بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل مسئله کنترل بهينه غير خطي درجه دوم منطبق بر روش استاندارد حساب تغييرات (VCM) و مبتني بر روش تکرار تغييرات (VIM)
چکيده
در اين مقاله ، روشي جديد براي طراحي قانون کنترل بهينه و نيز تحليلي دقيق براي حل جامع يک کلاس يا طبقه از مسائل کنترل بهينه غير خطي درجه دوم بر اساس روش تکرار تغييرات ، ارائه مي شود که اين ايده متشکل از فرموله کردن مسائل کنترل بهينه تحت يک سري تغييرات در فرم مسأله است که اين تغييرات بوسيله جايگزين کردن متغير کنترل شده توسط آن عبارت بدست آمده از شاخص عملکرد در مدل سيستم است . حال با حل تغييرات مسائل بدست آمده ، معادله اويلر لاگرانژ مطلوب که به طور کلي غير خطي مي باشد به دست مي آيد. بنابراين استفاده از روش تکرار تغييرات اتخاذ شده ، حل معادله اويلر لاگرانژ مطلوب را حاصل مي کند. اکنون اين قانون کنترل بهينه است که با انجام يک سري محاسبات ساده به راحتي قابل استنتاج است . با اين حال براي مسائل کنترل ، استفاده از روش تکرار تغييرات هنوز به کار گرفته نشده است . تنها مشارکت و فعاليت در اين زمينه ، توسط Kucuk بوده است که در آن کنترل بهينه فعال معادله Korteweg ، که يک تابع درجه دوم است را بر اساس روش طراحي شده تکرار تغييرات کمينه و حداقل مي کند. در مقابل ، کنترل مستقيم استفاده شده توسط Kucuk ، تطبيقي بر روش استاندارد حساب تغييرات براي رسيدن به کنترل بهينه غير خطي است . براي نشان دادن و نمايش اين روش طراحي پيشنهاد شده ، يک سيستم غيرخطي در نظر گرفته شده است که در مقايسه با راه حل تحليلي عادي يک نمايش اثر بخش از روش طراحي پيشنهاد شده را نشان مي دهد.
واژه هاي کليدي : کنترل بهينه –حساب تغييرات -تکرار تغييرات –غير خطي –درجه دوم
١-مقدمه
اغلب مسائل کنترل بهينه در مهندسي سيستم بوجود مي آيند. هدف کنترل بهينه ، يافتن يک کنترل مطلوب براي يک سيستم در حالت حلقه باز کنترلي است که مطلوب ما يافتن شاخص هاي عملکرد براي بهينه سازي پروفايل هاي زمان متغير براي يک سيستم پويا است . تعيين کنترل بهينه به خصوص با توجه به ماهيت غيرخطي بودن سيستم هاي پويا يک کار بسيار خسته کننده است . با اين حال امروزه تلاش هاي قابل توجهي در توسعه روش هاي کار آمد کنترل بهينه انجام شده است . از اين رو چندين
روش براي حل مسائل کنترل بهينه در کتب مطرح شده است . اين روش ها را مي توان به دو دسته تقسيم بندي کرد :
الف ) روش تحليلي که عموما از اين روش استفاده مي شود.
ب ) استفاده از روش هاي عددي .
روش هاي تحليلي عبارتند از آنهايي که بر اساس برنامه نويسي ديناميکي يا پويا (اصول بهينگي بلمن )، اصل حداقل يابي پونتريگن و حساب تغييرات بکارگيري مي شوند، در حالي که روش هاي عددي به دو دسته روش مستقيم و غير مستقيم گروه بندي مي شوند.
براي روش هاي تحليلي، استفاده از روش برنامه نويسي پويا (DP) براي رفتار دسته اي از بهنه سازي مسائل ، کاربرد فراواني دارد.
در اين روش بر اساس اصل بهينگي براي اولين بار توسط بلمن فرموله شده و اغلب در تجزيه و تحليل سيستم هاي کنترل اتوماتيک استفاده مي شود. بنابراين ، با متمايز کردن تابع بلمن معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي بلمن و شرايط مرزي، شرايط لازم براي بدست آوردن کمينه مسائل کنترل بهينه را مهيا مي کنند. يکي ديگر از روش هاي بسيار کارآمد براي حل مسائل کنترل بهينه استفاده از اصل حداقل يابي پونترياگين (PMP) است اين تکنيک براساس تعريف تابع هاي هاميلتوني با معرفي متغيرهاي الحاقي ساخته شده است . شرط لازم براي داشتن کنترل بهينه ، بهينه سازي تابع هاميلتوني با توجه به متغير کنترل است . پس از آن ، قانون کنترل بهينه با حل معادلات ديفرانسيل متعارف ، معادلات هاميلتوني را تشکيل مي دهند، که شرايط لازم براي بهينگي، با توجه به اصل حداقل است را به ما مي دهد. برنامه نويسي پوياو اصل حداقل يابي پونترياگين کلي تر و موثرتر از روش کلاسيک حساب تغييرات است . شرايط ابتدايي حساب تغييرات از معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي بلمن به دست مي آيد.
شرايط بهينگي براي روش هاي تحليلي به طور کلي قادر به فراهم آوردن يک شکل مطلوب از نتيجه مسئله مقدار مرزي دو نقطه يا معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي بلمن نيستند. لذا روش تحليلي پاسخگو نبوده و روش عددي پاسخگو است ؛ يا به عبارت ديگر در مسائلي که با مقادير مرزي نقطه اي سروکار داريم ، روش عددي بهتر است . روش عددي را مي توان به دو دسته تقسيم کرد:
الف ) روش هاي غير مستقيم (شرايط مرزي تکراري و تکرار بردار کنترل ).
ب ) روش هاي مستقيم ( روش ترتيبي و روش به طور همزمان ).
در اين پروژه هدف ، يافتن يک کنترل بهينه از يک سيستم غير خطي است که نشان مي دهد رويکرد مبتني بر روش تکرار تغييرات ، يک طراحي کنترل بهينه است . اين روش به تازگي توسط (جان هي) گسترش و به اثبات رسيده است و نيز قابل اعتمادتر، دقيق تر و مؤثرتر از هر دو روش تحليلي و حل عددي معادلات ديفرانسيل است . با اين حال براي مسائل کنترل ، استفاده از روش تکرار تغييرات هنوز به کار گرفته نشده است . تنها مشارکت و فعاليت در اين زمينه ، توسط Kucuk بوده است که در آن کنترل بهينه فعال معادله Korteweg ، که يک تابع درجه دوم است را بر اساس روش طراحي شده تکرار تغييرات کمينه و حداقل مي کند. در مقابل ، کنترل مستقيم استفاده شده توسط Kucuk ، تطبيقي بر روش استاندارد حساب تغييرات براي رسيدن به کنترل بهينه غير خطي است .
اين ايده متشکل از اعمال روش تکرار تغييرات حل معادله اويلر لاگرانژ متناظر با کنترل بهينه مسئله مربوطه است . به اين ترتيب با استفاده از روش تکرار تغييرات ، راه حل تقريبي تحليلي يا عددي معادله اويلر لاگرانژ را مي توان به دست آورد حتي اگر راه حل تحليلي در دسترس نباشد. رويکرد طراحي شده توسط يک مثال عملي که براي آن يک راه حل تحليلي وجود دارد، نشان داده شده است که هدفش براي نشان دادن اثربخشي هر چه بيشتر روش پيشنهادي است .
٢-مسائل کنترل بهينه
يک مسئله کنترل بهينه (١) که بصورت زير است هدفش يافتن يک قانون کنترل بهينه براي ورودي و متعاقبا يافتن تابع هزينه براي کمينه کردن مشخصات عملکرد سيستم است .
که در آن بردار حالت وضعيت متغير کنترل زمان نهايي و(٠)x حالت اوليه سيستم ،و حالت نهايي سيستم است .
٣-مسائل تغييرات
يک مسئله کنترل بهينه که به شکل زير است هدفش يافتن بهينه است به قسمي که شاخص عملکرد بهينه شود، که درآن
تابع هزينه (٥)وضعيت نهايي و ورودي مشخص است ، يک مسئله تغييرات به شکل زير فرموله مي شود:
و شرايط لازم براي حل بهينه مسئله ، استفاده از معادله اويلر لاگرانژ است :
حال با حل معادله غير خطي (٩) با استفاده از روش تکرار تغييرات ، حالت وضعيت بهينه حاصل مي شود که در نتيجه آن معادلات حالت نيز بدست مي آيد. حال با جايگزيني معادلات حالت و وضعيت ، ورودي بهينه براي تعيين قانون کنترل بهينه بدست مي آيد.
شايان ذکر است که معادلات وضعيت شرايط مرزي اوليه و نهايي و نيز زمانهاي معلوم مي باشند، که اگر معلوم نباشند از معدلات کمک وضعيت بايد کمک گرفت .
٤-روش تکرار تغييرات
روش تکرار تغييرات که به تازگي توسعه داده شد، براي حل معادلات ديفرانسيل معمولي و جزئي مورد استفاده قرار مي گيرد .
اين روش در شرايط سرعت همگرايي بينهايت يک راه حل براي حل معادلات ديفرانسيل فراهم مي کند، که مجموعه اي است که
ممکن است راه حل دقيقي در بسياري از موارد عملکرد را دارا باشد. حال معادله ديفرانسيل زير را در نظر بگيريد:
که در آن عملگر خطي وN عملگر غير خطي است .و باعث ناهمگن شدن معادله شده است ، حال با تشکيل معادله انتگرالي زير براي حالت هاي وضعيت داريم :
که ضريب لاگرانژ است که مي تواند تحت يک شرايط ثابت معين بشود و بعنوان تغييرات محدود درنظر گرفته
مي شود که اين بدين معناست که حال با اعمال تغييرات روي معادله انتگرالي (١١) خواهيم داشت :
و حال چون تغييرات محدود کننده صفر است ، پس معادله انتگرالي بالا به شکل زير کاهش پيدا مي کند. پس خواهيم داشت :
حال سپس تحت يک شرايط ثابت براي معادله (١٤)، مقدار بهينه ضريب لاگرانژ براحتي قابل تشخيص است .و حال با
دست آمده و جايگزيني در معادله (١١) راه حل موفق آميز تقريبي براي پيدا مي شود، که متعاقبا خواهيم داشت :
٥-رويکرد روش پيشنهاد شده
ايده اصلي رويکرد روش پيشنهاد شده ، تبديل تاسيسات کنترل بهينه به تغييرات مسائل با برخي شرايط مرزي (٧)و (٨) است ،که
با حل معادله اويلر لاگرانژ (٩) ورودي بهينه حاصل مي شود. حال روش پيشنهادي را در گام هاي زير خلاصه مي کنيم :
گام ١: با استفاده از مدل سيستم ، بايد را بر حسب بيابيم مانند زير:
گام دو: با جايگذاري درمعادله (١٦) تغييرات لازم در مسئله را بيابيم :
با شرايط مرزي
گام ٣: تشکيل معادله اويلر لاگرانژ
گام ٤: حل معادله غير خطي با استفاده از روش تکرار تغييرات و محاسبه بيابيم مانند زير:
گام ٥: جايگذاري در گام ٤و بدست آوردن قانون کنترل بهينه
٦-مثال عملي يک
براي مسئله زير يک قانون کنترل بهينه بر اساس روش تکرار تغييرات بيابيد.
در حل اين مسائل کنترل بهينه راه حل پيشنهادي يافتن يک حل تقريبي و دقيق براي کمينه کردن قانون کنترل بهينه ورودي است . که در اين مساله ورودي بر حسب وضعيت به قرار زير است
حال با جايگذاري ورودي بر حسب وضعيت ها در تابع هزينه خواهيم داشت :
و بنابراين
حال با تشکيل و حل معادله اويلر لاگرانژ داريم :
حال با حل پيشرفته معادلات (٢٧) و (٢٥) جايگذاري و حل ديفرانسيلي معادله زير معادله ديفرانسيلي زير حاصل مي شود:
حال براي حل با استفاده از روش تکرار تغييرات معادله بالا را در معادله اصلي جايگزين مي کنيم :
حال مقدار بهينه ضريب لاگرانژ، با در نظر گرفتن تغييرات حاصل مي شود، پس :
حال با توجه به صفر بودن معادله (٣٣) خواهيم داشت :
