بخشی از مقاله
خلاصه
موضوع این مقاله حل نیمه تحلیلی معادلات دینامیکی حاکم بر محیط سه بعدی ورق، بدون محدودیت در ضخامت، شکل بارگذاری و شرایط مرزی می باشد. این معادلات شامل معادلات تعادل حاکم بر کل محیط ورق، تنش سطحی در سطوح بالا و پایین و همچنین ارضاء شرایط مرزی در لبه ها اعم از شرایط مرزی نیرویی و تغییر مکانی می باشند. برای حل این معادلات از سری توابع پایه هموار و همچنین از تبدیلی ویژه برای ارضاء شرایط مرزی حاکم بر لبه ها استفاده شده است، که منجر به ارضاء معادلات و شرایط مرزی با دقت بالا می شوند. همچنین در روش ارائه شده در این مقاله ازآنجا که معادله حرکت کاملا تحلیلی ارضاء می شود، خطاهای معمول در روش های مرسوم برای آنالیز رفتار ورق کاهش می یابد.
کلمات کلیدی: تحلیل دینامیکی، ورق، ارتعاشات اجباری، توابع پایه، روش بدون شبکه.
۱. مقدمه
کاربرد فراوان ورق ها در علوم هوا فضا و صنایع دریائی و به طور کلی محیط های تحت ارتعاش اجباری موجب توجه روزافزون مهندسین نسبت به اینگونه مسائل شده است. از اینرو حل معادلات مربوط به این مسائل از جمله مهمترین مسائل پیش روی محققین می باشد. به دلیل پیچیدگی آنالیز تنش و جابجایی در این مسائل، با استفاده از روش های موجود، ارضاء شرایط حاکم بر محیط بدون در نظر گیری برخی ساده سازی ها مقدور نمی باشد. علاوه بر این حل های ارائه شده بر اساس روش های موجود، در کنارمزایا و نقاط قوت، گاه خطاهای محسوس و محدودیت هایی را به دنبال دارند. برای نمونه صرفنظر کردن از تغییر شکل های برشی عرضی که در تئوری های کلاسیک لایه ای ارائه شده است، موجب به دست آمدن تغییر شکلهای کم و فرکانس طبیعی زیاد میشود.
از جمله تلاشهای اولیه صورت گرفته در زمینه حل تیرها و ورقها، حل صفحات نازک براساس تئوری کرشهف میباشد، که به تئوری کلاسیک ورق نیز شهرت دارد. با توجه به فرضیات کرشهف، تئوری کلاسیک ورق قادر به بیان کردن میزان کرنش برشی عرضی یا تنش برشی عرضی نمیباشد، که این خود موجب به وجود آمدن نتایج نادرست در تحلیل صفحات ضخیم میشد و استفاده از این تئوری را در حد تحلیل صفحات نازک محدود می نمود. به همین علت تئوری های تغییر شکل های برشی درجه اول ]۱[ و درجات بالاتر ]۲[ برای تحلیل دقیقتر این گونه ورق ها ارائه شده است. بنای این تئوری ها براساس فرضیه ریسنر- میندلین ]۳[ و ]۴[ میباشد.
این فرضیه موجب به وجود آمدن تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول شد. در این فرضیه محدودیت موجود در تئوری کلاسیک ورق اصلاح شده است و فرض بر این است که صفحات عمود بر صفحه میانی، چرخشهای مستقلی در راستای محور های اصلی تجربه می کنند. تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول موجب حصول تنش برشی ثابت در ضخامت صفحه میشود که با جواب معادله تعادل که این تنش ها را به صورت توابع درجه دو معرفی میکند در تضاد می باشد. پس از گسترش روابط مربوط به تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و مراتب بالاتر، محققین زیادی روابط اجزاء محدود را بر اساس این تئوری ها گسترش دادند، که ثمره آن به وجود آمدن المانهایی بود که روابط مربوط به این تئوریها را ارضاء مینمودند.
هر چند این المان ها بسیار کارآمد بودند، ولی هنوز مشکلاتی در آنها وجود داشت. از جمله مشکلاتی که این دسته از المان ها با آن مواجه بودند می توان به قفل برشی، به وجود آمدن مودهای ناصحیح در حل المانها و مشکلاتی در به دست آوردن تنش در آنها اشاره نمود، که همین موضوع محققان را برآن داشت که از فرمولاسیون جدیدتری استفاده نمایندکه در آنها مشکلات نامبرده شده نیز حل شده باشند. بدین سبب ارائه ی یک روش حل بدون ساده سازی و محدودیت های چشم گیر امری نسبتا ضروری بحساب می آید، که در این مقاله به این مهم پرداخته شده است. در روش حل ارائه شده، سعی بر آن است تا پاسخ کلی معادلات حاکم بر ورق تحت ارتعاش اجباری در حالت سه بعدی و به صورت یک سری متشکل از توابع پایه هموار بیان گردد. بدین منظور، پس از انتخاب فرم های مناسب بطوریکه قادر به ارضای شرایط تعادل در محیط باشند، ارضا شرایط مرزی به صورت تحلیلی در بالا و پایین ورقها و همچنین به شکل نسبتاً تقریبی در لبه ها صورت می گیرد.
۲. شرح کلی مراحل
حل معادله حاکم بر مسائل الاستیسیته که از پرکاربردترین معادلات در علوم مهندسی محسوب می گردد از جمله مهمترین اهداف محققین بوده است. این معادله به صورت زیر بیان می گردد. در این رابطه D ماتریس ضرایب الاستیک، b نیروی بدنه، S اپراتور تبدیل میدان تغییر مکان به میدان کرنش، ω فرکانس دورانی، ρ چگالی محیط و u تابع تغییر مکان می باشد. ماتریس ضرایب الاستیک D به شکل زیر تعریف شده، که در آن منظور از ν٬ ضریب پواسون و E، مدول الاستیسیته می باشد.
