بخشی از مقاله
-1 چکیده
پایداری المانهای قابی و تعیین نیروی کمانشی آنها سابقه بسیاری در تحقیقات مهندسی سازه دارد. اعضای قابها شامل تیرها و ستونها تحت شرایط مختلف و برای کاربردهای مختلف بعضاً دارای مقاطع متغیر در طول خود هستند. این تغییرات میتواند به صورت پلکانی، خطی، سهموی و... باشد. این اعضا در اصطلاح غیر منشوری نام دارند.
محققین از روشهای متفاوتی در تعیین نیروی بحرانی کمانش این المانها و بخصوص ستونها استفاده کرده اند. اساس اکثر این روشها تلاشهایی است برای حل معادله دیفرانسیل یک المان کلی که تحت نیروهای محوری و جانبی قرار دارد.در این تحقیق از روش تکراری تغییراتی برای حل معادله دیفرانسیل کمانشی ستونها با مقاطع ثابت و متغیر استفاده شده است.
نیروی بحرانی کمانش برای 5 ستون کلاسیک با شرایط مرزی مختلف بدست آمد و نتایج آن با دیگر روشهای حل معادله دیفرانسیل کمانشی مورد مقایسه قرار گرفت و نتایج دقیق هر کدام نیز بدست آمدند. نتایج نشان داد که روش تغییرات تکراری روش مناسب و با دقت کافی برای تعیین نیروی بحرانی کمانش ستونهاست.
-1 مقدمه
پایداری المانهای قابی و تعیین نیروی کمانشی آنها سابقه بسیاری در تحقیقات مهندسی سازه دارد. اعضای قابها شامل تیرها و ستونها تحت شرایط مختلف و برای کاربردهای مختلف بعضاً دارای مقاطع متغیر در طول خود هستند. از سالهای دور تلاشهایی برای کمانش ستونها انجام شده است.
اویلر1 مطالعاتی را را در سال 1788درباره کمانش ستونها تحت وزن خود انجام داد. بعدها در سال 1882گرینهیل2 توانست حلی برای مطالعات اویلر ارائه دهد.[2] حل بسته معادله دیفرانسیل کمانش سالها بعد در سال 1929 توسط دینیک3 بدست آمد.[3] بیوت4 و کارمن5 نیز توانستند همین کار را در سال 1940 انجام دهند.
در سال 1961 تیموشنکو6 معادله دیفرانسیل کمانش اعضا با مقطع منشوری و حل آن را ارائه داد.[5] حلهای دقیق برای کمانش ستونهای پلکانی برای اولین بار در سال 1962 توسط گره بدست آمد.[6] فریش فی7 درسال 1966 حل تحلیلی برای نیروی بحرانی کمانش یک المان منشوری با نیروی محوری یکنواخت تحت شرایط مرزی مختلف بدست آورد.
زبروسکی8 در سال 1977 نیروی بحرانی تقریبی را برای ستونهای غیر منشوری بر اساس روش تفاوت محدود FDM بدست آوردند.در سال1980 ایرومنگر9 از همین روش برای تعیین نیروی کمانش ستونهای مخروطی و تکه ای استفاده کرد.
اسمیت10 در سال 1988 از روش انرژی برای حل تحلیلی ستونهای مخروطی استفاده کرد.[10]
ارومپلوس11 در سال 1977 بر اساس روش شیب افت طول موثر کمانش تیرهای غیر منشوری را منتشرکرد.[11]
مساله کمانش الاستیک با تغییرات ضخامت ستون در طول توسط اربابی12 در سال 1991 ارائه شد.[12] سیگنر13 در سال 1992 کمانش ستونها را با تغییرات خطی سختی خمشی در طول مورد بررسی قرار داد.[13] در سال 1998 سمپایو4با استفاده از روش انرژی توانست حل دقیقی برای کمانش تیر-ستونهای کج ارائه دهد.[
در سال 1999 الیشاکوف11حل بسته تیرهای غیر منشوری را با استفاده از پخش لنگر بسط داد.[15] مراجع [16-18] مطالعاتی را در سالهای 1999 تا 2007 برای تعیین کمانش انواع ستون با استفاده ار روش VIM انجام دادند. ازرار12 در سال 2005 تیرهای با مقطع متغیر را در بستر الاستیک بررسی کردند
رهایی و کاظمی در سال 2008 از روش انرژی برای تعیین نیروی بحرانی کمانش در مودهای مختلف در ستون ها با تغییر مقطع پلکانی استفاده کردند.
-2معادله دیفرانسیل حاکم
یک عضو که هم نیروی جانبی و هم نیروی محوری دارد را در نظر بگیرید - شکل - a -1 و یک المان از آن - شکل . - b-1با بیان تعادل برای یک المان کوچک به طول dx معادله دیفرانسیل بین بار و نیروی داخلی از رابطه [1] بدست می آید.
که در آن N=P نیروی محوری، V= نیروی برشی، M= لنگر خمشی و W - X - تغیر شکل مقطع در محور طول میباشد.
شکل a-1 یک المان سازه تحت بارهای طولی و جانبی و شکل b-1 یک جزء دیفرانسیلی
وقتی که اثر نیروی برشی و تغییر شکل های محوری در نظر گرفته نشود، معادله دیفرانسیل الاستیک المان برابر است که در آن، EI بیانگر سختی خمشی مقطع در صفحه XOZ است. E - مدول یانگ، با 2 بار دیفرنس کردن معادله - 2 - و جایگذاری روابط - 1 - در آن نتیجه میشود
بدست آوردن حل تحلیلی معادله - 3 - در حالت سختی متغیر کاری سخت و پرزحمت میباشد. در این حالت حل از روش های عددی مانند تفاوت محدود - FDM - و اجزا محدود - FEM - بدست میآید که دقت مهندسی کافی را بدون عملیات پیچیده ریاضی ارائه میکنند.
-3تعیین بار بحرانی کمانش برای ستونها باروش - VIM -
براساس تئوری تیر اویلر-برنولی رابطه لنگر خمشی و تغییر شکل تیر براساس رابطه زیر تعیین میشود.
