بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله تحلیل ارتعاش خطی اجباری پاسخ شمع در بستر الاستیک با نیروی میراگر، با استفاده از نیروی زلزله ی وارده به شمع به کمک روش عددی در حوزهی زمان و روش نیمهتحلیلی رایلی-ریتز در حوزهی مکان مورد مطالعه قرار داده شده است. برای این منظور ابتدا شمع به صورت یک تیر اویلر-برنولی با یکسر گیردار و یکسر آزاد درنظر گرفته شد و با درنظر گرفتن اثر نیروی محوری در طول تیر ناشی از وزن جرم متمرکز در بالای شمع، معادلهی دیفرانسیل پاره ای حاکم بر تیر مزبور استخراج شده است .
سپس با استفاده از تعریف ماتریس سختی دینامیکی، معادله دیفرانسیل معمولی از مرتبهی اول تشکیل شده است. خاک را به صورت فنر در نظر گرفته و دمپینگ سازه ای لحاظ شده است . در ادامه با استفاده از نرم افزار متلب به حل این معادله دیفرانسیلی حاکم پرداخته شده ، نمودارهای تغییرمکان نوک شمع در طول تیر تا مود هفتم ارتعاش و مقادیر فرکانس در ارتعاش اجباری در مود7 و مقادیر حداقل و حداکثر تغییرمکان و متعاقباً نیروی برشی و لنگر خمشی استخراج شده است.
-1مقدمه
سازهها غالباً به وسیله ی شمع هایی که در فونداسیون های خاکی نشانده شدهاند، تقویت می شوند. پاسخ این سیستم ها، هنگامی که فونداسیون در حالت وقوع زلزلهای، لرزیده شود، بهرهی کاربردی و عملی قابل ملاحظهای دارد.میخواهیم مدل ساده ای را امتحان کنیم که شمع منفردی که در ارتباط با سازهی زیرینش میباشد را تقریب میزند. ما شمع را همانند تیری در نظر می گیریم که سطح مقطع یکنواختی دارد و در محیطی الاستیک مدفون شده است. و جرم متمرکز و پیوسته ای در انتهای تیر به آن متصل شده است که دارای جرم مشخص M میباشد. جرم متصل شده در بالای شمع، مسبب مقاومتی میشود که از انتقال و چرخش جلوگیری می کند
تابع پاسخ فرکانسی، تابعی است که پاسخ دینامیکی سازه به بار اعمالی را به صورت تابعی از فرکانس بار وارده بیان میکند. باید دانست تابع پاسخ فرکانسی را میتوان برای تحلیل ارتعاش انواع گوناگون سازه ها مانند تیرها، قابها و صفحات و همچنین در مکانیک سیالات برای تحلیل مخازن حاوی سیال و در حالت کلی در شاخه های گوناگون علم مکانیک به کار گرفت. خاطر نشان میسازد، استخراج تابع پاسخ فرکانسی تیرها به صورت دقیق و محاسباتی، تاکنون کمتر مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است و از این تابع مفید در تحلیل های دینامیکی، اغلب به صورت تجرب ی و آزمایشگاهی استفاده شده است
به عنوان نمونه میتوان به پژوهش لی و کیم [4] اشاره نمود . آن ها با ارائهی روشی آزمایشگاهی، به صورت مستقیم، به محاسبه پاسخ فرکانسی سیستم پرداخته و مکانیزم های مختلف میرایی را، به صورت جداگانه، در ماتریس های متفاوتی جای میدهند همچنین، کاس و کارزوب با بهره جویی از تکنیک موج خمشی به پیشبینی توزیع کرنش دینامیکی سه بعدی در تیر ها میپردازند .
گرگز و ایرل پاسخ فرکانسی تیر یکسر گیردار یکسر ساده را با ارائه روشی تحلیلی و عددی به دست آوردهاند. در سال های اخیر استفاده از شمع ها در زیر سازه های مهمی همچون تجهیزات نیروگاهی، مجتمع های پتروشیمی، سازه های دریایی و پل ها گسترش زیادی یافته است .
طراحی ایمن و اقتصادی این نوع پی ها تحت اثر بارهای دینامیکی از اهمیت ویژه ای برخوردار است .توجه به این مسئله که اندرکنش شمع و خاک به همراه اثرات ناشی از نیروهای لرزه ای از اهمیت ویژه ای برخوردار است، نیاز به بدست آوردن پاسخ های دقیق از رفتار شمع تحت این نیروها و لرزش را مداری. بنابراین پاسخ دینامیکی شمع بطور گسترده مورد مطالعه قرار خواهد گرفت
روش های مختلفی از جمله :روش مدل وینکلر [7,8]، روش المان محدود [9,10,11]، روش المان مرزی [12,13,14]، روش معادله انتگرال [15,16,17] برای حل مسائل اندرکنش خاک و شمع پیشنهاد شده است.
اخیرا مطاله ای با موضوع تاثیربارهای ثابت به بالای شمع توسط ژیان فی لو و ،همکاران [18] صورت پذیرفته که در آن به بررسی توزیع نیروی داخلی شمع پرداختهشده است و همچنین تحقیقی در مورد پاسخ دینامیکیشمع در خاک اشباع توسط ژیان لیان ژو و همکاران[19] انجامشده استکه در آن تاثیرجرم و اینرسی دیده نمی شود.
شایان ذکر است که مطالعاتموجود محدود شده اند به حالت شمع های سرآزادبا بارگذاریدر بالای شمع، تحقیقاتیبا موضوعاتپاسخ دینامیکیشمع در محیط های چند لایه توسط ژیان هو و همکاران[20] انجام شدهاست که در آن شمع در خاک لایه بندی شده که هر لایه مشخصاتمتفاوتیدارد قرار گرفته است. از دیگر تحقیقاتانجام شده می توان به بررسی تاثیر لنگر خمشی و بار محوری و برشی بر بدنه شمع تحت اثر ارتعاشآزاد توسط کاتال[21,22] اشارهکرد.
در سال 1999 ، حیدر ارفات پاسخ غیرخطی تیر یکسر گیردار تحت تحریک معین را مورد بررسی قرار داد .در این تحقیق جهت خطی سازی از روش تئوری اغتشاشی استفاده شده است
در سال 2003 ملتکار، تیر غیرخطی را به روش عددی تحلیل نمود و نتایج بدست آمده را با نتایج تست مقایسه نمود. در این تحلیل خطای روش عددی به روشنی مشهود می باشد .[24] در سال 2007 ، ایوان دلگادو ارتعاشات غیرخطی تیر یکسر گیردار را که تحت بارگذاری هارومونیک بوده و از پایه به تیر اعمال می شود مورد تحلیل قرار داده است. در این تحقیق برای حل معادلات غیرخطی تیر از ترکیب روش باقیمانده وزنی گالرکین و روش نیومارک استفاده شده است
در سال 2010 ، استوکوف و ربریو، ارتعاشات خمشی -پیچشی تیر غیرخطی سه بعدی با مقطع مربعی را به روش مدل P اجزاء محدود، تحلیل نموده اند. در این تحقیق تیر تحت بارگذاری معین قرار داده شده است .[26] همچنین ارتعاشات آزاد تیر در شرایط تغییر شکل غیرخطی توسط این نویسندگان مورد تحلیل قرار داده شده است. در این تحلیل از روش مدل P اجزاء محدود استفاده شده است
در سال 2014 امیر علاالدین مطلبی، سعید ایرانی و سعید سازش، به مطالعه ی رفتار ارتعاشی تیر یکسر گیردار غیر خطی، تحت اثر تحریک هارمونیک بدون در نظر گرفتن دمپینگ سازه ای، با استفاده از حل معادله ی غیر خطی معمولی حاکم بر تیر پرداختند
.2 معادلهی حرکت حاکم
در این بخش، معادلات حرکت حاکم بر ارتعاش عرضی آزاد و اجباری شمع ملاحظه شده و شرایط مرزی بیان شده است . همانطور که در شکل - 1 - دیده میشود، شمع در بستر الاستیک به صورت شماتیک نشان داده شده است و مؤلفههای بردار جابجایی - u - در تکیه گاه نیز مشخص است . در ابتدا، چرخش شمع به اندازه 90 درجه در خلاف جهت مثلثاتی از حالت قائم انجام شده است تا با دستگاه مختصات وفق پیدا کند که این روش به طور معمول در آنالیز تیرها استفاده میشود. - شکل - 2 به طوریکه تیر نشان د اده شده در شکل - - 2 که در موقعیت تغییرشکل داده شده است، دارای طول L میباشد و مختصات x=0 نشان دهنده پایین ترین نقطه شمع یا همان تکیه گاه است و x=L نشان دهنده بالاترین نقطه شمع است که جرم M به آن متصل است. باید توجه داشت که تیر به صورت گیردار در ابتدا و آزاد در انتها در نظر گرفته شده است.
شکل.1 مدل شمع در خاک
شکل.2 تیر در حال ارتعاش در محیط الاستیک
بدین ترتیب شمع مورد بحث در این پژوهش، به صورت یک تیر اویلر-برنولی با یکسر گیردار و یکسر آزاد فرض شده است که نیروی محوری ناشی از وزن جرم متصل به شمع در طول تیر در نظر گرفته شده است .
معادلات حرکت تیر با استفاده از تیر اویلر- برنولی حاصل شده است .
تئوری اویلر- برنولی که به آن تئوری تیرهای نازک نیزگفته می شود، از اثرات ممان چرخشی و تغییرشکل برشی در تیر صرفنظر میکند و برای آنالیز تیرهای نازک کارآمد است.
با در نظر گرفتن المانی از تیر، با بکار گیری از روابطی چند، معادلات حاکم بر حرکت و شرایط مرزی تیر اویلر- برنولی ،استخراج شده است . برای بدست آوردن معادلات حاکم بر حرکت شمع ابتدا باید جابجایی ها و میدان جابجایی را تعریف کرد، جابجایی هر المان ازتیر مجموعی از جابجایی پایه و جابجایی هر المان نسبت به پایه است:
کهY0 ، جابجایی پایه - تکیه گاه - و u1،u2،u3 مؤلفه های جابجایی هر المان تیر نسبت به پایه می باشند. در شکل - 3 - المانی از تیر مشخص شده است. برای تیر اویلر -برنولی جابجایی هر المان نسبت به پایه به صورت رابطهی زیر است:
شکل.3 المانی از تیر اویلر-برنولی در حال ارتعاش
به دلیل اینکه جابجایی تیر در جهت عمود بر صفحه، در نظر گرفته نشده است، مؤلفه u2 برابر با صفر است . u1 و u3 به ترتیب جابجایی المان تیر نسبت به پایه در جهت محور x و y می باشند. در نتیجه میتوان کرنش ها را به صورت زیر نوشت. باید در نظر داشت که کرنش ها صفحه ای فرض شده اند و ارتعاش به صورت خطی است.
بنابراین تنشها در تیر طبق این تئوری به صورت زیر است:
که E، مدول الاستیسیته شمع است. برای بدست آوردن معادلات حاکم به محاسبه انرژی پتانسیل کشسانی و انرژی جنبشی و کار غیر پایستار کل سیستم پرداخته شده و سپس از اصل مکانیک همیلتونی استفاده شده است. لازم به ذکر است که در نوشتن تمامی معادلات باید جابجایی مطلق - نسبی + پایه - را در نظر گرفت.
:1-2 انرژی پتانسیل کشسانی سیستم
برای به دست آوردن انرژی پتانسیل کشسانی سیستم بدین گونه عمل شده که انرژی پتانسیل کشسانی کل سیستم ابتدا بدون درنظر گرفتن فنر محاسبه شده و سپس انرژی پتانسیل کشسانی فنر بدست آمده است.
که در رابطه بالا، I ، ممان اینرسی شمع حول محور y ، Iy میباشد.
در این پژوهش، فونداسیون الاستیک پیوسته که شمع در آن فرو نشانده شده است، به وسیلهی تعداد زیادی از فنرها که با فاصلهی بسیارنزدیک به یکدیگرند، فرض و معرفی شده است . بار لازم بر واحد طول شمع که مسبب تغییرشکل به اندازه ی واحد در شمع میگردد، مدول فونداسیون نامیده شده است و با K، نشان داده میشود. حال انرژی پتانسیل کشسانی فنر محاسبه شده که برابر است با :
پس، انرژی پتانسیل مجموعه با در نظر گرفتن فنر به صورت سطح الاستیک برابر است با :
:2-2 انرژی جنبشی سیستم
به روش زیر به محاسبه انرژی جنبشی سیستم پرداخته شده است..بدیهی است که انرؤی جنبشی در هر سیستم برابر است با : - 2سرعت سیستم - - جرم سیستم - 21 در اینجا جرم سیستم شامل جرم تیر و جرم متصل به انتهای تیر می شود.
بنابراین انرژی جنبشی سیستم برابر است با:
که در رابطه ی بالا، ρ معرف دانسیته شمع، A نمایانگر سطح مقطع شمع و m بیانگر جرم متصل به بالای شمع است.
:3-2 کار غیر پایستار انجام شده توسط سیستم
در این بخش به بررسی کار غیر پایستار انجام شده پرداخته شده است .کار غیرپایستار سیستم توسط نیروی محوری و نیروی میراگر صورت می گیرد. بدین منظورکار غیر پایستار انجام شده توسط نیرویمیراگر و همچنین نیروی محوری باید محاسبه گردد.
الف - کار غیر پایستار انجام شده توسط نیروی میراگر که C ،ضریب میرایی در فونداسیون الاستیک است.
ب - کار غیر پایستار انجام شده توسط نیروی محوری کار غیر پایستار انجام شده توسط نیروی محوری
:4-2 روش اصل همیلتون
در این پژوهش از اصل مکانیک همیلتونی استفاده شده است.قابل ذکر است که میتوان همچنین از اصل مکانیک نیوتونی و یا اویلری استفاده کرد، اما معادله حاکم به مراتب پیچیدهتر شده و احتمال بروز خطابیشتر میشودبا. بکارگیری این اصل، نهایتاً معادله حرکت حاکم استخراج شده است.طبق این اصل، رابطهی - 12 - برقرار است.
