است دارای شرود باشند، فرایند ساخت بلیسکی آنها بسیار سخت و زمان بر است؛ لذا لازم است روشهای مقرون به صرفه برای این کار پیدا شود. در پیشرفته ترین فناوری اخیر، پرهها با استفاده از جوشکاری اصطکاکی خطی۲۷ به دیسک متصل می شوند. از جوشکاری اصطکاکی خطی همچنین جهت جایگزینی تک پرههای آسیب دیده در بلیسکها استفاده می شود. با بررسی فعالیتهای انجام شده جهت ساخت بلیسک در سرتاسر دنیا فرایندهای ساخت را می توان در پنج گروه دسته بندی کرد:
1. ماشینکاری سی. ان. سی. چند محوره
۲. ریخته گری دقیق با یا بدون ۲۸EDM تکمیلی
٣. فورج با قالب با EDM تکمیلی
۴. ماشینکاری الکتروشیمیایی ۲ بلیسک از یک قطعه
۵. اتصال ایزواستاتیک داغ ۳۰ پرها و دیسک از فناوری های فوق، HIP پیشرفته ترین فناوری است که با عیب نزدیک به صفر و شکل نزدیک به شکل نهایی جهت تولید بلیسک استفاده میشود.
٣. انتخاب اتصال مناسب دیسک
به شفت بسته به مشخصات عملکردی و هندسی موتور، نوع موتور و میزان تلرانسها، روشهای متفاوتی جهت اتصال توربین به شفت و انتقال گشتاور توربین به شفت و کمپرسور استفاده میشود. به طور کلی این روش ها می توانند به صورت استفاده از روتور یکپارچه، خار، هزار خاری، انطباق پرسی، جوش های مختلف، رینگ گشتاور در دیسک خودنگه دارشده، پیچ، اسپول و روش های ترکیبی باشند. دیسکها به روش انطباق فشاری - انقباضی روی شفت نصب می شوند تا از طرفی هم محورشدن محور تقارن آنها با محور تقارن شفت بر آورده شود و از طرف دیگر محکم بودن آنها برای انتقال گشتاور پره به دیسک تضمین شود. این روش نصب باعث ایجاد یک فشار تماسی بین دیسک و شفت میشود. تنشهای شعاعی در سوراخ این نوع دیسک ها در زمان سکون روتور بیشترین مقدار را دارند. با افزایش سرعت زاویه ای، تنشهای شعاعی در سوراخ دیسک کاهش یافته و در یک سرعت معین برابر صفر می شوند. از این حد سرعت به بعد، با افزایش سرعت زاویه ای، امکان ایجاد القي بين شفت و سوراخ دیسک وجود دارد؛ به عبارت دیگر دیسک شل می شود. سرعت زاویه ای خاصی را که به ازای آن تنشهای شعاعی در این نوع دیسکها برابر صفر می شوند، سرعت زاویه ای شل شدگی می نامند و با به نشان میدهند. کشش تداخلی ۳۲ این نوع دیسکها باید به گونه ای انتخاب شود که دیسک در کل محدوده سرعت های احتمالی روتور نتواند شل شود. به عنوان یک استاندارد، اگر سرعت زاویه ای شل شدگی به اندازه ۱۵ تا ۲۰ درصد بیشتر از سرعت زاویه ای کاری باشد، کارکرد اطمینان بخش روتور تضمین می شود [۲۲]
4. حل ترموالاستیک دیسک دوار غيرهمگن با ضخامت متغیر در شکل ۱ دیسک ضخامت متغیر و المانی از آن با بارگذاری مربوطه نمایش داده شده است. این المان باید در حال تعادل باشد، لذا می توان نوشت:
دیسک دوار غيرهمگن با ضخامت متغیر به تعداد محدودی حلقه تجزیه می شود. هر حلقه تحت فشار داخلی، فشار خارجی، نیروی گریز از مرکز و تغییرات دماست. برای چنین حلقه ای از تغییرات ضخامت و خواص ماده صرف نظر می شود. با جایگذاری در معادلات مؤلفههای تنش شعاعی و محیطی به صورت زیر قابل استخراج است:
حال می توان مقادیر ثابت C1 و c2 را با توجه به شرایط مرزی مسئله یافت. این شرایط عبارت اند از:
با اعمال شرایط مرزی ۴ میتوان نوشت:
با جایگذاری ثابت های فوق در معادلات ۲ و ۳ میتوان جابه جایی شعاعی را برای مرز داخلی و خارجی دیسک به صورت زیر یافت:
برای آنکه بتوان آثار ضخامت را لحاظ کرد، تنش شعاعی و محیطی به صورت زیر بیان میشود:
که در آن ,F و F0 به ترتیب نیروهای شعاعی و محیطی بر واحد طول بوده و h نیز ضخامت هر کدام از رینگ های مورد استفاده است. با جایگذاری رابطه ۱۰ در معادله ۶ می توان نوشت:
پس از یافتن معادله ۱۱ برای هریک از رینگ ها و اعمال شرط سازگاری جابه جایی در مرزها، معادله کلی ۱۲ به دست خواهد آمد، که یک دستگاه معادلات خطی است:
که در آن F ، U B K و D فرم تجمیع شده پارامترهای موجود در معادلۂ ۱۱ است. معادله ۱۲ برای یافتن بردار U حل می شود، سپس با استفاده از معادله ۱۱ می توان مقدار نیرو به واحد طول را برای هر یک از رینگها محاسبه کرد. با استفاده از نیروها می توان مقدار تنش های شعاعی و محیطی را محاسبه کرد، سپس با استفاده از رابطه تنش معادل فون مایزز، تنش معادل برای طراحی دیسک از رابطه ۱۳ محاسبه می شود.
با در نظر گرفتن مدل تنش صفحه ای و با استفاده از برنامه ای که بر مبنای مدل المان محدود یک بعدی نوشته می شود، تنش و جابه جایی محاسبه می شوند. برنامه توانایی دارد که مقادیر مدول الاستیسیته، چگالی، ضریب انبساط حرارتی و ضریب پواسون را به صورت تابعی از شعاع به عنوان ورودی دریافت و مقدار تنش معادل را با استفاده از معیار فون مایزز تعیین نماید.
5.. متغیرهای طراحی
در طراحی بهینه دیسک در شکل ۲ یک دیسک حلقه حلقه شده نمایش داده شده است. متغیرهای طراحی این دیسک عبارت اند از ضخامت تمامی حلقه های به جز حلقه بیرونی، که در واقع ضخامت آن توسط پره های روتور تعیین می شود، پهنای دو حلقه داخلی و خارجی و شعاع سوراخ دیسک. با توجه به مطالب فوق اگر دیسک به 1+N حلقه تقسیم شود، تعداد متغیرهای طراحی 3+N عدد خواهد بود. بنابراین بردار متغیرهای طراحی به صورت زیر خواهد بود:
6. الگوریتم طراحی بهینه دیسک
الگوریتم رقابتی ترتیبی ۳۲ یک الگوریتم تکاملی جدید است، هر چند که ماهیت آن با دیگر الگوریتمهای تکاملی متفاوت است. در این الگوریتم تمامی اعضای خانواده ها از یکدیگر مستقل بوده و با یک فرایند تولید مثل زادوولد می کنند. در این الگوریتم در دو سطح رقابت بین اعضای خانواده ها صورت می گیرد یکی در داخل خانواده به منظور زنده ماندن اعضا یا عضو برتر و دیگری رقابت بین خانواده هاست که در آن بر اساس مقدار تابع برازش خانواده ها به صف می شوند. در این حالت بهترین خانواده در اولین مکان صف و بدترین آنها در آخرین مکان صف قرار می گیرند و دیگر خانواده ها به ترتیب اهمیت مکانهای بین آنها را پر می کنند. الگوریتم روش فوق در ۶ گام اجرا می شود [۲۳-۲۵).
١. ابتدا m عضو به صورت منظم یا تصادفی در فضای متغیرهای طراحی تولید می گردد، سپس مقدار تابع برازش برای هر عضو محاسبه می شود.
٢. با توجه به مقادیر تابع برازش، m عضو به صف میشوند. در اینجا مسئله یک مسئله یافتن کمینه در نظر گرفته می شود، در این صورت اعضاء با توجه به مقدار تابع برازششان به طور صعودی مرتب خواهند شد.
٣. بر مبنای موقعیت هر خانواده در صف به آن خانواده فضای جستجویی اختصاص داده می شود. اولین خانواده (بهترین خانواده کوچکترین فضای جستجو و آخرین خانواده بدترین) بزرگترین فضای جستجو را خواهد داشت.
۴. بر اساس یک فرایند زادوولد، s عضو در هر خانواده و در فضای جستجو تولید می شود. سپس تمامی کودکان و والدین آنها برای زنده ماندن به رقابت می پردازند و در پایان بهترین عضو زنده مانده و به عنوان والد به گام بعدی راه می یابد.
۵. فضای جستجو کوچک تر می شود.
۶ اگر معیار توقف برآورده نگردد به گام ۲ بازگشت می شود.
بهترین معیار توقف برای الگوریتم فوق می تواند رسیدن به یک فضای جستجوی کوچک از پیش تعیین شده باشد. با توجه به مطالب بالا الگوریتم LCA دارای چهار عملگر اصلی است: تولید مثل، مرتب سازی، تخصیص فضای جستجو و انقباض فضای جستجو.
۷. اعتبارسنجی نتایج
برنامه طراحی دیسک نتایج برنامه طراحی دیسک با نتایج حاصل از موارد معتبر مختلف مورد مقایسه قرار گرفت. مثال های نمونه جهت بررسی درستی برنامه طراحی دیسک از منبع [۸] استخراج شده اند. در تمامی حالات قيود مورد نظر بر مسئله اعمال شده و حجم دیسک مورد نظر به عنوان تابع هزینه مورد مقایسه قرار گرفته است. به عنوان مثال اول، جدول ۱ مقادیر پارامترهای ورودی برای حل مسئله بهینه را نشان میدهد. برای بررسی همگرایی مسئله نخست لازم است تعداد مناسب رینگها محاسبه شود. برای این منظور مسئله برای تعداد مختلف رینگ حل شده و جواب حاصل در هر حالت بر حسب تعداد رینگ ترسیم می شود. زمانی که میزان تغییرات تا حد قابل قبولی کم باشد، می توان گفت همگرایی حاصل شده است. تعداد رینگ قابل قبول برای این مسئله ۲۱ است. گفتنی است تعداد رینگ به دست آمده ممکن است برای مسائل دیگر متفاوت باشد، لذا لازم است کاربر برای هر مسئله ابتدا یک آنالیز همگرایی انجام دهد تا از صحت نتایج اطمینان حاصل نماید. شکل ۳ پروفیل و توزیع تنش شعاعی و محیطی در دیسک هایپربولیک استودولا را نمایش میدهد.
استودولا جهت بهینه ساختن دیسک با ضخامت ثابت استفاده از پروفیل هایپربولیک را برای دیسک پیشنهاد کرد که کاهش تنش ها به خصوص تنش های محیطی را در پی داشته است. این طرح بیشینه تنش محیطی را بیشتر از ۵۰ درصد کاهش داده و سبب کاهش نزدیک به ۸۰ درصد حجم دیسک شده است. سیرج و سورنا با انجام یک فرایند بهینه سازی روی دیسک با پروفیل هایپربولیک استودولا، که هدف آن کاهش سطوح تنش بود، طرحی با استحکام نزدیک به استحکام يکنواخت ارائه کردند؛ هرچند که این عمل باعث افزایش حجم دیسک نسبت به پروفیل هایپربولیک شد، اما کاهش سطوح تنش را در پی داشت (شکل ۴). حجم دیسک با استفاده از برنامه طراحی دیسک، که هدف آن کاهش وزن دیسک بوده است، از ۱۷۳ / ۶۳ اینچ مکعب در مورد پروفیل دیسک هایپربولیک استودولا و ۲۰۳ / ۶۷ اینچ مکعب در مورد پروفیل دیسک بهینه شده توسط سیرج و سورنا به ۱۰۸ / ۰۰۴۷ اینچ مکعب کاهش یافته است که به ترتیب باعث کاهش حجم به میزان مقدار ۳۷ / ۸۰ درصد و ۴۶ / ۹۷ درصد شده است. شکلهای ۵ و ۶ به ترتیب پروفیل دیسک و توزیع تنش در دیسک مورد طراحی را نشان می دهند. همچنین جدول ۲ مقایسه تنشهای شعاعی و مماسی و حجم دیسک را در هر یک از دیسک های ضخامت ثابت، پروفیل هایپربولیک استودولا، بهینه سازی شده توسط سیرج و سورنا و برنامه طراحی دیسک نشان میدهد.
