بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل دقيق ارتعاش آزاد تيرتيموشنکو با مقطع متغيرو تکيه گاه الاستيک
چکيده
در اين مقاله تحليل دقيق ارتعاش آزاد تيرهاي تيموشنکو با تکيه گاه الاستيک با استفاده از تئوري حاکم بر تيرهاي تيموشنکو انجام شده است . شايان ذکر است که فرمولهاي حاکم بر تير تيموشنکو بسيار پيچيده تر ازتير اويلر- برنولي بوده و بسيار دقيقتر نيز مي باشند بويژه هنگامي که نسبت ارتفاع به طول تير از١. .بيشتر باشد(تيرهاي عميق ). علت آن است که درتحليل اين مقاطع اثرات ناشي از اينرسي دوراني و اثرات ثانويه برش لحاظ مي شوند. بطور کلي معادلات حاکم بر اين تيرها شامل دو معادله ديفرانسيل وابسته (کوپل ) هستند که بصورت جملاتي با متغيرهاي مستقل (تغيير مکان و دوران ) بيان مي شوند که حل آنها با استفاده از روش فروبنيوس ممکن ميگردد. لذا فرکانسهاي طبيعي و اشکال مود تير تيموشنکوبا مقطع متغيرو تکيه گاه الاستيک قابل دستيابي است . در انتهاي مقاله مثال هاي عددي ارائه شده است که گوياي تطبيق بسيار بالاي نتايج حاصل از روش پيشنهادي و نتايج موجود در مقالات معتبر علمي و روش اجزاي محدود مي باشند.
کليد واژه ها: تحليل دقيق ، ارتعاش آزاد، مقطع متغير، تکيه گاه الاستيک ، تير تيموشنکو، فرکانس طبيعي، شکل مود
١-مقدمه
امروزه بعلت استفاده روز افزون از مدل سازي تيرها در محاسبات پيچيده ، محققان بسياري در اين زمينه مطالعات گسترده اي انجام دادند تا به روشهايي که منتهي به سهولت عمليات تحليلي شود دست يابند که از آن جمله مي توان به Rossi و Gutierrez وLaura(١٩٩٠) اشاره کرد که مقاله اي در مورد ارتعاش اين تيرها با مقطع غير يکنواخت با تکيه گاههاي مختلف منتشر کرده بودند[١].Leung و Zhou (٢٠٠١) استفاده از سريهاي تواني سختي ديناميکي تير تيموشنکو با مقطع غير يکنواخت را تعيين نمودند[٢]. در سال ٢٠٠١ بار ديگر Zhou به همراه Cheung نتايج جديدتري از تحقيقات خود را درباره تيرهاي تيموشنکو به چاپ رساندند [٣]. همچنين محققان ديگري نيز در اين زمينه فعاليت نموده اند که از نتايج کارهايشان براي اثبات درستي نتايج روش پيشنهادي بهره گرفته شده است [٤-٩]. بطور کلي معادلات حاکم بر اين تيرها دو معادله ديفرانسيل وابسته (کوپل ) هستند که بصورت جملاتي بر حسب دو متغير مستقل از هم بيان مي شوندکه عبارتند از: تغيير مکان و زاويه دوران ناشي از خمش . لازم است که دو معادله به يک معادله تبديل شوند لذا براي دستيابي به اين امر از روش فروبنيوس استفاده مي شود. اين روش براي بدست آوردن حل معادلات ديفرانسيلي که ضرائب آنها به صورت چند جمله اي بيان مي گردد بکار گرفته مي شود. لذا با داشتن اين حل تعيين فرکانسهاي زاويه اي و شکلهاي مود تيرهاي تيموشنکو با مقطع متغير امکان پذير خواهد شد .فرکانسهاي ارتعاش آزاد وشکلهاي مود با اعمال شرايط مرزي (يکسرفنردار- يکسر آزاد) و تشکيل ماتريس ضرائب حاصل مي گردند. با برابر صفر قراردادن ماتريس ضرائب و يافتن ريشه ها مقادير فرکانسهاي ارتعاش آزاد حاصل مي شوند.
٢-معادله حرکت
براي ارتعاش آزاد يک تير تيموشنکو با فرکانس زاويه اي طبيعي ... معادلات حرکت به صورت زير هستند [١و٨]:
فرض مي شود معادلات (١و٢) در حالت بدون بعد به صورت زير در مي آيند:
بنابراين حل معادلات (١و٢) به اين صورت خواهد بود:
از فرمولهاي زير مقدار قابل دستيابي است .
حل نهايي معادلات (٢و ١) به سادگي بر حسب چهار ثابت قابل بيان است که با اعمال شرايط مرزي مقدارشان تعيين مي شود. حل کلي معادلات (٢و ١) به صورت ماتريس زير خواهد بود.
٣-شرايط مرزي
٣-١- مفصل -مفصل
در اين حالت شرايط مرزي دو انتهاي تير به صورت زيرمي باشد:
اين ماتريس مي تواند به صورت زير ساده شود:
بنابراين شکل مود به صورت زيرخواهد شد:
٣-٢- گيردار-گيردار
در اين حالت شرايط مرزي دو انتهاي تير به صورت زيرمي باشد:
٣-٣-گيردار-آزاد
در اين حالت شرايط مرزي دو انتهاي تير به صورت زيرمي باشد:
