بخشی از مقاله
این مقاله دارای فرمول های زیادی میاشد
چکیده
بنا به تئوری سنجش فشرده (compressive sensing) اگر اطلاعاتی غیر از پهنای باند سیگنال، همچون اسپارس( sparse) بودن نمایش آن در فضای مناسب وجود داشته باشد، می توان با استفاده از روش های بهینه سازی غیرخطی بازسازی دقیق سیگنال را از روی مشاهداتی به مراتب کمتر از آن چه تئوری شانن بیان می دارد، انجام داد. تصویربرداری به روش تشدید مغناطیسی (MRI) یک پروسه زمان بسر می باشد. از آن جایی که می توان تصاویر MRI را به کمک تبدیلات خطی مثل ویولت به صورت اسپارس نمایش داد، بنا به نظریه سنجش فشرده می توان با انتخاب تعداد کمی از داده های فضای k آن را به طور مطلوب بازسازی کرد. از این نظریه می توان برای کاهش زمان اسکن در MRI ، که امری مهم در تصویربرداری پزشکی محسوب می گردد، بهره جست. در این مقاله برای انتخاب بهترین پایه برای نمایش اسپارس که منجر به بازسازی بهتری از نمونه های ناکامل می شود، میزان همدوسی ویولت های مختلف با پایه تبدیل فوریه ارزیابی می گردد. در ادامه ماسک مناسب برای کاهش داده های فضای با شبیه سازی انتخاب شده و در نهایت با استفاده از روش های مختلف بازسازی از نمونه های ناکامل، کیفیت تصاویر بازسازی شده MRI با یکدیگر مقایسه می شوند.
کلید واژه - بهینه سازی غیرخطی، تبدیل نمایش اسپارس، تصویربرداری تشدید مغناطیسی (MRI) و تئوری سنجش فشرده .
۱- مقدمه
قضیه کلاسیک نمونه برداری شانن( Shannon)، یک شرط کافی برای امکان بازسازی کامل یک سیگنال زمان پیوسته از روی نمونه های به فواصل یکنواخت آن ارائه می کند؛ بدین ترتیب که اگر پهنای باند سیگنال محدود به fmax باشد، فرکانس نمونه برداری از این سیگنال باید از 2fmax بیشتر باشد.
نظريه جدیدی که تحت عنوان سنجش فشرده (compressive sensing یا به اختصار CS) در سال ۲۰۰۶ مطرح شده [۳٫۲٫۱] ،تحولیدراینزمینهایجادکردهاست. بنابرایننظریه،هرسیگنالیراکهقابلفشردهسازیباشدبااحتمالزیادمیتوانازرویسنجشهاییبهمراتبکمترازحالتمعمول،دقیقابازسازیکردبااینتفاوتکه برای بازسازی آن در دیکدر، باید از الگوریتم های بهینه سازی که محاسبات بیشتری لازم دارند استفاده گردد. با این نگرش، در کاربردهایی که اکتساب دادهها عملی زمان بر و یا پرهزینه است بهبود قابل توجهی ایجادمی شود. MRI [۵٫۴] یکپروسهزمانبرمیباشدوکاهشزماناسکن در آن با توجه به محدودیت های تکنولوژیک و فیزیولوژیک تقریبا به انتها رسیده است. کاهش زمان اسکن MRI با تئوری سنجش فشرده با کاهش اکتساب داده ها صورت می پذیرد بدون آن که کیفیت تصویر بازسازی شده دچار افت چندانی شود. اولین کار در این زمینه در سال ۲۰۰۸ انجام پذیرفت [۶] . از جمله کارهای دیگر انجام شده در زمینه سنجش فشرده در MRI برای کاهش زمان اسکن یافتن شیوه بهتر برای undersample کردن داده های فضای k است که منجر به گرفتن اطلاعات بیشتر با داده های کمتر شود [۷] در این خصوص از روش های سخت افزاری مانند Parallel MRI برای کاهش زمان اسکن و تلفيق آن با روش سنجش فشرده نیز استفاده می گردد [۱۰٫۹٫۸] همچنینازترکیبکانتورلتوویولتبهعنوانپایهتبدیلنمایشاسپارساستفادهشدهاست [۱۲٫۱۱]
در ادامه ساختار مقاله بدین ترتیب است که ابتدا در بخش ۲ مبانی تئوری سنجش فشرده توضیح داده می شود. سپس دربخش 3 ملاحظاتی در مورد کاربرد سنجش فشرده در MRI مطرح می گردد. نهایتا در بخش ۴ با استفاده از معیار TPSF - Ttransform Point Spread Function اقدام به انتخاب ویولت مناسب به عنوان پایه تبدیل نمایش اسپارس و محاسبه معیار ناهمدوسی آنها می نماییم [۶] . سپس به نحوه انتخاب ماسک مناسب برای کاهش داده های MRI پرداخته شده و روش های مختلف بازسازی با هم مقایسه می شوند.
۲ - تئوری سنجش فشرده
این تئوری مبتنی است بر دو خاصیت اسپارس بودن سیگنال (sparsity) و ناهمدوسی(incoherence) بین تبدیل نمایش اسپارس و ماتریس سنجش (که در ادامه معرفی می شوند). یک سیگنال اسپارس، سیگنالی است که بتوان آن را با ترکیب خطی تعداد کمی از اعضای یک مجموعه بردارهای پایه، نمایش داد.
یک سیگنال زمان گسسته یک بعدی با طول محدود N را می توان به صورت یک بردار ستونی N*1 در RN نمایش داد(X). فرض می کنیم ستون های ماتریس پایه ای برای این فضا باشند و برای سادگی فرض می کنیم که این پایه ها اورتونرمال باشند. هر سیگنال X در RN را می توان به صورت زیر با ترکیب خطی ها نمایش داد:
که در این جا ك بردار ضرایب تبدیل است. سیگنال Kاسپارس در پایة به سیگنالی گفته میشود که برای نمایش آن فقط به K ضریب (یا K تا بردار پایه) نیاز است. پایه راکهمنجربهنمایشسیگنالفقطباK نمونه می شود، پایه تبدیل نمایش اسپارس مینامند.
هر اندازه گیری در سنجش فشرده به صورت ضرب داخلیضرب یک بردار در سیگنال مورد سنجش به صورت زیر تعریف می شود:
با مجموعه ای متشکل از M تا از این بردارها ، M تا اندازه گیری به دست می آید که آنها را در بردار Y قرارمیدهیم. با قرار دادن بردارهای در سطرهای یک ماتریس ( ماتریس سنجش) به رابطه زیر می رسیم:
که A یک ماتریس MxN است. در این جا این نکته حائز اهمیت است که با این روش از همان ابتدا با استفاده از یک پروسه نمونه برداری خطی فقط به M اندازه گیری از N نمونه سیگنال ورودی برای بازسازی کامل سیگنال نیاز است( M<< N ). تحت شرایطی روی ماتریس نمایش اسپارس و ماتریس سنجش می توان با K<<M<< N از روی بردار اندازه گیری Y، بردار ضرایب اسپارس Sو در نتیجه X را بازسازی کرد.
۲ - انتخاب ماتریس سنجش
ماتریس سنجش به صورت ثابت و غیر وفقی در نظر گرفته می شود به نحوی که نمونه های مهم یعنی اطلاعات برجسته در هر سیگنال k اسپارس با کاهش بعد از N به M از بین نرود .
همدوسی (Coherence) بين صورت زیر بیان می شود:
در تئوری سنجش فشرده ، میزان همدوسی ناچیز (در واقع ناهمدوس بودن) بین جفت های یک امر اساسی است. به عبارت دیگر هرچقدر دو ماتریس مستقل از هم باشند، در خروجی (Y) اطلاعات بیشتری از سیگنال X خواهیم داشت.
۴۲ - بهینه سازی غیرخطی
در رابطه ۴ دستگاه معادلات خطی به صورت M معادله و N مجهول است (M N). ماتریس ضرایب با A و بردار مجهول ها با S بیان شده است و Y نشانگر مقدارهای ثابت دستگاه معادلات می باشد. با در نظر گرفتن ناهمدوسی بالا برای تقریبا همه معادله های این دستگاه، خطی و سازگار می باشند. در حالت کلی، دستگاه معادله در چنین حالتی (M N) دارای پاسخ بیشمار است اما در این جا پاسخ اسپارس برای این دستگاه معادلات مدنظر است.
نرم .L یک بردار، با تعداد عناصر غیر صفر آن برابر است. بنابراین می توان گفت که با معیار مینیمم ترم .L برای بردار S به اسپارس ترین جواب می رسیم:
اما به دلیل شمارش همه حالت ممکن از عناصر غیر صفر در و همچنین راه حل عددی ناپایدار، سرعت پاسخدهی الگوریتم فوق بسیار کم بوده و عملا استفاده نمی شود.
ترم L1 بردار ، مجموع اندازه عناصر برداری می باشد. نشان داده شده که از بین پاسخ های بیشماری که برای S وجود دارد آن که کوچکترین ترمL1 را دارد، به پاسخ اسپارس نزدیک خواهد بود. بنابراین مسأله به صورت زیر بیان می گردد
به دلیل سرعت پاسخ دهی بالای الگوریتم های کمینه سازی ترم L1 و هم چنین بازسازی نسبتا خوبی که برای سیگنال های اسپارس و سیگنال های قابل فشرده ساری دارد، معمولا این روش مورد توجه قرار گرفته است.
ترم L2همان فاصله اقلیدسی می باشد. شایان ذکر است که از روش کمینه سازی نرم L2 که به صورت زیر بیان می شود هرگز نمی توان پاسخ اسپارس به دست آورد. بلکه فقط پاسخی به دست می آید که کمترین انرژی را دارد.
البته در این حالت پاسخ را می توان به فرم بسته زیر بیانکرد:
وقتی که بتوان تصویر X را با تبدیل finite difference (دو ماتریس این تبدیل شامل تغییرات روشنایی پیکسل های مجاور در هر ردیف و تغییرات روشنایی پیکسل های مجاور در هر ستون می باشد) به صورت اسپارس نمایش داد، در این حالت می توان برای بازسازی از روش کمینه سازی نرمTV ) total variation) به صورت زیر استفاده می شود.
ترم TV تصوير از رابطه زیر به دست می آید:
که اپراتورهای تفاضل محلی برای پیکسل در سطر iام و ستون jام یک تصویر nxn است.(در اینجا تعداد کل پیکسل ها می باشد):
۳ سنجش فشرده در MRI
در MRI ، نمونه های به دست آمده که شامل اطلاعات فاز و فرکانس می باشد در ماتریسی ذخیره می شود که فضای شامل این اطلاعات، فضایk نامیده میشود. این اطلاعات خام با عکس تبدیل فوریه به تصویر MRI تبدیل می شود. به عبارتی ماتریس سنجش در این جا، ماتریس تبدیل فوریه می باشد. برای کم کردن تعداد نمونه های فضای k که منجر به کاهش زمان اسکن می شود از ماتریسی تحت عنوان ماسک که شامل عناصر صفر و یک می باشد استفاده میشود. ضرب شدن این ماسک در داده های فضایk تعداد نمونه ها در فضای k را به صورت شکل (۱) تقليلمی دهد.
شکل (۱): undersampling فضایk با استفاده از ماسک تصادفی یکنواخت.
در تکنیک اسپین اکو فضای k به صورت ردیف به ردیف در جهت کدگذاری فاز (ky) از نمونه های سیگنال MRI پر می شود. به عبارتی با اعمال پالس RF و هر بار روشن شدن گرادیان مغناطیسی در جهت لا، خط دیگری از فضای k برای پرشدن انتخاب می شود. با هر بار روشن شدن گرادیان مغناطیسی در جهت * از سیگنال نمونه برداری می شود و این نمونه ها خط انتخاب شده ( ky) توسط گرادیان مغناطیسی در جهت لا، را پر می کنند. پر شدن یک خط از فضای در زمان Time ofTR ) Repetition ) صورت می گیرد که منظور از TR، فاصله دو پالس RF90متوالی می باشد. بنابراین برای پر کردن مثلا ۲۵۶ خط از فضای k ۲۵۶ بار گرادیان مغناطیسی در جهت با ۲۵۶ دامنه مختلف روشن می شود. این عمل به مدت طول می کشد. بنابراین برای کاهش زمان اسکن در عمل نیاز است که تعداد خطوط کمتری در جهت Ky انتخاب شود.
تصاویر MR مغزی با تبدیل نمایش ویولت اسپارس هستند وهر چه سطح تجزیه ویولت بالاتر رود، نمایش اسپارس تری از تصویر خواهیم داشت. برای انتخاب نوع ویولت می توان میزان همدوسی آن را با پایه تبدیل فوریه به عنوان ماتریس سنجش محاسبه کرد.
از اطلاعات undersample شده فضایk با استفاده از روش های بهینه سازی غیرخطی می توان تصویر MRI را به طور مطلوب بازسازی کرد. همچنین می توان با استفاده از مینیمم نرم L1به همراه مینیمم TV تصویر را به صورت زیر بازسازی کرد[۶]
که در این رابطه، Fu تبدیل فوریه undersample شده، X تصویر MR پایه تبدیل نمایش اسپارس، Y نمونه های undersample شده از فضای k و بیانگر میزان استفاده از مینیمم TV در مقابل مینیمم نرم L1 می باشد. صحتبازسازیرابرایدادهاندازهگیریشدهکنترلمیکند.
۴ -شبیه سازی و نتایج
۴ - - انتخاب ماسک
با توجه به فضای k، چون بیشترین انرژی سیگنال MR در اطراف مبدأ فضای k است بنابراین برای undersample کردن فضایk از ماسکی استفاده می شود که تا حد امکان داده های اطراف مبدأ فضایk تغییری نکنند. استفاده از ماسک تصادفی داده های اطراف مبدأ فضای را undersample می کند بنابراین اغلب انرژی سیگنال را خراب می کند بنابراین تصویر بازسازی شده با این ماسک از کیفیت خوبی برخوردار نمیباشد(شکل (۲)).
