بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بهينه سازي قابليت اطمينان ١ دو هدفه سيستمهاي سري - موازي ٢ با انتخاب استراتژي هاي يدکي و محدوديت تصادفي ٤ با به کارگيري رويکرد معيار جامع
چکيده :
اين مقاله يک روش متفاوت بر پايه ي رويکرد معيار جامع ، براي حل مدل رياضي جديد مسايل تخصيص يدکي دوهدفه ٨ارايه مي کند. همه ي مدل هاي عمومي چندهدفه ي مساله ي تخصيص يدکي فرض مي کنند که نوع استراتژي يدکي براي هر زيرسيستم ، از قبل مشخص شده است . در عمل هردوي يدکي هاي Active وCold-Standby ممکن است در يک طرح سيستم خاص استفاده شوند. پس انتخاب استراتژي يدکي يک متغير تصميم اضافي خواهد بود. بنابراين ، مدل و روش حل ارايه شده ، براي انتخاب بهترين استراتژي يدکي، نوع اجزا و سطوح يدکي براي هر زيرسيستم که قابليت اطمينان سيستم را بيشينه و مجموع هزينه ي سيستم تحت محدوديت ها را کمينه مي کند، بيان شده است . اين مساله به کلاس NP-hard تعلق دارد.
واژگان کليدي:
قابليت اطمينان ، رويکرد معيار جامع ، MORAP٩، يدکي هاي Active وCold-Standby، الگوريتم ژنتيک
١- مقدمه :
قابليت اطمينان به عنوان يکي از معيارهاي مهم طراحي در همه ي صنايع در نظر گرفته مي شود. در طراحي هاي اوليه ، تخصيص يدکي، يک روش مستقيم تقويت قابليت اطمينان سيستم است . مساله ي تخصيص يدکي ١، انتخاب اجزاي همزمان و طرح ساختاري سيستم را شامل مي شود که روي هم رفته مي تواند همه ي محدوديتهاي طراحي را به منظور بهينه سازي چند تابع هدف ، مانند هزينه ي سيستم و يا قابليت اطمينان سيستم در نظر بگيرد. در اين مساله ، چند نوع از اجزاي مختلف با سطوح مختلف هزينه ، قابليت اطمينان ، وزن و ديگر خصوصيات وجود دارند.[١] معمولا مساله ي تخصيص يدکي با فرمول بندي مسايل بهينه سازي عددصحيح غيرخطي٢ ارزيابي مي شود، که تک هدفه در نظر گرفته مي شود.(مثلا بيشينه کردن قابليت اطمينان سيستم ). مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه ٣ به عنوان يک مساله ي NP-hard شناخته شده است [٢] . و با استفاده از تعدادي از رويکردهاي بهينه سازي ٤، براي فرمول بندي هاي مختلف حل شده است . [همانطور که در ٣ و ٤ خلاصه شده است ].
به طور کلي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه با در نظر گرفتن يدکي Active فرمول بندي شده است .
Coit [٥]، فرمول بندي مساله و روش حل براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه عمومي، وقتي که استراتژي يدکي همه ي زيرسيستمها Cold-Standby است را بيان کرد. Liu و Coit [٦]، يک فرمول بندي و روش حل جديد براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه عمومي، وقتي که طرح سيستم شامل چند زيرسيستم طراحي شده با هر يک از يدکي هاي Active و Cold-Standby باشد را بيان کرد. اين روش حل ، فرض مي کند که استراتژي يدکي (مثلا Active يا Cold-Standby)، براي هر زيرسيستم ، از قبل تعيين شده اند. Coit [٧]، يک روش بهينه براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه ، وقتي بعضي از زيرسيستمها با استفاده از يدکي Active،Cold-Standby يا بهترين استراتژي يدکي وجود دارند، بيان کرد. اکثر روشهاي حل براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه عمومي، فرض مي کنند که استراتژي يدکي براي هر زيرسيستم از قبل تعيين شده و ثابت هستند. به طور کلي، يدکي Active توجه بيشتري را به خود جلب کرده است . هرچند در عمل هردوي يدکي هاي Active و Cold-Standby ممکن است در يک طرح سيستم خاص با انتخاب استراتژي يدکي که يک متغير تصميم اضافي است ، استفاده شوند.
بنابراين ، مساله اي که توسط Coit [٧]در نظر گرفته شده است ، براي انتخاب بهترين استراتژي يدکي، جزء و سطح يدکي براي هر زيرسيستم به منظور بيشينه سازي قابليت اطمينان سيستم تحت محدوديتهاي سيستم است .
اين مساله متعلق به کلاس NP-hard است . توکلي و مقدم ، در [٨] يک الگوريتم ژنتيک براي حل اين مساله به کار بردند. صفري، توکلي و مقدم ، [٩]، مدل رياضي براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه ، که به وسيله ي Coit [٧]، بيان شده بود را توسعه دادند. آنها يک مدل رياضي جديد براي مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه با اجزاي ترکيبي ١، وقتي بعضي زيرسيستمها از استراتژي يدکي Active، Cold-Standby و يا بهترين استراتژي يدکي استفاده مي کنند را فرمول بندي کردند. توکلي، مقدم و صفري،[١٢-١٠]، دو روش فراابتکاري براي حل اين مساله پيشنهاد دادند. آنها الگوريتم ژنتيک ، الگوريتم ممتيک ٢ ، و GA&MA را به ترتيب براي حل اين مساله بيان کردند. اغلب مطالعات مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه روي بيشينه کردن قابليت اطمينان سيستم يا کمينه کردن هزينه ي سيستم تمرکز دارند. هرچند به طور خاص ، يک تصميم ساز يا طراح سيستم بايد چند هدف همزمان را در نظر بگيرد. علاوه بر قابليت اطمينان و هزينه ، وزن و فضاي اشغال شده توسط سيستم مي توانند خصوصيات مهم ديگر باشند. بنابراين توابع چند هدفه ، يک جنبه ي اساسي در طراحي قابليت اطمينان سيستمهاي مهندسي ٣ هستند. در مسايل مهندسي، معمول است که چند هدف رقابتي و چند راه حل موثر داشته باشيم . هرچند يک جواب شدني ٤ در نهايت بايستي انتخاب شود تا به عنوان طرح سيستم پياده شود. براي مسايل چندهدفه ، نمي توان يک جواب تکي را که به طور همزمان هر هدفي را بهينه کند تعيين کرد. هنگام جستجوي جواب ها، وقتي براي بهبود يک هدف تلاش مي کنيم ، اهداف ديگر هنگام حصول يک نتيجه بدتر مي شوند. تعيين يک جواب تکي براي مسايل چندهدفه مي تواند با استفاده از روشهايي چون برنامه ريزي هدف ٥، تيوري مطلوبيت ٦، روش مجموع وزن وزن دهي شده ١و ... انجام شود. اين روشها به طور اجتناب ناپذيري مورد نقد هستند. اول به دليل هم جنس بودن مقادير مختلف مانند قابليت اطمينان و هزينه ها براي يک واحد متداول اندازه ، و دوم به دليل انتخاب تابع هدف بهينه سازي و تنظيم محدوديتها. يک روش جايگزين براي اين مساله تعيين يک مجموعه جواب بهينه ي پارتو است . يک مجموعه جواب بهينه ي پارتو، مجموعه اي از جوابهاست که همگي توسط هر جواب ديگري نامغلوب هستند يعني جواب بهتر از آن وجود نداشته باشد که بتواند يک تابع هدف را بدون بدتر کردن تابع هدف ديگر بهبود بخشد. هنگام حرکت از يک نقطه ي پارتو به نقطه ي ديگر، همواره مقدار مشخصي از بدتر شدن تابع هدف براي رسيدن به ميزان مشخصي بهتر شدن در تابع هدف ديگر وجود دارد.[١٣]
Busacca [١٤] ، يک الگوريتم ژنتيک چندهدفه براي حل مساله ي تخصيص يدکي در يک سيستم ايمن به کاربرد، که بيشينه کردن سود خالص برآمده از عملکرد سيستم و بيشينه سازي قابليت اطمينان سيستم ، اهداف آن هستند. Kultural-konak [١٥] ، مساله را با روش جستجوي ممنوع ٢ با سه تابع هدف حل کردند، بيشينه کردن قابليت اطمينان ، کمينه کردن هزينه و کمينه کردن وزن سيستم . Coit [١٦] ، يک فرمول بندي چندهدفه براي مساله ي تخصيص يدکي که اهداف بيشينه سازي تقريبي از قابليت اطمينان و کمينه سازي واريانس ٣ آن تقريب بود، را بيان کرد. Konak &Coit [١٧] ، يک مدل جديد براي مساله ي تخصيص يدکي چندهدفه که به طور همزمان قابليت اطمينان هر زير سيستم را ماکزيمم مي کند بيان کردند. Azaron [١٨] ، يک متدولوژي جديد براي ارزيابي و بهينه سازي قابليت اطمينان سيستم با استراتژي يدکي Cold-Standby اجزاي غيرمشابه تعمير نشدني٤ بيان کرد. او تکنيک کوتاهترين مسير در شبکه هاي تصادفي را به کاربرد. Sal azar [١٩] ، سه نوع مساله بهينه سازي قابليت اطمينان را با NSGA-II٥ حل کرد: يافتن تعداد بهينه ي اجزاي يدکي (مساله ي قابليت اطمينان جزء) ، يافتن قابليت اطمينان اجزا و تعيين هردوي قابليت اطمينان و اجزاي يدکي شان (تخصيص يدکي و قابليت اطمينان اجزا). او نشان داد که نتايج الگوريتم پيشنهادي شان با مساله ي تخصيص يدکي تک هدفه يکسان است . Taboada[٢٠] ، يک الگوريتم را بيان کرد که MOMS-GA ناميده شده است و براي حل مساله ي تخصيص يدکي سه هدفه در سيستمهاي چندحالته استفاده مي شود که دسترس پذيري، هزينه و وزن سيستم به عنوان سه هدف در نظر گرفته مي شوند. Taboada Coit & [٢١] ، مساله ي تخصيص يدکي را به صورت يک مساله چندهدفه با بيشينه سازي قابليت اطمينان و کمينه سازي وزن و هزينه ي سيستم مدلسازي کردند. آنها الگوريتمي براي حل مساله بيان کردند که MOEA-DAP ناميده شده است . متاسفانه ، همه ي مدلهاي مساله ي تخصيص يدکي چندهدفه فرض مي کنند که نوع استراتژي يدکي از قبل تعيين شده است .
در اين مقاله ، مساله ي تخصيص يدکي چندهدفه با در نظر گرفتن قابليت اطمينان سيستم و هزينه ي طراحي به عنوان دو هدف ، وقتي که بعضي زير سيستمها از استراتژي Active و بعضي از استراتژي Cold-Standby استفاده مي کنند، فرمول بندي مي شود. به طور کلي مساله ي تخصيص يدکي براي ساختارهاي سيستم متنوع از قبيل : سري، موازي، سري - موازي در نظر گرفته مي شود. براي سيستم هاي سري -موازي، مساله ي تخصيص يدکي چندهدفه براي يک سيستم با S زير سيستم به صورت سري فرمول بندي شده است . هر زير سيستم ، Miجزء از اجزاي يکسان به صورت کارکردي دارد. کمترين تعداد جزء براي هر زيرسيستم بايد استفاده شود. به دليل هزينه هاي توليد، کاربردهاي توليدي و تمهيدات تضمين کيفيت وابسته ، اجزا ممکن است قيمت ، وزن و قابليت اطمينان متفاوت داشته باشند. حتي اگر با کاربرد يکسان تهيه شوند. شکل ١، يک سيستم سري - موازي را نشان مي دهد که يک ساختار رايج سيستم استفاده شده در اکثر طرحها مي باشد.
دو نوع استراتژي يدکي با نام هاي Active و Standby وجود دارد. بسياري از سيستمهاي ميداني مانند سيستم ماهواره و اکتشاف فضا از اين استراتژي هاي يدکي براي دستيابي به قابليت اطمينان بالا استفاده مي کنند. اگر همه ي اجزاي يدکي به طور همزمان از زمان صفر کار کنند، گرچه ممکن است سيستم در هر زمان نيازمند يکي از آنها باشد، اين يدکي را Active مي نامند. سه نوع يدکي Standby به صورت زير وجود دارد: Cold،Warm ،Hot . در يدکي Cold-Standby، جزء قبل از اينکه کار کند خراب نمي شود. در يدکي Warm-Standby، اجزا بيشتر از اجزاي Cold-Standby، قبل از اينکه کار کنند، مستعد خرابي هستند. در يدکي Hot-Standby، الگوي خرابي جزء وابسته به اينکه جزء بيکار باشد يا در حال کار باشد نيست . مدلهاي رياضي براي يدکي هاي Active و Hot-Standby مشابه هم هستند. در آرايش يدکي Standby، اجزاي يدکي به تناوب در سيستم ، در زمان خرابي اجزا استفاده مي شوند. هر جزء يدکي در آرايش Standby تنها زماني مي تواند کار کند که تعويض شود. وقتي جزء خراب شود، يکي از واحدهاي يدکي براي ادامه عملکرد سيستم ، جايگزين مي شود.[٨] اين مقاله ، استراتژي هاي يدکي شامل تنها يدکي Active و Cold-Standby را در نظر مي گيرد. البته اينکه کدام زيرسيستم از کدام استراتژي استفاده مي کند، از متغيرهاي تصميم مساله است .
مقاله به صورت زير سازمان يافته است :
بخش ٢ و ٣ و ٤ به ترتيب تعريف مساله و مدل رياضي و يک روش براي حل مساله ي تخصيص يدکي دوهدفه ، زماني که هرکدام از يدکي هاي Active يا Cold-Standby مي توانند براي زيرسيستمهاي خاص انتخاب شوند بيان مي کند. يک مثال عددي و نتايج محاسباتي در بخش ٥ بيان شده است . در نهايت در بخش ٦ نتايج ارايه مي شود.
١- تعريف مساله
مساله به صورت مدل رياضي مساله ي تخصيص يدکي دوهدفه سري-موازي با S زير سيستم وقتي که استراتژي يدکي مي تواند براي هر زير سيستم خاص انتخاب شود، مي باشد. در اين مساله ، اجزاي درون زيرسيستم هاي يکسان از يک نوع هستند. در اين مقاله ، مساله ي چندهدفه که دو تابع هدف به طور همزمان ، هزينه ي خريد اوليه را کمينه و قابليت اطمينان سيستم را بيشينه مي کنند، با محدوديت وزن بيان شده است . هرچند، گاهي قابليت اطمينان سيستم و هزينه ي طراحي سيستم هر دو به طور جدي توسط طراح در نظر گرفته مي شوند. پس براي ديدن نيازهاي مختلف طراح ، مطلوب آن است که هزينه ها و قابليت اطمينان به طور همزمان در فرآيند بهينه سازي درگير شوند. از طرف ديگر واضح است که براي داشتن ميانگين هاي قابليت اطمينان بالاتر، طراح بايد هزينه هاي بالاتري پرداخت کند.
فرضها يا محدوديتهاي عمده در مدل رياضي براي سيستم هاي غيرقابل تعمير به صورت زير هستند:
١- حالات اجزا و سيستم مرتبط با آنها تنها دو گزينه دارند که با عنوان "خوب " يا "بد" به آنها اشاره مي شود.
٢- خواص جزء(مثلا قابليت اطمينان و هزينه ) شناخته شده و معين هستند.
٣- دو استراتژي يدکي (با عنوان Active و Cold-Standby) در نظر گرفته مي شوند.
٤- هيچ گونه تعمير يا نگهداري پيشگيرانه براي اجزا وجود ندارد.
٥- خرابي هاي اجزا، پيشامدهاي وابسته هستند.
٦- اجزاي خراب به سيستم لطمه نمي زنند.
٧- اجزاي درون زيرسيستمهاي يکسان از يک نوع هستند.
٣- مدل رياضي
مدل رياضي مساله ي تخصيص يدکي دوهدفه سري-موازي با S زير سيستم وقتي که استراتژي يدکي مي تواند براي هر زير سيستم خاص انتخاب شود، به صورت يک مساله ي برنامه ريزي غيرخطي عدد صحيح در نظر گرفته مي شود. به طور متداول ، مساله ي تخصيص يدکي با تک هدف بيشينه سازي قابليت اطمينان يا کمينه سازي هزينه ي طراحي سيستم فرمول بندي مي شود. به دليل تضاد بين قابليت اطمينان سيستم و هزينه ي طراحي، هر دوي آنها به طور همزمان در نظر گرفته مي شوند. به عبارت ديگر مساله ي تخصيص يدکي دوهدفه با قابليت اطمينان سيستم و هزينه ي طراحي به عنوان دو هدف متضاد فرمول بندي مي شوند.
١-٣- نمادگذاري
٢-٣- مدل نهايي
بر اساس فرضها و نمادگذاري ها مدل رياضي براي مساله ي تخصيص يدکي دوهدفه به صورت زير نشان داده شده است :
با در نظر گرفتن معادلات ١ و ٢ ، هدف تعيين استراتژي يدکي، نوع جزء و تعداد اجزا در هر زيرسيستم براي دستيابي به ماکزيمم قابليت اطمينان و مينيمم هزينه ي طراحي مرتبط با آن است . محدوديتهاي داده شده در معادلات ٣ و ٤ ، به ترتيب وزن مجاز و ماکزيمم تعداد اجزاي قرار داده شده در زيرسيستم i را بيان مي کنند. محدوديت داده شده در معادله ي ٥، نوع جزءي را که امکان دارد به زيرسيستم i اختصاص يابد بيان مي کند.
دو سناريو وجود دارد که قابليت اطمينان براساس آنها فرمول بندي مي شود:
١. کشف خرابي و تعويض پيوسته
٢. سوييچ ٢ فعال کننده با نرخ خرابي جواب مي دهد.
در بيشتر توزيع هاي زمان خرابي، غيرقابل کنترل است . بنابراين از معادله ي ٨ (تقريبي از قابليت اطمينان ) يه جاي معادلات بالا استفاده مي شود.
همه ي زيرسيستمها مي توانند با استراتژي يدکي تخصيص داده شده به صورت زير دسته بندي شوند:
A: مجموعه ي همه ي زيرسيستمها با استراتژي Active
S: مجموعه ي همه ي زيرسيستمها با استراتژي Cold-Standby
بنابراين معادله ي ٨ شامل حاصل ضرب دو جمله است .
جملات ١ و ٢ ، به ترتيب قابليت اطمينان همه ي زيرسيستمها با يدکي هاي Active وCold-Standby را محاسبه مي کنند. در جمله ي ٢ ، قابليت اطمينان زيرسيستم Cold-Standby، مجموع قابليت اطمينان اجزاي پشتيبان در حال کار است . براساس تعريف j ، در شروع کار يک زيرسيستم Cold-Standby، يک جزء از نوع Zi در حال کار است . وقتي يک جزء خراب مي شود، يکي از اجزاي پشتيبان براي ادامه فعاليت سيستم ، جايگزين مي شود. خرابي در هر زيرسيستم در زمان u با احتمال رخ مي دهد و جزء پشتيبان با قابليت اطمينان وارد فعاليت مي شود.
يک تقريب ١ براي قابليت اطمينان سيستم در معادله ي ٩ ، بيان شده است . زمان براي توزيع خرابي همه ي اجزا، ارلانگ ٢ است . پس قابليت اطمينان سيستم مي تواند به صورت زير بيان شود:
همانطور که از عنوان مقاله پيداست ، محدوديت به صورت تصادفي است . پس تغييرات زير در محدوديت اعمال مي شود.
فرض : w يک متغير تصادفي نرمال است و ضريب اطمينان براي آن در نظر گرفته مي شود.
با توجه به جدول بالا و محاسبات آماري براي محدوديت وزن ، داريم :
در نهايت محدوديت وزن به صورت زير در مي آيد: [٢٧]
