مقاله تحلیل نشست پی¬های سطحی با استفاده از روش المان محدود تصادفی

بخشی از مقاله

خلاصه

پی های سطحی از مهم ترین اجزای سازه ها می باشند که وظیفه انتقال بار سازه را به زمین به عهده دارند. نشست پی ها می تواند باعث ایجاد تنش های اضافی در اجزای سازه، ترک در نازک کاری ها، مشکل در باز و بسته شدن در و پنجره ها و...گردد. از این رو رعایت دقت کافی در برآورد نشست پی ها امری ضروری به نظر می رسد. از جمله عوامل موثر در میزان نشست پی ها مشخصات خاک می باشد.

در تحلیل های قطعی نشست پی ها تنها به ارائه یک مقدار برای مشخصات خاک اکتفا می شود. اما با توجه به ماهیت غیر همگن خاک، خطاهای موجود در اندازه گیری و ... اکتفا کردن به ارائه تنها یک مقدار برای پارامترهای خاک و انجام تحلیل بر اساس آن چندان منطقی به نظر نمی رسد و ممکن است باعث ایجاد خطا در برآورد میزان نشست گردد. از این رو در نظر گرفتن عدم قطیت موجود در پارامترهای خاک امری ضروری به نظر می رسد.

یکی از روش های در نظر گرفتن عدم قطعیت موجود در پارامترهای خاک، روش المان محدود تصادفی می باشد. در این روش با مدل کردن پارامترهای خاک به صورت متغیر تصادفی یا میدان تصادفی، اثر عدم قطعیت موجود در پارامترهای خاک در جواب خروجی مسئله در نظر گرفته می شود. در این تحقیق با در نظر گرفتن تغییرات مکانی پارامترهای الاستیک خاک و مدل کردن آن ها به صورت میدان تصادفی و با در نظرگیری رفتار غیرخطی خاک تحلیل نشست پی های سطحی با استفاده از روش المان محدود تصادفی انجام گرفته و توزیع نشست به دست آورده می شود.

.1  مقدمه

تاثیر قابل توجه عدم قطعیت های ذاتی موجود در پارامترهای خاک بر رفتار خاک باعث مورد توجه قرار گرفتن استفاده از روش های احتمالاتی در مسائل ژئوتکنیک توسط جامعه مهندسی شده است. در روش های قطعی تحلیل مسائل ژئوتکنیک تنها به ارائه یک مقدار برای پارامترهای خاک اکتفا می شود که با توجه به عدم قطعیت موجود در پارامترهای خاک و هم چنین ماهیت غیر همگن خاک چنین تحلیلی منطقی به نظر نمی رسد و راه دقیق تر استفاده از روش های احتمالاتی در تحلیل مسائل ژئوتکنیکی برای در نظر گیری عدم قطعیت موجود در پارامترهای خاک می باشد.

روش المان محدود تصادفی روشی کارامد برای در نظرگیری اثر عدمقطعیت موجود در پارامترهای خاک در رفتار خاک و به عبارت دیگر در پاسخ مسائل ژئوتکنیک میباشد. از جمله مسائل مهم در ژئوتکنیک، مسئله نشست پیهای سطحی میباشد. تحلیل احتمالاتی نشست پیهای سطحی بسیار مورد توجه محققین مختلف بوده است.

فنتون و گریفیت [1] 2002 تحلیل احتمالاتی نشست پی تکی سطحی و نشست نامساوی دو پی را با مدل کردن پارامترهای الاستیک خاک به صورت میدان تصادفی و استفاده از روش شبیه سازی مونت کارلو بررسی کردند. سوبرا و همکاران [2] 2008 تحلیل احتمالاتی نشست و ظرفیت باربری پیهای سطحی با مدل کردن پارامترهای خاک به صورت پارامتر تصادفی ارائه کردند.

در این تحقیق با در نظر گرفتن تغییرات مکانی پارامترهای الاستیک خاک و مدل کردن آن¬ها به صورت میدان تصادفی و با در نظرگیری رفتار غیرخطی خاک تحلیل نشست پی های سطحی با استفاده از روش المان محدود تصادفی انجام گرفته و توزیع نشست به دست آورده می شود.

.2     المان محدود تصادفی

به دلیل اثر قابل توجه عدم قطعیت موجود در پارامترهای خاک بر رفتار خاک در نظر گیری این عدم قطعیت در تحلیل مسائل ژئوتکنیکی لازم به نظر می رسد. روش های مختلفی برای در نظرگیری عدم قطعیت ارائه شده است که یکی از این روش ها ، روش المان محدود تصادفی می باشد. در این روش، روش المان محدود قطعی برای در نظر گیری اثر عدم قطیت توسعه داده شده است که در آن پارامترهای ورودی به صورت پارامترهای غیر قطعی هستند و اثر عدم قطعیت موجود در پارامترهای ورودی در پارامترهای خروجی وارد می شود. المان محدود تصادفی خود شامل روش های زیر می باشد:

- 1    روش آشفتگی [3] - perturbation method -
- 2    روش المان محدود تصادفی طیفی [4] - spectral stochastic finite element method -
- 3    روش سطح پاسخ [5] - response surface method -
- 4    روش سطح پاسخ تصادفی - [6] - stochastic response surface method

در این تحقیق از روش سطح پاسخ تصادفی برای آنالیز احتمالاتی نشست پی های سطحی استفاده شده است.

.3  تغییرات مکانی پارامترهای خاک

پارامترهای خاک در نقاط مختلف محیط مورد مطالعه مقادیر مختلفی دارند و به عبارت دیگر متغیر مکانی می باشند. به همین دلیل پارامترهای خاک را باید بصورت میدان تصادفی مدل کرد. یک میدان تصادفی گوسی با میانگین، انحراف استاندارد و تابع خود همبستگی توصیف می گردد. تابع خود همبستگی برای یک پارامتر، همبستگی مکانی مقادیر آن پارامتر را در نقاط مختلف بیان می کند. در این تحقیق تابع همبستگی به صورت زیر انتخاب شده است که در این رابطه lx  و ly  به ترتیب طول همبستگی در جهت افقی و قائم می باشند.

.4     گسسته سازی میدان تصادفی
با توجه به ماهیت گسسته روش های عددی مانند روش المان محدود تصادفی، میدان تصادفی پیوسته به متغیرهای نرمال استاندارد تجزیه می شود. روش های مختلفی برای گسسته سازی میدان تصادفی موجود می باشد.

در این تحقیق از بسط K-L برای گسسته سازی میدان تصادفی استفاده شده است. این روش بر اساس تجزیه طیفی تابع خود همبستگی می باشد. در این روش میدان تصادفی به صورت زیر بیان می شود:
که در این رابطه ʽ میانگین ،انحراف استاندارد،  متغیر های نرمال استاندارد، - x -  و  به ترتیب توابع ویژه و مقادیر ویژه تابع خود همبستگی هستند که از حل انتگرال زیر محاسبه می شوند:

این انتگرال به انتگرال فردهولم موسوم است. حل تحلیلی این انتگرال تنها به ازای برخی توابع خود همبستگی خاص موجود می باشد و این معادله اغلب به صورت عددی حل می گردد. با انتخاب تابع خود همبستگی به صورت رابطه - 1 - حل تحلیلی این انتگرال به صورت زیر موجود می باشد:

حل بالا برای تابع خودهمبستگی یک بعدی ارائه شده است. برای تابع همبستگی دوبعدی مانند تابع خود همبستگی در رابطه - 1 - ابتدا برای هر جهت مقادیر ویژه و توابع ویژه بدست آورده می شوند و سپس مقادیر برای حالت دوبعدی از حاصلضرب آن ها بدست آورده می شوند. برای کاربرد های عملی تنها تعداد محدودی از جملات بسط K-L در رابطه - 2 - به صورت زیر در نظر گرفته می شود:

مقدار M با توجه به نرخ تنزل مقادیر ویژه تابع خود همبستگی انتخاب می شود. در مسائل مهندسی ژئوتکنیک معمولا بیش از یک پارامتر دخیل می باشد. این پارامترها اغلب وابسته هستند. بنابراین میدان های تصادفی وابسته باید به کار گرفته شوند. در این تحقیق مدول الاستیسیته - E - و نسبت پواسون - ν - به عنوان پارامتر های غیر قطعی در نظر گرفته شده اند. شبیه سازی میدان های تصادفی وابسته به صورت زیر می باشد 

- 1    متغیرهای نرمال استاندارد هر میدان تصادفی تولید می شوند . - i -

- 2    ماتریس نرمال استاندارد وابسته  که kامین ستون آن به صورت زیر است تولید می شود:

K   - 3امین حقیقی سازی از میدان های تصادفی وابسته به صورت زیر می باشد:

برای پرهیز از تولید مقادیر منفی و با توجه به این حقیقت که پارامترهای خاک مقادیری مثبت می باشند در این تحقیق توزیع لاگ نرمال برای پارامترهای غیر قطعی خاک در نظر گرفته شده است. تولید میدان تصادفی لاگ نرمال به صورت زیر می باشد :

.5  روش سطح پاسخ تصادفی

در این روش پارامترهای خروجی به صورت تابعی از پارامترهای ورودی بیان می شود. در این روش مدل عددی اصلی بدون دست خوردگی باقی می ماند و نیازی به تغییر آن نمی باشد. در این روش پاسخ سیستم در نقاطی به دست آورده می شود و فرض می شود این جواب سیستم در این نقاط دقیق می باشد. مراحل روش سطح پاسخ تصادفی به صورت زیر می باشد

- 1    بیان کردن پارامترهای ورودی براساس متغیرهای نرمال استاندارد با استفاده از بسط .K-L
- 2    بیان کردن پارامترهای خروجی به صورت تابعی از پارامترهای غیر قطعی ورودی.

این کار با استفاده از بسط چند جمله ای های پراکندگی به صورت زیر انجام می گیرد