بخشی از مقاله
چکیده
شدت و مدت خشکسالی دو ویژگی اصلی برای توصیف خشکسالی است که این ویژگیها به صورت متقابل با یکدیگر همبستگی داشته و معمولاً دارای توزیعهای حاشیهای متفاوت میباشند. یک توزیع دو متغیره از شدت و مدت خشک سالی میتواند انطباق بیشتری بر روی توزیعهای حاشیهای آنها داشته باشد . در این تحقیق برای ساخت یک توزیع دو متغیره شدت و مدت خشکسالی با توزیعهای حاشیهای مختلف از نظریه آنتروپی استفاده شده است.
توزیع دو متغیره مبتنی بر آنتروپی با مشخص نمودن محدودیتها برای شدت و مدت خشک سالی حاصلشده و در ادامه توزیعهای حاشیهای بر این اساس به دست آمد. در این تحقیق از دادههای رودخانهی کارون در محل ایستگاه پل شالو برای نشان دادن کاربرد روش بیانشده، استفاده شده است. در نهایت روش توابع مفصل برای مقایسه با روش پیشنهادشده ی آنتروپی مورد آزمون قرار گرفته است.
واژههای کلیدی: توابع مفصل، توزیع دو متغیره، توزیع حاشیهایی، خشکسالی، محدودیتها، نظریه آنتروپی.
مقدمه
تحلیل خشکسالی برای برنامهریزی و مدیریت منابع آب بسیار مهم میباشد. یوجویچ در سال 1967 از تئوری ران برای توصیف خشکسالی به صورت بازههای کمی متوالی که در آن ارائه آب کمتر از نیاز میباشد، استفاده نمود. این کار محققین را قادر ساخت تا برخی از ویژگیهای خشکسالی از جمله شدت و مدت را مشخص نمایند. این ویژگیها به صورت متغیر تصادفی فرض گردیدهاند ومعمولاً برای تحلیل خشکسالی مورد استفاده قرار میگیرند.ویژگیهای احتمالاتی خشکسالی براساس شدت و مدت آن، چه به صورت جداگانه و چه به صورت توام برای تحلیل خشکسالی مورد نیاز است . یکی از روشهای قدیمی و سنتی، استفاده از برازش تابع چگالی احتمال میباشد .
مدت خشکسالی هنگامی که متغیر خشکسالی به صورت متغیر تصادفی گسسته رفتار میکند، میتواند توسط توزیع ژئومتریک مدل شود - کندال و دراکوپ، 1992؛ ماتیر و همکاران،. - 1992 و یا میتوان هنگامی که به صورت متغیر تصادفی پیوسته رفتار مینماید از توزیع نمایی استفاده کرد - زلنهاسی و سالوی، . - 1987 توزیع گاما نیز عموماً برای توصیف شدت خشکسالی استفاده میشود. به هر حال همبستگی بین شدت و مدت خشکسالی نمیتواند با تحلیل تک متغیره انجام گردد ولی می توان از تحلیل چند متغیره برای مدل نمودن همبستگی بین متغیرهای خشکسالی استفاده کرد - گنزالس و والدس، 2003؛ سالاس و همکاران، 2005؛ کیم و همکاران، 2006؛ شیاو، 2006؛ ناداراجا، 2009؛ میشرا و سینگ، . - 2010
برخی از توزیعهای دو متغیره به عنوان مثال توزیع دو متغیره پَرِتو1 برای توصیف رفتار توام شدت و مدت خشکسالی پیشنهاد گردیده است. در این توزیعها فرض بر این است که شدت و مدت خشکسالی دارای توزیع مشابه هستند - ناداراجا، . - 2009 با این حال استفاده از این توزیعها ممکن است به این دلیل که شدت و مدت خشکسالی دارای توزیع مشابه نیستند دور از واقعیت باشد، به همین دلیل است که در برخی مطالعات دیگر مانند شیاو در سال 2006، شیاو و همکاران در 2007، میراکبری و همکاران 2010 و وونگ وهمکاران در 2010 از روش توابع مفصل برای ساخت توزیع توام با توزیعهای حاشیهایی متفاوت استفاده شده است.
هدف این مقاله استفاده از روشی براساس آنتروپی برای ساخت توزیع دو متغیره شدت و مدت خشکسالی میباشد. مزیت این روش آن است که توزیعهای حاشیهایی استفاده شده متفاوت هستند و لزومی ندارد که این توزیعها یکسان باشد. در نهایت این روش با روش توابع مفصل مقایسه گردیده است. از روش پیشنهاد شده برای تحلیل خشکسالی با استفاده از دادههای دبی ماهانه ایستگاه پل شالو بر روی رودخانه کارون استفاده شده است.
مواد و روشها
روش انجام کار برای بدست آوردن توزیع دو متغیره براساس روش آنتروپی شامل: -1 بدست آوردن آنتروپی شانون برای موارد تک و دو متغیره، -2 بدست آوردن محدودیتها ، -3 بیشینه سازی آنتروپی با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ و بدست آوردن تابع چگالی احتمال و -4 تخمین ضرایب لاگرانژ میباشد.
آنتروپی تک و دو متغیره
برای متغیرهای تصادفی X و Y با توزیع چگالی احتمال f - x,y - که در فضای [a,b]×[c,d] قرار دارد، توزیع حاشیهای متغیر X میتواند به وسیله انتگرال گیری از تابع f - x,y - نسبت به Y بدست آید:
به طور مشابه توزیع حاشیهایی برای متغیر Y می تواند به صورت زیر بدست آید:
عموماً برای حل معادلات فوق حل صریح وجود ندارد و حل عددی لازم است.برای متغیر تصادفی پیوسته X با تابع چگالی احتمال f - x - که در بازه [a,b] قرار دارد، آنتروپی با استفاده از رابطه زیر بدست می آید - شانون، : - 1948
برای متغیرهای تصادفی پیوسته X و Y با توزیع PDF توام f - x,y - که در فضای [a,b]×[c,d] قرار دارد، آنتروپی شانون دو متغیره به وسیله رابطه زیر بدست میآید:
هدف، بدست آوردن PDF حاشیهایی f - x - و f - y - و تابع f - x,y - PDF بر اساس نظریه آنتروپی میباشد.
محدودیت ها
تحقیقات مختلف نشان میدهد که تعداد زیادی از توزیعهای معمول میتوانند توسط نظریه آنتروپی با محدودیتهای مختلف بدست آیند - سینگ، . - 1998 برای مثال توزیع نمایی میتواند از محدودیت به فرم میانگین بدست آید، در حالی که توزیع گاما میتواند توسط محدودیتهایی به فرم میانگین و لگاریتم میانگین حاصل شود. برای توزیعهای دومتغیره مثلاً توزیع دو متغیره نرمال، دو گشتاور اول هر متغیر و ضرب دو متغیر میتواند به عنوان محدودیت مد نظر قرار گیرد - کاپور . - 1989 بنابراین فرآیند ساخت توزیع احتمالاتی براساس نظریه آنتروپی روشی انعطافپذیر بوده که میتواند جایگزین مناسبی برای بدست آوردن توزیع دومتغیره باشد.
برای بردار تصادفی - X,Y - با تابع چگالی احتمال f - x,y - ، محدودیتها میتواند توسط رابطه زیر بدست آید:
در رابطه فوق gi - x,y - و یا gi تابع بردار تصادفی - X,Y - ؛ g0 - x,y - =1؛ مقدار مورد انتظار تابع gi - x,y - ؛ و m تعداد محدودیتها میباشد.
برای بدست آوردن تابع چگالی توام f - x,y - برای مدت خشکسالی - متغیر تصادفی - X و شدت خشکسالی - متغیر تصادفی - Y، محدودیتها در معادله - 5 - بایستی به صورت جداگانه و توام تعیین گردد. اولین محدودیت که محدودیت واحد نام دارد با استفاده از انتگرالگیری از تابع چگالی احتمال، برابر یک میباشد. این محدودیت با توجه به معادله - 5 - برای i=0 به صورت زیر بیان میشود:
محدودیت توام که توصیف ساختار وابستگی بین دو متغیر X و Y میباشد، توسط معادله زیر بدست میآید:
به جز محدودیت واحد در معادله - 6 - و محدودیت توام در معادله - 7 - ، محدودیتهای جداگانه برای متغیرهای تصادفی X و Y برای بدست آوردن توزیع توام مورد نیاز میباشد. دو محدودیت جداگانه دیگر برای روش ارائه شده بدست آمده است.در این مطالعه فقط از یک محدودیت - با یک پارامتر لاگرانژ - برای مدت خشکسالی و دو محدودیت - با دو پارامتر لاگرانژ - برای شدت خشکسالی استفاده شده است.همانطور که قبلاً شرح داده شد توزیع نمایی میتواند توسط محدودیت میانگین بدست آید در حالی که توزیع گاما میتواند به وسیله محدودیت میانگین و لگاریتم میانگین حاصل شود. این بدین مفهوم است که میانگین و لگاریتم میانگین میتوانند گزینه-های مناسبی برای محدودیتها باشند. برای اولین محدودیت جداگانه، میانگین برای متغیر X - مدت خشکسالی - و میانگین و لگاریتم میانگین برای متغیر Y - شدت خشکسالی - ، به صورت روابط زیر استفاده شده است:
